如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。
常微分方程Ordinary Differential Equations线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。
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数学代写|常微分方程代写Ordinary Differential Equations代考|Direct and indirect numerical methods
We remark that, in general, one can determine solutions to the problem $\min _{y \in V} J(y)$ by numerical methods. A direct method is to approximate the functional $J$ by quadratures on a partition of the interval $[a, b]$, and to minimise the resulting discrete functional by an appropriate numerical optimisation method; see, e.g., [18]. An indirect method is to solve the EL equations numerically by, e.g., the finite-volume scheme for boundary-vale problems discussed in Chapter 8 .
To illustrate the direct method, consider a uniform grid of points on $[a, b]$, $\left(x_j\right){j=0}^N, N>1$, where $x_j=a+j h, h=(b-a) / N$. These grid points define sub-intervals $\left[x{j-1}, x_j\right], j=1, \ldots, N$. On this grid, we can approximate the functional
$$
J(y)=\int_a^b \ell\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x,
$$
by using the midpoint rule as follows:
$$
J_h\left(y^h\right)=h \sum_{j=1}^N \ell\left(\frac{x_j+x_{j-1}}{2}, \frac{y_j+y_{j-1}}{2}, \frac{y_j-y_{j-1}}{h}\right)
$$
where $y^h=\left(y_j\right){j=0^N}$ represents the numerical solution such that, for $V$ given by $(9.16)$, we have $y_0=y_a$ and $y_N=y_b$. Further, for a gradient-based optimisation procedure, we need the gradient of $J_h$ with respect to $y^h$. The $j$ th component of this gradient is given by $$ \frac{\partial}{\partial y_j} J_h\left(y^h\right)=h\left[\frac{1}{2}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|{j+1}+\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|j\right)-\frac{1}{h}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|{j+1}-\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|j\right)\right] $$ where $j=1, \ldots, N-1$, and we use the notation $\left.\ell\right|_j=\ell\left(\frac{x_j+x{j-1}}{2}, \frac{y_j+y_{j-1}}{2}\right.$, $\left.\frac{y_j-y_{j-1}}{h}\right)$. Notice that requiring $\frac{\partial}{\partial y_j} J_h\left(y^h\right)=0$ results in the following discrete EL equations:
$$
\frac{1}{2}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|{j+1}+\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|_j\right)-\frac{1}{h}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|{j+1}-\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|_j\right)=0
$$
where $j=1, \ldots, N-1$.
数学代写|常微分方程代写Ordinary Differential Equations代考|Unilateral constraints
Let $V \subset B$ non-empty and assume that $y \in V$ is a weak local minimiser of $J$ in $V$. Recall the optimality condition given in Theorem 9.4 , we have
$$
(\nabla J(y), w) \geq 0, \quad w \in T(V, y)
$$
If $V$ is a convex set, then this condition becomes
$$
(\nabla J(y), v-y) \geq 0 \quad v \in V
$$
since $v-y \in T(V, y)$ if $v \in V$.
A typical setting for an unilateral constraint is as follows:
$$
V=\left{v \in C^1([a, b]): v(a)=y_a, v(b)=y_b ; v(x) \geq \psi(x), x \in(a, b)\right} .
$$
For example, consider a string bending over an obstacle $\psi$ as depicted in Figure 9.2.
This configuration corresponds to the minimum of the functional
$$
J(y)=\frac{1}{2} \int_a^b\left(y^{\prime}(x)\right)^2 d x
$$
in $V$ given by $(9.30)$ with $y_a=0$ and $y_b=0$.
We assume $\psi \in C^1([a, b])$, and $\psi(a) \leq 0, \psi(b) \leq 0$. Then the optimality condition is given by the variational inequality
$$
\int_a^b y^{\prime}(x)\left(v^{\prime}(x)-y^{\prime}(x)\right) d x \geq 0, \quad v \in V .
$$
One can prove existence of a solution $y \in H_0^1(a, b)$ to this problem, and based on a regularity result in [52], we have $y \in C^1([a, b])$ if $\psi$ is sufficiently regular.
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写Ordinary Differential Equations代考|Direct and indirect numerical methods
我们注意到，一般来说，人们可以用数值方法确定问题$\min _{y \in V} J(y)$的解。一种直接的方法是在区间$[a, b]$的分区上通过正交来近似泛函$J$，并通过适当的数值优化方法最小化所得到的离散泛函;参见，例如，[18]。一种间接方法是用数值方法求解EL方程，例如在第8章中讨论的边值问题的有限体积格式。
为了说明直接方法，考虑$[a, b]$, $\left(x_j\right){j=0}^N, N>1$上的均匀网格点，其中$x_j=a+j h, h=(b-a) / N$。这些网格点定义了子区间$\left[x{j-1}, x_j\right], j=1, \ldots, N$。在这个网格上，我们可以使用中点规则近似函数
$$
J(y)=\int_a^b \ell\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x,
$$
，如下所示:
$$
J_h\left(y^h\right)=h \sum_{j=1}^N \ell\left(\frac{x_j+x_{j-1}}{2}, \frac{y_j+y_{j-1}}{2}, \frac{y_j-y_{j-1}}{h}\right)
$$
其中$y^h=\left(y_j\right){j=0^N}$表示数值解，对于$(9.16)$给出的$V$，我们有$y_0=y_a$和$y_N=y_b$。此外，对于基于梯度的优化过程，我们需要$J_h$相对于$y^h$的梯度。$j$这个梯度的第一个分量由$$ \frac{\partial}{\partial y_j} J_h\left(y^h\right)=h\left[\frac{1}{2}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|{j+1}+\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|j\right)-\frac{1}{h}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|{j+1}-\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|j\right)\right] $$给出，其中$j=1, \ldots, N-1$，我们使用符号$\left.\ell\right|_j=\ell\left(\frac{x_j+x{j-1}}{2}, \frac{y_j+y_{j-1}}{2}\right.$, $\left.\frac{y_j-y_{j-1}}{h}\right)$。注意，需要$\frac{\partial}{\partial y_j} J_h\left(y^h\right)=0$会导致以下离散EL方程:
$$
\frac{1}{2}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|{j+1}+\left.\frac{\partial \ell}{\partial y}\right|_j\right)-\frac{1}{h}\left(\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|{j+1}-\left.\frac{\partial \ell}{\partial y^{\prime}}\right|_j\right)=0
$$
其中$j=1, \ldots, N-1$ .
数学代写|常微分方程代写Ordinary Differential Equations代考|Unilateral constraints
设$V \subset B$非空，并假设$y \in V$是$V$中$J$的弱局部最小值。回想一下定理9.4中给出的最优性条件，我们有
$$
(\nabla J(y), w) \geq 0, \quad w \in T(V, y)
$$
如果$V$是一个凸集，那么这个条件就变成
$$
(\nabla J(y), v-y) \geq 0 \quad v \in V
$$
，因为$v-y \in T(V, y)$如果$v \in V$ .
单侧约束的典型设置如下:
$$
V=\left{v \in C^1([a, b]): v(a)=y_a, v(b)=y_b ; v(x) \geq \psi(x), x \in(a, b)\right} .
$$
例如，考虑如图9.2所示的在障碍物$\psi$上弯曲的弦。
这个配置对应于$V$中函数
$$
J(y)=\frac{1}{2} \int_a^b\left(y^{\prime}(x)\right)^2 d x
$$
的最小值，由$(9.30)$给出$y_a=0$和$y_b=0$ .
我们假设$\psi \in C^1([a, b])$和$\psi(a) \leq 0, \psi(b) \leq 0$。然后由变分不等式
$$
\int_a^b y^{\prime}(x)\left(v^{\prime}(x)-y^{\prime}(x)\right) d x \geq 0, \quad v \in V .
$$给出最优性条件
可以证明该问题的解$y \in H_0^1(a, b)$的存在性，并且基于[52]中的正则性结果，如果$\psi$是充分正则的，我们有$y \in C^1([a, b])$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
