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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ideals and Quotient Rings
Ideals are in the centre of commutative algebra and algebraic geometry. Here we introduce only the basic notions related to them.
Let $A$ be a ring, as always, commutative and with 1 .
Definition 1.3.1. A subset $I \subset A$ is called an ideal if it is an additive subgroup which is closed under scalar multiplication, that is,
$$
\begin{aligned}
f, g \in I & \Longrightarrow f+g \in I \
f \in I, a \in A & \Longrightarrow a f \in I .
\end{aligned}
$$
Definition 1.3.2.
(1) Let $I \subset A$ be an ideal. A family $\left(f_\lambda\right){\lambda \in \Lambda}, \Lambda$ any index set, and $f\lambda \in I$, is called a system of generators of $I$ if every element $f \in I$ can be expressed as a finite linear combination $f=\sum_\lambda a_\lambda f_\lambda$ for suitable $a_\lambda \in A$. We then write
$$
I=\left\langle f_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\right\rangle_A=\left\langle f_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\right\rangle=\sum_{\lambda \in \Lambda} f_\lambda A
$$
or, if $\Lambda={1, \ldots, k}$
$$
I=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle_A=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle
$$
(2) I is called finitely generated if it has a finite system of generators; it is called principal if it can be generated by one element.
(3) If $\left(I_\lambda\right){\lambda \in \Lambda}$ is a family of ideals, then $\sum{\lambda \in \Lambda} I_\lambda$ denotes the ideal generated by $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} I_\lambda$.
(4) If $I_1, I_2$ are ideals, then $I_1 I_2$ (or $I_1 \cdot I_2$ ) denotes the ideal generated by the set $\left{a b \mid a \in I_1, b \in I_2\right}$.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Local Rings and Localization
Localization of a ring means enlarging the ring by allowing denominators, similar to the passage from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Q}$. The name, however, comes from the geometric interpretation. For example, localizing $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ at $\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$ means considering rational functions $f / g$ where $f$ and $g$ are polynomials with $g(0) \neq 0$. Of course, any polynomial $f=f / 1$ is of this form but, as $g$ may have zeros arbitrary close to $0, f / g$ is defined only locally, in an arbitrary small neighbourhood of 0 (cf. Appendix A.8).
Definition 1.4.1. A ring $A$ is called local if it has exactly one maximal ideal $\mathfrak{m} . A / \mathrm{m}$ is called the residue field of $A$. Rings with finitely many maximal ideals are called semi-local. We denote local rings also by $(A, \mathfrak{m})$ or $(A, \mathfrak{m}, K)$ where $K=A / m$
Fields are local rings. A polynomial ring $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ with $n \geq 1$ over a field $K$ is, however, never local. To see this, consider for any $\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in K^n$ the ideal $\mathfrak{m}_a:=\left\langle x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n\right\rangle$. Since $\varphi: K\left[x_1, \ldots, x_n\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, $\varphi\left(x_i\right):=x_i-a_i$, is an isomorphism sending $\mathfrak{m}_0=\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$ to $\mathfrak{m}_a$, it follows that $K\left[x_1, \ldots, x_n\right] / \mathfrak{m}_a \cong K$ is a field, hence $\mathfrak{m}_a$ is a maximal ideal. Since $K$ has at least two elements, $K^n$ has at least two different points and, hence, $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ has at least as many maximal ideals as $K^n$ points (those of type $\mathfrak{m}_a$ ). If $K$ is algebraically closed, then the ideals $\mathfrak{m}_a, a \in K^n$ are all maximal ideals of $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ (this is one form of Hilbert’s Nullstellensatz).
A typical local ring is the formal power series ring $K\left[\left[x_1, \ldots, x_n\right]\right]$ with maximal ideal $\mathfrak{m}=\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$, that is, all power series without constant term. That this ring is local follows easily from Lemma 1.4.3. We shall treat power series rings in Chapter 6. Other examples are localizations of polynomial rings at prime ideals, cf. Example 1.4.6.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Ideals and Quotient Rings
理想是交换代数和代数几何的中心。这里我们只介绍与它们有关的基本概念。
设$A$是一个环，一如既往，可交换且与1。
定义1.3.1。如果子集$I \subset A$是闭于标量乘法下的可加子群，则称其为理想，即
$$
\begin{aligned}
f, g \in I & \Longrightarrow f+g \in I \
f \in I, a \in A & \Longrightarrow a f \in I .
\end{aligned}
$$
定义1.3.2.
(1)设$I \subset A$为理想。一个族$\left(f_\lambda\right){\lambda \in \Lambda}, \Lambda$任意索引集和$f\lambda \in I$，如果每个元素$f \in I$都可以表示为合适$a_\lambda \in A$的有限线性组合$f=\sum_\lambda a_\lambda f_\lambda$，则称为$I$的生成器系统。然后我们写
$$
I=\left\langle f_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\right\rangle_A=\left\langle f_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\right\rangle=\sum_{\lambda \in \Lambda} f_\lambda A
$$
或者，如果$\Lambda={1, \ldots, k}$
$$
I=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle_A=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle
$$
(2) I是有限生成的，如果它有一个有限的生成器系统;
(3)如果$\left(I_\lambda\right){\lambda \in \Lambda}$是理想族，则$\sum{\lambda \in \Lambda} I_\lambda$表示由$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} I_\lambda$产生的理想。
(4)如果$I_1, I_2$是理想族，则$I_1 I_2$(或$I_1 \cdot I_2$)表示由$\left{a b \mid a \in I_1, b \in I_2\right}$集合产生的理想。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Local Rings and Localization
环的局部化意味着通过允许分母来扩大环，类似于从$\mathbb{Z}$到$\mathbb{Q}$的通道。然而，这个名字来自于几何学的解释。例如，将$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$定位到$\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$意味着考虑有理函数$f / g$，其中$f$和$g$是含有$g(0) \neq 0$的多项式。当然，任何多项式$f=f / 1$都是这种形式，但是，因为$g$可能有任意接近$0, f / g$的零，所以它只在0的任意小邻域中定义(参见附录A.8)。
定义一个环$A$如果恰好有一个极大理想，则称为局部的$\mathfrak{m} . A / \mathrm{m}$，称为$A$的残馀场。具有有限多个极大理想的环称为半局部环。我们也用$(A, \mathfrak{m})$或$(A, \mathfrak{m}, K)$表示局部环，其中$K=A / m$
字段是局部环。然而，域$K$上具有$n \geq 1$的多项式环$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$绝不是局部的。要了解这一点，请考虑任何$\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in K^n$理想的$\mathfrak{m}_a:=\left\langle x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n\right\rangle$。由于$\varphi: K\left[x_1, \ldots, x_n\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$、$\varphi\left(x_i\right):=x_i-a_i$是将$\mathfrak{m}_0=\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$发送到$\mathfrak{m}_a$的同构，因此$K\left[x_1, \ldots, x_n\right] / \mathfrak{m}_a \cong K$是一个字段，因此$\mathfrak{m}_a$是一个最大理想。因为$K$至少有两个元素，$K^n$至少有两个不同的点，因此，$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$至少有与$K^n$点($\mathfrak{m}_a$类型的点)一样多的最大理想。如果$K$在代数上是闭的，那么理想$\mathfrak{m}_a, a \in K^n$都是$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$的极大理想(这是Hilbert’s Nullstellensatz的一种形式)。
一个典型的局部环是具有极大理想$\mathfrak{m}=\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$的形式幂级数环$K\left[\left[x_1, \ldots, x_n\right]\right]$，即所有幂级数都没有常数项。从引理1.4.3可以很容易地看出这个环是局部的。我们将在第六章讨论幂级数环。其他的例子是多项式环在素数理想处的局部化，参见例1.4.6。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
