如果你也在 怎样代写广义相对论General Relativity 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。广义相对论General Relativity又称广义相对论和爱因斯坦引力理论，是爱因斯坦在1915年发表的引力几何理论，是目前现代物理学中对引力的描述。广义相对论概括了狭义相对论并完善了牛顿的万有引力定律，将引力统一描述为空间和时间或四维时空的几何属性。特别是，时空的曲率与任何物质和辐射的能量和动量直接相关。这种关系是由爱因斯坦场方程规定的，这是一个二阶偏微分方程系统。
广义相对论General Relativity描述经典引力的牛顿万有引力定律，可以看作是广义相对论对静止质量分布周围几乎平坦的时空几何的预测。然而，广义相对论的一些预言却超出了经典物理学中牛顿的万有引力定律。这些预言涉及时间的流逝、空间的几何、自由落体的运动和光的传播，包括引力时间膨胀、引力透镜、光的引力红移、夏皮罗时间延迟和奇点/黑洞。到目前为止，对广义相对论的所有测试都被证明与该理论一致。广义相对论的时间相关解使我们能够谈论宇宙的历史，并为宇宙学提供了现代框架，从而导致了大爆炸和宇宙微波背景辐射的发现。尽管引入了一些替代理论，广义相对论仍然是与实验数据一致的最简单的理论。然而，广义相对论与量子物理学定律的协调仍然是一个问题，因为缺乏一个自洽的量子引力理论；以及引力如何与三种非引力–强、弱和电磁力统一起来。
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物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|Frame Field and Metric
Since the surface $\Sigma$ is smooth, at any point $p$ we can approximate it by the plane tangent at $p$. Consider a system of Cartesian coordinates $X_p^i=\left(X_p, Y_p\right)$ on this tangent plane, with origin at $p$. If we project these coordinates down to the surface (orthogonally to the plane), we obtain local coordinates $X_p^i=\left(X_p, Y_p\right)$ on a neighbourhood of $p$, which are called ‘local Cartesian coordinates at $p$ ‘. Given arbitrary general coordinates $X^a$ on $\Sigma$, let $X_p^a$ be the coordinates of the point $p$, and consider the map $X_p^i\left(x^a\right)$ from these arbitrary coordinates to the local Cartesian coordinates. The Jacobian of this map at $p$ is the $2 \times 2$ matrix
$$
e_a^i=\left.\frac{\partial X_p^i\left(x^a\right)}{\partial x^a}\right|^{\mathrm{x}_a=x_p^a} .
$$
We can repeat this procedure at each point $p$ of $\Sigma$ with coordinates $\mathrm{X}^a$ thus obtaining a field $e_a^i\left(x^a\right)$ on the surface. This field is called a ‘frame field’, or a ‘diad’ field. It expresses the relation between the arbitrary coordinates $x^a$ at a point and Cartesian coordinates $X^i$ at this point. As we shall see, this field describes gravity.
Inverse frame field
If the quantities $x^a$ are good coordinates around $p$, the determinant of the Jacobian, and therefore the determinant of $e_a^i$ is non-vanishing. We can therefore consider the inverse of this $2 \times 2$ matrix. The inverse is denoted $e_i^a$ (indices swapped) and is, of course, the Jacobian of the inverse transformation: from the arbitrary coordinates to the Cartesian coordinates
$$
e_i^a=\left.\frac{\partial X^a\left(X_p^i\right)}{\partial X_p^i}\right|_{X_p^i=0} .
$$
It carries the same information as the frame field. This object can be seen as a couple of vector fields tangent to the surface:
$$
e_i^a(x)=\left(\vec{e}_1(x), \vec{e}_2(x)\right) \text {. }
$$
At each point the two vectors form an orthonormal basis, because they point in the directions of the local Cartesian coordinates. See Figure 3.5. The name ‘frame field’ comes from this fact: at each point, the field defines a local Cartesian reference frame.
Here is a concrete example. Except for the poles, on a small neighbourhood of a generic point with coordinates $(\theta, \phi)$ of a unit sphere, the coordinates $X\left(\theta^{\prime}, \phi^{\prime}\right)=\theta^{\prime}-\theta$ and $Y\left(\theta^{\prime}, \phi^{\prime}\right)=\sin \theta\left(\phi^{\prime}-\phi\right)$ are clearly local Cartesian coordinates. Therefore, a frame field for the unit sphere is given by
$$
e_a^i(\theta, \phi)=\left(\begin{array}{ll}
\left.\frac{\partial X}{\partial \theta}\right|{\theta, \phi} & \left.\frac{\partial X}{\partial \phi}\right|{\theta, \phi} \
\left.\frac{\partial Y}{\partial \theta}\right|{\theta, \phi} & \left.\frac{\partial Y}{\partial \phi}\right|{\theta, \phi}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \
0 & \sin \theta
\end{array}\right) .
$$
(Do not confuse the coordinates $\theta, \phi$ where the field is calculated with the coordinates $\theta^{\prime}, \phi^{\prime}$ on a neighbourhood of this point.)
物理代写|广义相对论代写General Relativity代考|The frame field captures the intrinsic geometry
Now I come to the main point. Consider a point on the surface with coordinates $X^a$, and a nearby point with coordinates $x^a+d x^a$. What is the distance between these two points?
If the points are close, we can work to first order in $d x^a$. The change in Cartesian coordinates between the two points is
$$
d X^i=\frac{\partial X^i\left(x^a\right)}{\partial x^a} d x^a=e_a^i(x) d x^a
$$
and their distance $d s$ is given in Cartesian coordinates by
$$
d s^2=\sum_i d X^i d X^i \equiv \delta_{i j} d X^i d X^j
$$
where $\delta_{i j}$ is the unit matrix, namely $\delta_{i i}=1$ and $\delta_{i j}=0$ if $i \neq j$ and sum over repeated indices is understood. Bringing the last two equations together we have
$$
d s^2=\delta_{i j} e_a^i(x) e_b^j(x) d x^a d x^b
$$
Therefore, if we know the frame field $e_a^i(x)$, we can calculate the distance between points on the surface. The frame field determines intrinsic distances on the surface: it fully characterises the intrinsic geometry of the surface.
Metric
It is convenient to write $(3.16)$ in the form
$$
d s^2=g_{a b}(x) d x^a d x^b
$$
where
$$
g_{a b}(x)=e_a^i(x) e_b^j(x) \delta_{i j} .
$$
The field $g_{a b}(x)$ is called the Riemann metric, or simply the ‘metric’ of the surface $\Sigma$. It is manifestly symmetric $\left(g_{a b}=g_{b a}\right)$, by construction has non-vanishing determinant, and all its eigenvalues are positive (this can be easily seen by diagonalising the diad). It is easy to show do it! that it is invariant under the $S O(2)$ gauge transformation (3.13), because every rotation metric $R$ satisfies $R_k^i R_m^1 \delta_{i l}=\delta_{\mathrm{km}}$.
As we shall see, $g_{a b}(x)$ is the field that Einstein used to express the gravitational field. It later turned out that $g_{a b}(x)$ is not sufficient to describe gravity in general (for instance, in the presence of fermions) and the frame field $e_a^i(x)$ gives a more complete description.
The interest of the metric field, or the frame field, is that they capture the intrinsic geometry of the surface, without any reference to the way the surface is embedded in the three-dimensional Euclidean space (we shall soon see why this is crucial for physics). This can be seen explicitly as follows.
广义相对论代写
物理代写|广义相对论代写GENERAL RELATIVITY代考|FRAME FIELD AND METRIC
由于表面 $\Sigma$ 是平滑的，在任何一点 $p$ 我们可以用平面切线来近似它 $p$. 考虑一个笛卡尔坐标系 $X_p^i=\left(X_p, Y_p\right)$ 在这个切平面上，原点在 $p$. 如果我们将 这些坐标向下投影到表面orthogonallytotheplane，我们得到局部坐标 $X_p^i=\left(X_p, Y_p\right)$ 在附近 $p$ ，这被称为“局部笛卡尔坐标 $p$. 给定任意一般坐标 $X^a$ 在 $\Sigma$ ，让 $X_p^a$ 是点的坐标 $p$ ，并考虑地图 $X_p^i\left(x^a\right)$ 从这些任意坐标到局部笛卡尔坐标。这张地图的雅可比矩阵位于 $p$ 是个 $2 \times 2$ 矩阵
$$
e_a^i=\left.\frac{\partial X_p^i\left(x^a\right)}{\partial x^a}\right|^{\mathrm{x}a=x_p^a} . $$ 我们可以在每个点重复这个过程 $p$ 的 $\Sigma$ 有坐标 $\mathrm{X}^a$ 从而获得一个字段 $e_a^i\left(x^a\right)$ 在表面上。该字段称为“帧字段”或“二元组”字段。它表达了任意坐标之间 的关系 $x^a$ 在一个点和笛卡尔坐标 $X^i$ 在此刻。正如我们将要看到的，这个场描述了引力。 逆帧字段 如果数量 $x^a$ 周边坐标不错 $p$ ，雅可比行列式的行列式，因此行列式 $e_a^i$ 是不消失的。因此我们可以考虑这个的倒数 $2 \times 2$ 矩阵。逆表示为 $e_i^a$ indicesswapped并且当然是逆变换的雅可比矩阵：从任意坐标到笛卡尔坐标 $$ e_i^a=\left.\frac{\partial X^a\left(X_p^i\right)}{\partial X_p^i}\right|{X_p^i=0} .
$$
它携带与帧字段相同的信息。这个对象可以看作是两个与表面相切的矢量场:
$$
e_i^a(x)=\left(\vec{e}_1(x), \vec{e}_2(x)\right)
$$
在每个点，两个向量形成一个正交基，因为它们指向局部笛卡尔坐标的方向。见图 3.5。“框架场”这个名字来源于这个事实：在每一点，该场都定 义了一个局部笛卡尔参考系。
这是一个具体的例子。除极点外，在具有坐标的通用点的小邻域上 $(\theta, \phi)$ 单位球体的坐标 $X\left(\theta^{\prime}, \phi^{\prime}\right)=\theta^{\prime}-\theta$ 和 $Y\left(\theta^{\prime}, \phi^{\prime}\right)=\sin \theta\left(\phi^{\prime}-\phi\right)$ 显然是 局部笛卡尔坐标。因此，单位球体的框架场由下式给出
物理代写|广义相对论代写GENERAL RELATIVITY代考|THE FRAME FIELD CAPTURES THE INTRINSIC GEOMETRY
现在我进入重点。考虑具有坐标的表面上的点 $X^a$, 和附近的坐标点 $x^a+d x^a$. 这两点之间的距离是多少?
如果点很接近，我们可以按第一顺序工作 $d x^a$. 两点之间笛卡尔坐标的变化为
$$
d X^i=\frac{\partial X^i\left(x^a\right)}{\partial x^a} d x^a=e_a^i(x) d x^a
$$
和他们的距离 $d s$ 在笛卡尔坐标系中给出
$$
d s^2=\sum_i d X^i d X^i \equiv \delta_{i j} d X^i d X^j
$$
在哪里 $\delta_{i j}$ 是单位矩阵，即 $\delta_{i i}=1$ 和 $\delta_{i j}=0$ 如果 $i \neq j$ 并理解重复索引的总和。把最后两个方程放在一起我们有
$$
d s^2=\delta_{i j} e_a^i(x) e_b^j(x) d x^a d x^b
$$
因此，如果我们知道帧域 $e_a^i(x)$ ，我们可以计算表面上点之间的距离。框架场决定了表面上的固有距离：它完全表征了表面的固有几何形状。
metric
写起来方便 $(3.16)$ 在形式
$$
d s^2=g_{a b}(x) d x^a d x^b
$$
在哪里
$$
g_{a b}(x)=e_a^i(x) e_b^j(x) \delta_{i j}
$$
场 $g_{a b}(x)$ 称为黎曼度量，或简称为曲面的“度量” $\Sigma$. 它是明显对称的 $\left(g_{a b}=g_{b a}\right)$, 通过构造具有非零行列式，并且其所有特征值均为正 thiscanbeeasilyseenbydiagonalisingthediad. 做起来很容易! 它在以下情况下是不变的 $S O(2)$ 规范变换3.13，因为每个旋转度量 $R$ 满足 $R_k^i R_m^1 \delta_{i l}=\delta_{\mathrm{km}}$
正如我们将看到， $g_{a b}(x)$ 是爱因斯坦用来表示引力场的场。后来才知道 $g_{a b}(x)$ 不足以描述一般引力forinstance, inthepresenceoffermions和 框架领域 $e_a^i(x)$ 给出了更完整的描述。
度量域或框架域的有趣之处在于它们捕获表面的固有几何形状，而无需参考表面嵌入三维欧几里德空间的方式 weshallsoonseewhythisiscrucialforphysics. 这可以明确地看出如下。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
