如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Congruences
introduced the theory of congruences along with the terminology and notation we still use today. The idea behind the notion of congruences is based on the rather obvious observation that many of the arguments used by Fermat ultimately boil down to very simple facts about remainders. The proof that no prime of the form $4 n+3$ can ever be the sum of two squares, because squares must have either the form $4 n$ or $4 n+1$, is a good example of this phenomenon. The general idea behind congruences, then, is to forget about the $4 n$ part and do arithmetic using just the remainders. Gauss showed us how this can be made to work in a precise way.
So, if in arguments such as these it is the remainders that matter rather than the numbers themselves, we should not distinguish between 7 and 11 because each has the same remainder when divided by 4 , or between 0 and 28 for the same reason. This leads to the following formal definition.
For a positive integer $m$, we say that $a$ is congruent to $b$ modulo $m$, and we write $a \equiv b(\bmod m)$, if $m$ divides $a-b$; otherwise, $a$ is not congruent to $b$ modulo $m$, and we write $a \neq b(\bmod m)$.
So, we have $11 \equiv 7(\bmod 4), 28 \equiv 0(\bmod 4)$, and $11 \not \equiv 7(\bmod 3)$. The number $m$ in this definition is called the modulus. This terminology is due to Gauss. Others had called this number, more simply, the divisor, but at this late date we are now stuck with modulus. Note that the definition does not explicitly say that $a$ is congruent to $b$ if $a$ and $b$ have the same remainders, but of course the net effect is the same.
Now, the most fundamental idea behind the notion of congruences is that for any modulus $m$ there are exactly $m$ possible remainders, namely, ${0,1,2, \ldots, m-1}$, and therefore division by $m$ partitions the integers $\mathrm{Z}$ into $m$ distinct sets of integers where the integers in each set have the same remainder modulo $m$. Thus, for example, if the modulus is 4 , then the four sets in the partition would be ${\ldots,-4,0,4,8,12, \ldots},{\ldots,-3,1,5,9, \ldots}$, ${\ldots,-2,2,6,10, \ldots}$, and ${\ldots,-1,3,7,11, \ldots}$.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Divisibility Tests
One of the easiest applications of the notion of congruences is to the familiar idea of divisibility tests. Almost everyone knows the standard test to determine whether a number is divisible by 3: you simply add the digits, and the number will be divisible by 3 if, and only if, this sum is divisible by 3 . Thus, 111111 is divisible by 3, but 1111111 isn’t. (Try it: $111111=3 \cdot 37037$, but $\frac{111111}{3}=370370.333 \ldots$…)
The reason this divisibility test works is easy to detect. If we write an integer $N$ as
$$
N=d_1 \cdot 1+d_2 \cdot 10+d_3 \cdot 10^2+\cdots+d_{r+1} \cdot 10^r
$$
in terms of its digits $d_1, d_2, \ldots, d_{r+1}$, then the sum $S$ of its digits is
$$
S=d_1+d_2+\cdots+d_{r+1}
$$
So, the difference between $N$ and the sum $S$ of its digits is
$$
N-S=d_2 \cdot 9+d_3 \cdot 99+\cdots+d_{r+1} \cdot 999 \ldots 9
$$
which is divisible by 3 . Thus,
$$
N \equiv S(\bmod 3)
$$
Hence $N$ is divisible by 3 if and only if the sum $S$ of its digits is divisible by 3 .
An almost identical congruence argument lies behind the standard test to determine whether a number is divisible by 9: you again add the digits, and the number will be divisible by 9 if and only if this sum is divisible by 9 . For example, we immediately know the number 123456789 is divisible by 9 because $1+2+\cdots+9=\frac{(9)(10)}{2}=45$, which is divisible by 9. (Or you can cheat and use your calculator to discover that $123456789=9 \cdot 13717421$.)
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|Congruences
引入了同余理论以及我们今天仍在使用的术语和符号。同余概念背后的思想是基于一个相当明显的观察，即费马使用的许多论点最终归结为关于余数的非常简单的事实。证明任何形式为$4 n+3$的素数都不可能是两个平方和，因为平方必须是$4 n$或$4 n+1$的形式，这就是这种现象的一个很好的例子。因此，同余的基本思想是，忘掉$4 n$部分，只用余数做算术。高斯向我们展示了如何以一种精确的方式使其工作。
因此，如果在这样的参数中，余数比数字本身更重要，我们不应该区分7和11，因为它们除以4后的余数相同，或者出于同样的原因，0和28之间也不应该区分。这导致了下面的正式定义。
对于正整数$m$，我们说$a$等于$b$模$m$，我们写$a \equiv b(\bmod m)$，如果$m$除$a-b$;否则，$a$不等于$b$模$m$，我们写成$a \neq b(\bmod m)$
所以，我们有$11 \equiv 7(\bmod 4), 28 \equiv 0(\bmod 4)$和$11 \not \equiv 7(\bmod 3)$。这个定义中的数字$m$称为模数。这个术语来源于高斯。其他人称这个数，更简单地说，是除数，但到了现在，我们只能用模数了。请注意，如果$a$和$b$的余数相同，定义并没有明确地说$a$等于$b$，但当然净效应是相同的。
现在，同余概念背后最基本的思想是，对于任何模$m$都有$m$个可能的余数，即${0,1,2, \ldots, m-1}$，因此除以$m$将整数$\mathrm{Z}$划分为$m$个不同的整数集，其中每个集合中的整数具有相同的余数模$m$。因此，例如，如果模数为4，则分区中的四个集合将为${\ldots,-4,0,4,8,12, \ldots},{\ldots,-3,1,5,9, \ldots}$, ${\ldots,-2,2,6,10, \ldots}$和${\ldots,-1,3,7,11, \ldots}$。
数学代写|数论代写Number Theory代考|Divisibility Tests
同余概念最简单的应用之一是我们熟悉的可整除性检验。几乎每个人都知道判断一个数是否能被3整除的标准测试:你只要把数字加起来，这个数就能被3整除，当且仅当这个和能被3整除。因此，111111能被3整除，但1111111不能。(尝试一下:$111111=3 \cdot 37037$，但是$\frac{111111}{3}=370370.333 \ldots$…)
这个可整除性测试工作的原因很容易检测到。如果我们把一个整数$N$写成
$$
N=d_1 \cdot 1+d_2 \cdot 10+d_3 \cdot 10^2+\cdots+d_{r+1} \cdot 10^r
$$
表示它的位数$d_1, d_2, \ldots, d_{r+1}$，那么它的位数之和$S$是
$$
S=d_1+d_2+\cdots+d_{r+1}
$$
所以，$N$和它的位数之和$S$的差是
$$
N-S=d_2 \cdot 9+d_3 \cdot 99+\cdots+d_{r+1} \cdot 999 \ldots 9
$$
它能被3整除。因此，
$$
N \equiv S(\bmod 3)
$$
因此，$N$当且仅当其数字之和$S$能被3整除。
判断一个数能否被9整除的标准检验背后有一个几乎相同的同余论证:你再次将这些数字相加，当且仅当这个和能被9整除，这个数能被9整除。例如，我们马上知道123456789能被9整除，因为$1+2+\cdots+9=\frac{(9)(10)}{2}=45$能被9整除。(或者你可以作弊，用计算器来计算$123456789=9 \cdot 13717421$)
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
