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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Classical specialization
Here, one assumes a more particular case of specialization, following the classical procedure of specializing variables of a ground polynomial ring. Let $A$ denote a Noetherian ring of finite Krull dimension-in the applications it will mostly be the ground ring of variables to be specialized-and let $R$ denote a finitely generated $A$-algebra. Let $\mathfrak{n} \subset A$ denote a maximal ideal such that the extended ideal $\mathfrak{n} R$ is prime, and $\mathcal{I} \subset R$ any ideal not contained in $\mathfrak{n} R$. Set $I:=(\mathcal{I}, \mathfrak{n}) / \mathfrak{n} R$ and $k:=A / \mathfrak{n}$.
Proposition 7.3.50. Consider the specialization homomorphism
$$
\mathfrak{s}: \mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k \rightarrow \mathcal{R}{R / \mathfrak{n} R}(I)
$$
Then:
(1) $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ is a minimal prime ideal of $\mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k$ and, for any minimal prime $\mathfrak{Q}$ of $\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A$ k other than $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$, one has that $\mathfrak{Q}$ corresponds to a minimal prime of $\operatorname{gr}{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k \simeq\left(\mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) / \mathcal{I}\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right)$ and so $$ \operatorname{dim}\left(\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) / \mathfrak{Q}\right) \leq \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr}{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k\right)
$$
In particular,
$$
\operatorname{dim}\left(\mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right)=\max \left{\operatorname{dim}(R / \mathfrak{n} R)+1, \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr}{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k\right)\right}
$$
(2) Let $t \geq 0$ be an integer such that $\ell\left(\mathcal{I}{\mathfrak{P}}\right) \leq \operatorname{ht}(\mathfrak{P} / \mathrm{n} R)+t$ for every prime ideal $\mathfrak{P} \in$ $\operatorname{Spec}(R)$ containing $(\mathcal{I}, \mathfrak{n})$. Then $$ \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr}{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k\right) \leq \operatorname{dim}(R / \mathrm{n} R)+t
$$
(3) $\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(\mathfrak{s})) \leq \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr}_{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k\right)$
Proof. (1) Let $P \in \operatorname{Spec}(R)$ be a prime ideal not containing $\mathcal{I}$. Localizing the surjection $\mathfrak{s}: \mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k \rightarrow \mathcal{R}{R / \mathrm{n} R}(I)$ at $R \backslash P$, one easily sees that it becomes an isomorphism. It follows that some power of $\mathcal{I}$ annihilates $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$, i.e.,
$$
\mathcal{I}^l \cdot \operatorname{ker}(\mathfrak{s})=0
$$
for some $l>0$. Since $I \neq 0$, then $\mathcal{I} \nsubseteq \operatorname{ker}(\mathfrak{s})$. Thus, any minimal prime ideal of $\mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k$ contains either the prime ideal $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ or the ideal $\mathcal{I}$. Thus, $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ is a minimal prime and any other minimal prime $\mathfrak{Q}$ of $\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k$ contains $\mathcal{I}$. Clearly, then any such $\mathfrak{Q}$ is a minimal prime of $\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) / \mathcal{I}\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) \simeq \operatorname{gr}{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k$. Since $\operatorname{dim}\left(\mathcal{R}_{R / \mathrm{n} R}(I)\right)=$ $\operatorname{dim}(R / \mathfrak{n} R)+1$, the claim follows.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Combinatorial preliminaries
The interest here lies in the set of functions $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, which has a structure of an Abelian group $\mathfrak{Z}$ under the natural addition of functions. Now, a polynomial $p=$ $p(X) \in \mathbb{Q}[X]$ induces a function $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ by evaluation and, since $\mathbb{Q}$ is infinite, can be identified with the latter. One is interested in the subset of those $p$ such that $p(n) \in \mathbb{Z}$ for every $n \in \mathbb{Z}$. This set, identified with the corresponding subset of functions from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Z}$, is a subgroup $\mathfrak{Q} \subset \mathfrak{Z}$. Its elements will be called polynomial functions-always keeping in mind that as polynomials they have rational coefficients.
The focus will be on the nongroup theoretic equivalence relation that identifies two functions $f, g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ provided $f(n)=g(n)$ for all $n \gg 0$. The elements of $Z$ that belong to $\mathfrak{Q}$ up to this equivalence relation are very interesting; the Hilbert function will be one such, as one will see.
The (first) difference operator is the endomorphism $\Delta$ of $\mathfrak{Z}$ such that $\Delta(f)(n)=f(n+$ 1) $-f(n)$, for $f \in \mathcal{Z}$ and $n \in \mathbb{Z}$. For $l \geq 1$, the lth iterated $\Delta^l$ of $\delta$ is naturally defined by $\Delta^l=\Delta\left(\Delta^{l-1}\right)$, while $\Delta^0$ is defined by $\Delta^0(f)=f$, for every $f \in \mathcal{Z}$.
The reason to understand $\mathfrak{Z}$ in terms of its subgroup $\mathfrak{Q}$ is that the latter has a very simple structure.
Proposition 7.4.1. With the above notation, one has:
(a) (Polya, Ostrowski) Let $\left(\begin{array}{l}X \ i\end{array}\right)$ denote the polynomial function $n \mapsto\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)$. Then $\mathfrak{Q}$ is the free Abelian subgroup with basis the set $\left{\left(\begin{array}{l}X \ i\end{array}\right) \mid i=0,1, \ldots\right}$.
(b) The following conditions are equivalent for an element $f \in \mathfrak{Z}$ :
(i) $f$ is a polynomial function of degree $\leq d$
(ii) There exists an integer $d \geq 1$ such that $\Delta^{d+1} f(n)=0$ for all $n \in \mathbb{Z}$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代考|CLASSICAL SPECIALIZATION
这里，假设一个更特殊的特化案例，遵循特化基多项式环变量的经典过程。让 $A$ 表示有限 Krull 维数的诺特环一一在应用中，它主要是要专门化的 变量的基环一一并令 $R$ 表示一个有限生成的 $A$-代数。让 $\mathfrak{n} \subset A$ 表示最大理想，使得扩展理想 $\mathrm{n} R$ 是质数，并且 $\mathcal{I} \subset R$ 任何不包含在其中的理想 $\mathrm{n} R$. 放 $I:=(\mathcal{I}, \mathfrak{n}) / \mathfrak{n} R$ 和 $k:=A / \mathfrak{n}$
提案 7.3.50。考虑特化同态
$$
\mathfrak{s}: \mathcal{R} R(\mathcal{I}) \otimes_A k \rightarrow \mathcal{R} R / \mathrm{n} R(I)
$$
然后:
$1 \operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ 是的最小素理想 $\mathcal{R} R(\mathcal{I}) \otimes_A k$ 并且，对于任何最小素数 $\mathfrak{Q}$ 的 $\mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A \mathrm{k}$ 除了ker $(\mathfrak{s})$,一个有那个 $\mathfrak{Q}$ 对应于的最小素数 $\operatorname{gr} \mathcal{I}(R) \otimes_A k \simeq\left(\mathcal{R} R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) / \mathcal{I}\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right)$ 所以 $$ \operatorname{dim}\left(\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) / \mathfrak{Q}\right) \leq \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr} \mathcal{I}(R) \otimes_A k\right) $$ 尤其， 2 让 $t \geq 0$ 是一个整数，使得 $\ell(\mathcal{I P}) \leq \mathrm{ht}(\mathfrak{P} / \mathrm{n} R)+t$ 对于每个素理想 $\mathfrak{P} \in \operatorname{Spec}(R)$ 含有 $(\mathcal{I}, \mathfrak{n})$. 然后 $$ \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr} \mathcal{I}(R) \otimes_A k\right) \leq \operatorname{dim}(R / \mathrm{n} R)+t $$ $$ 3 \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(\mathfrak{s})) \leq \operatorname{dim}\left(\operatorname{gr}{\mathcal{I}}(R) \otimes_A k\right)
$$
证明。1让 $P \in \operatorname{Spec}(R)$ 是一个不包含的素理想 $\mathcal{I}$. 定位满射 $\mathfrak{R}: \mathcal{R} R(\mathcal{I}) \otimes_A k \rightarrow \mathcal{R} R / \mathrm{n} R(I)$ 在 $R \backslash P$ ，很容易看出它变成了同构。它遵循一些力 量 $\mathcal{I}$ 殀灭 $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ ，那是，
$$
\mathcal{I}^l \cdot \operatorname{ker}(\mathfrak{s})=0
$$
对于一些 $l>0$. 自从 $I \neq 0$ ，然后 $\mathcal{I} \nsubseteq \operatorname{ker}(\mathfrak{s})$. 因此，任何最小素理想 $\mathcal{R} R(\mathcal{I}) \otimes_A k$ 包含素理想 $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ 或理想 $\mathcal{I}$. 因此， $\operatorname{ker}(\mathfrak{s})$ 是最小素数和任何其 他最小素数 $Q$ 的 $\mathcal{R}R(\mathcal{I}) \otimes_A k$ 包含 $\mathcal{I}$. 显然，那么任何这样的 $Q$ 是的最小素数 $\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) / \mathcal{I}\left(\mathcal{R}_R(\mathcal{I}) \otimes_A k\right) \simeq \operatorname{gr} \mathcal{I}(R) \otimes_A k$. 自从 $\operatorname{dim}\left(\mathcal{R}{R / \mathrm{n} R}(I)\right)=\operatorname{dim}(R / \mathrm{n} R)+1$ ，索赔如下。
数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代考|COMBINATORIAL PRELIMINARIES
这里的兴趣在于函数集 $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, 它具有阿贝尔群的结构 3 在功能的自然加成下。现在，一个多项式 $p=p(X) \in \mathbb{Q}[X]$ 诱导一个函数 $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ 通过评 估，因为 $\mathbb{Q}$ 是无限的，可以等同于后者。一个人对那些的子集感兴趣 $p$ 这样 $p(n) \in \mathbb{Z}$ 每一个 $n \in \mathbb{Z}$. 这个集合，用相应的函数子集标识 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$, 是子 群 $Q \subset 3$. . 它的元素将被称为多项式函数一-永远记住，作为多项式，它们具有有理系数。
重点将放在识别两个函数的非群论等价关系上 $f, g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 假如 $f(n)=g(n)$ 对全部 $n \gg 0$. 的元素 $Z$ 属于Q直到这个等价关系都很有趣; Hilbert 函数就是这样一个函数，正如您将看到的那样。
这 first差分算子是自同态 $\Delta$ 的了这样 $\Delta(f)(n)=f(n+1)-f(n)$ ，为了 $f \in \mathcal{Z}$ 和 $n \in \mathbb{Z}$. 为了 $l \geq 1$, 第 1 次迭代 $\Delta^l$ 的 $\delta$ 自然地定义为 $\Delta^l=\Delta\left(\Delta^{l-1}\right)$ ，尽管 $\Delta^0$ 由定义 $\Delta^0(f)=f$, 对于每个 $f \in \mathcal{Z}$.
明白的道理3就其子群而言Q是后者的结构非常简单。
提案 7.4.1。使用上述符号，一个有:
a Polya, Ostrowski让 $(X i)$ 表示多项式函数 $n \mapsto(n i)$. 然后Q是基于集合的自由阿贝尔子群
$b$ 以下条件对于一个元素是等价的 $f \in Z:$
$i f$ 是次数的多项式函数 $\leq d$
$i i$ 存在一个整数 $d \geq 1$ 这样 $\Delta^{d+1} f(n)=0$ 对全部 $n \in \mathbb{Z}$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
