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泛函分析functional analysis 是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Limits and Continuity
We now examine the fundamental concepts of limits and continuity of functions $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ defined on $\mathbb{R}^n$. In real analysis, the concept of continuity of a function follows immediately from that of the limit of a function.
Limit of a Function. Let $f: A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ denote a function defined on a set $A \subset \mathbb{R}^n$ and let $\boldsymbol{x}_0$ be an accumulation point of $A$. Then $f$ is said to have a limit $\boldsymbol{a}$ at the point $\boldsymbol{x}_0$ if, for every $\varepsilon>0$, there is another number $\delta>0$ such that whenever $d\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_0\right)<\delta, d(f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{a})<\varepsilon$.
The idea is illustrated in Fig. 1.16a. If $x$ is sufficiently near $x_0, f(x)$ can be made as near to $a$ as is desired. Fig. 1.16 b shows a case in which $f(x)$ is discontinuous at $x_0$. Clearly, if we pick a sufficiently small $\varepsilon>0$, there exist no point $a$ in the codomain and no $\delta$ for which $|f(x)-a|<\varepsilon$ whenever $\left|x-x_0\right|<\delta$. If we choose $xx_0$ then $\left|f(x)-a_2\right|<\varepsilon$ whenever $\left|x-x_0\right|<\delta$. Then $a_1$ is called the left limit of $f(x)$ at $x_0$ and $a_2$ is called the right limit of $f(x)$ at $x_0$. The function $f(x)$ has a limit $a$ at $x_0$ iff $a_1=a_2=a$, and we write
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a
$$
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Continuity (The Limit Definition)
Continuity (The Limit Definition). A function $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ on a set $A \subset \mathbb{R}^n$ is continuous at the accumulation point $\boldsymbol{x}0 \in A$ if and only if (i) $f\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ exists (ii) $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_0} f(\boldsymbol{x})=f\left(\boldsymbol{x}_0\right)$
If $x_0$ is not an accumulation point of $A$, we only require (i) for continuity. Note that this in particular implies that function $f$ is always continuous at isolated points of $A$.
The definition of continuity can be rewritten without referring to the notion of a limit.
Continuity ( $\varepsilon-\delta$ Definition, Cauchy). A function $f: \mathbb{R}^n \supset A \rightarrow \mathbb{R}^m$ is continuous at a point $\boldsymbol{x}_0 \in A$ (this automatically means that $f\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ exists) iff for every $\varepsilon>0$ there exists a $\delta>0$ such that
$$
d\left(f\left(\boldsymbol{x}_0\right), f(\boldsymbol{x})\right)<\varepsilon \text { whenever } d\left(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}\right)<\delta, \boldsymbol{x} \in A
$$
Observe that the two metrics here may be different, with the first being the Euclidean metric on $\mathbb{R}^n$ and the second the Euclidean metric on $\mathbb{R}^m$, with the possibility that $m \neq n$.
The essence of the notion of continuity is actually tied up in the concept of neighborhoods rather than limits or $\varepsilon-\delta$ arguments. Using the notion of neighborhood we can rewrite the definition of continuity in the following equivalent way: A function $f: \mathbb{R}^n \supset A \rightarrow \mathbb{R}^m$ is continuous at a point $\boldsymbol{x}_0 \in A$ iff for every neighborhood $N$ of $f\left(x_0\right)$ there exists a neighborhood $M$ of $x_0$ such that
$$
f(\boldsymbol{x}) \in N \text { whenever } \boldsymbol{x} \in M \cap A
$$
or simply
$$
f(M) \subset N
$$
Using the notion of sequences we can introduce the notion of continuity yet in another way.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Limits and Continuity
我们现在检查在$\mathbb{R}^n$上定义的函数$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$的极限和连续性的基本概念。在实际分析中，函数连续性的概念是由函数极限的概念直接衍生出来的。
函数极限。设$f: A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$表示在集合$A \subset \mathbb{R}^n$上定义的函数，设$\boldsymbol{x}_0$是$A$的一个累加点。那么，如果对于每个$\varepsilon>0$，存在另一个数字$\delta>0$，使得每当$d\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_0\right)<\delta, d(f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{a})<\varepsilon$ .
该思想在图1.16a中说明，则称$f$在$\boldsymbol{x}_0$点处有一个极限$\boldsymbol{a}$。如果$x$足够接近$x_0, f(x)$，则可以使其尽可能接近$a$。图1.16 b显示了$f(x)$在$x_0$处不连续的情况。显然，如果我们选择一个足够小的$\varepsilon>0$，在上域中不存在点$a$，也不存在点$\delta$，而$|f(x)-a|<\varepsilon$无论何时$\left|x-x_0\right|<\delta$。如果我们选择$xx_0$，那么$\left|f(x)-a_2\right|<\varepsilon$每当$\left|x-x_0\right|<\delta$。那么$a_1$被称为$f(x)$在$x_0$的左极限，$a_2$被称为$f(x)$在$x_0$的右极限。函数$f(x)$有一个限制$a$在$x_0$ iff $a_1=a_2=a$，我们写
$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a
$$
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Continuity (The Limit Definition)
连续性(极限定义)。集合$A \subset \mathbb{R}^n$上的函数$f: A \rightarrow \mathbb{R}$在累加点$\boldsymbol{x}0 \in A$处连续当且仅当(i) $f\left(\boldsymbol{x}_0\right)$存在(ii) $\lim {\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_0} f(\boldsymbol{x})=f\left(\boldsymbol{x}_0\right)$
如果$x_0$不是$A$的累加点，我们只要求(i)为连续性。请注意，这特别意味着函数$f$在$A$的孤立点上总是连续的。
连续性的定义可以重写而不涉及极限的概念。
连续性($\varepsilon-\delta$柯西定义)。函数$f: \mathbb{R}^n \supset A \rightarrow \mathbb{R}^m$在一点$\boldsymbol{x}_0 \in A$连续(这自动意味着$f\left(\boldsymbol{x}_0\right)$存在)，如果对于每个$\varepsilon>0$存在一个$\delta>0$，使得
$$
d\left(f\left(\boldsymbol{x}_0\right), f(\boldsymbol{x})\right)<\varepsilon \text { whenever } d\left(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}\right)<\delta, \boldsymbol{x} \in A
$$
观察这里的两个度量可能是不同的，第一个是$\mathbb{R}^n$上的欧几里得度量，第二个是$\mathbb{R}^m$上的欧几里得度量，有可能$m \neq n$ .
连续性概念的本质实际上与邻域的概念联系在一起，而不是限制或$\varepsilon-\delta$论点。利用邻域的概念，我们可以用以下等价的方式重写连续性的定义:一个函数$f: \mathbb{R}^n \supset A \rightarrow \mathbb{R}^m$在$\boldsymbol{x}_0 \in A$ iff点连续，对于$f\left(x_0\right)$的每一个邻域$N$，存在一个$x_0$的邻域$M$，使得
$$
f(\boldsymbol{x}) \in N \text { whenever } \boldsymbol{x} \in M \cap A
$$
或简单地
$$
f(M) \subset N
$$
使用序列的概念，我们可以以另一种方式引入连续性的概念。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
