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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Taylor’s infinite series
Let $a \in \mathbb{R}$. Let a real function $f$ defined on some neighbourhood $N(a)$ of $a$ be such that $f^{n-1}$ is differentiable on $N(a)$.
Then for any $x \in N^{\prime}(a)[=N(a)-{a}], f(x)=P_n(x)+R_n(x)$, where $R_n(x)$ is the remainder after $n$ terms and
$$
P_n(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1} \cdot(a) .
$$
$P_n(x)$ is a polynomial of degree $n-1 . P_n(x)$ is such that
$$
P_n(a)=f(a), P_n^{\prime}(a)=f^{\prime}(a), P_n^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(a), \ldots, P_n^{n-1}(a)=f^{n-1}(a) .
$$
$P_n(x)$ is called the $n$-th Taylor polynomial of $f$ about the point $a$.
If $f$ be a function such that for all $n \in \mathbb{N}, f^n$ exists on $N(a)$, then the polynomial $P_n(x)$ for any $x \in N^{\prime}(a)$ takes the form of an infinite series
$$
f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots
$$
The questions now arise:
Does the infinite series (i) converge?
If it be convergent, does it converge to $f(x)$ ?
The infinite series (i) will be convergent if and only if the sequence of partial sums [i.e., the sequence $\left{P_n(x)\right}$ ] be convergent.
In order that the sum of the series (i) may be $f(x)$, the limit of the sequence $\left{P_n(x)\right}$ must be $f(x)$.
Since $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ for any $n$, the series (i) will converge to $f(x)$ if and only if $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0$.
Therefore if $f: N(a) \rightarrow \mathbb{R}$ be such that $f^n(x)$ exists on $N(a)$ for all $n \in \mathbb{N}$, then for any $x$ belonging to some subset $A \subset N^{\prime}(a)$ for which $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0, f(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots$
The equality (ii) also holds for $x=a$ trivially.
The infinite series in the right hand side of (ii) is called Taylor’s infinite series for the function $f$ about the point $a$, the region of convergence of the series being $A \cup{a}$,
In particular, if $a=0$, then Taylor’s infinite series for the function $f$ about 0 takes the form $f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\cdots \cdots$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Expansion of some functions
Let $f(x)=e^x, x \in \mathbb{R}$.
For all $n \in \mathbb{N}, f^n(x)=e^x$ for all $x \in \mathbb{R}$.
By Taylor’s theorem with Lagrange’s form of remainder after $n$ terms, for a non-zero $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1}(0)+R_n(x)$, where $R_n(x)=\frac{x^n}{n !} f^n(\theta x)$ for some real number $\theta$ satisfying $0<\theta<1 \ldots \ldots$ (i)
Since for all $n \in \mathbb{N}, f^n(x)$ exists for all real $x$, the right hand polynomial in (i) takes the form of an infinite series as $n \rightarrow \infty$. The infinite series will converge to $f(x)$ for those non-zero real $x$ for which $\lim {n \rightarrow \infty}$ $R_n=0$. $R_n=\frac{x^n}{n !} e^{\theta x}$. Let $u_n=\frac{|x|^n}{n !}, x \neq 0$. Then $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{|x|}{n+1}=0$. This proves $\lim u_n=0 . \quad$ [Theorem 5.8.1.]
For all real $x, e^{\theta x}$ is bounded. Hence $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|R_n\right|=0$ for all real $x \neq 0$ and this implies $\lim R_n=0$ for all real $x \neq 0$. [Theorem 5.6.1.]
Consequently, the infinite series $1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots$ converges to $e^x$ for all real $x \neq 0$.
At $x=0$, the convergence holds trivially.
So $e^x=1+x+\frac{\frac{x}{2}^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots$ for all $x \in \mathbb{R}$.
Let $f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$.
For all $n \in \mathbb{N}, f^n(x)=\sin \left(\frac{n \pi}{2}+x\right)$ exists for all $x \in \mathbb{R}$.
By Taylor’s theorem with Lagrange’s form of remainder after $n$ terms, for any non-zero $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\cdots+\frac{x^{n-2}}{(n-1) !} f^{n-1}(0)+R_n(x)$, where $R_n(x)=\frac{x^n}{n !} f^n(\theta x)$ for some real number $\theta$ satisfying $0<\theta<1 \ldots$.
$f(0)=0, f^n(0)=\sin \frac{n \pi}{2}=0$ if $n$ be even
$=1$ if $n=4 k+1, k$ being an integer $=-1$ if $n=4 k+3, k$ being an integer.
Therefore $f(x)=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+\frac{x^n}{n !} \sin \left(\frac{n \pi}{2}+\theta x\right)$.
Since for all $n \in \mathbb{N}, f^n(x)$ exists for all real $x$, the right hand polynomial in (i) takes the form of an infinite series as $n \rightarrow \infty$. The infinite series will converge to $f(x)$ for those non-zero real $x$ for which $\lim _{n \rightarrow \infty} R_n=0$.
Now $\left|R_n\right|=\left|\frac{x^n}{n !} \sin \left(\frac{n \pi}{2}+\theta x\right)\right| \leq \frac{|x|^n}{n !}$.
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Taylor’s infinite series
让 $a \in \mathbb{R}$． 取一个实函数 $f$ 在某个邻域中定义 $N(a)$ 的 $a$ 这样 $f^{n-1}$ 是可微的 $N(a)$．
那么对于任何 $x \in N^{\prime}(a)[=N(a)-{a}], f(x)=P_n(x)+R_n(x)$，其中 $R_n(x)$ 余数是 $n$ 条款及
$$
P_n(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots+\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1} \cdot(a) .
$$
$P_n(x)$ 是次数的多项式吗 $n-1 . P_n(x)$ 是这样的
$$
P_n(a)=f(a), P_n^{\prime}(a)=f^{\prime}(a), P_n^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(a), \ldots, P_n^{n-1}(a)=f^{n-1}(a) .
$$
$P_n(x)$ 叫做 $n$的-th泰勒多项式 $f$ 关于这一点 $a$．
如果 $f$ 做一个对所有人都有用的函数 $n \in \mathbb{N}, f^n$ 存在于 $N(a)$，那么多项式 $P_n(x)$ 对于任何 $x \in N^{\prime}(a)$ 以无穷级数的形式
$$
f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots
$$
现在的问题是:
无穷级数(i)收敛吗?
如果它是收敛的，它是否收敛于 $f(x)$ ？
无穷级数(i)收敛当且仅当部分和的数列[即，数列 $\left{P_n(x)\right}$ 是收敛的。
为了使级数(i)的和可以 $f(x)$，数列的极限 $\left{P_n(x)\right}$ 一定是 $f(x)$．
自从 $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ 对于任何 $n$，级数(i)收敛于 $f(x)$ 当且仅当 $\lim {n \rightarrow \infty} R_n(x)=0$． 因此如果 $f: N(a) \rightarrow \mathbb{R}$ 这样 $f^n(x)$ 存在于 $N(a)$ 对所有人 $n \in \mathbb{N}$那么对于任何 $x$ 属于某个子集 $A \subset N^{\prime}(a)$ 为了什么? $\lim {n \rightarrow \infty} R_n(x)=0, f(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots$
等式(ii)也适用 $x=a$ 琐碎的。
(ii)右边的无穷级数称为函数的泰勒无穷级数 $f$ 关于这一点 $a$，级数的收敛区域为 $A \cup{a}$，
特别是，如果 $a=0$，然后是函数的泰勒无穷级数 $f$ 大约0的形式是 $f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\cdots \cdots$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Expansion of some functions
让$f(x)=e^x, x \in \mathbb{R}$。
为所有人$n \in \mathbb{N}, f^n(x)=e^x$为所有人$x \in \mathbb{R}$。
利用泰勒定理和拉格朗日在$n$项后的余数形式，对于一个非零的$x \in \mathbb{R}$, $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1}(0)+R_n(x)$，其中$R_n(x)=\frac{x^n}{n !} f^n(\theta x)$对于某个实数$\theta$满足$0<\theta<1 \ldots \ldots$ (i)
因为对于所有的$n \in \mathbb{N}, f^n(x)$对于所有实数$x$都存在，所以(i)中的右手多项式采用无穷级数$n \rightarrow \infty$的形式。无穷级数收敛于$f(x)$对于那些非零实数$x$对于$\lim {n \rightarrow \infty}$$R_n=0$。$R_n=\frac{x^n}{n !} e^{\theta x}$。让$u_n=\frac{|x|^n}{n !}, x \neq 0$。然后$\lim {n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{|x|}{n+1}=0$。这证明了$\lim u_n=0 . \quad$[定理5.8.1] 对于所有实数$x, e^{\theta x}$是有界的。因此，所有实数$x \neq 0$为$\lim {n \rightarrow \infty}\left|R_n\right|=0$，这意味着所有实数$x \neq 0$为$\lim R_n=0$。[定理5.6.1]
因此，无穷级数$1+x+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots$收敛于$e^x$对于所有实数$x \neq 0$。
在$x=0$，收敛性很简单。
所以$e^x=1+x+\frac{\frac{x}{2}^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots$对应所有$x \in \mathbb{R}$。
让$f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$。
对于所有的$n \in \mathbb{N}, f^n(x)=\sin \left(\frac{n \pi}{2}+x\right)$存在于所有的$x \in \mathbb{R}$。
根据泰勒定理和拉格朗日公式$n$项后的余数形式，对于任意非零$x \in \mathbb{R}$, $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\cdots+\frac{x^{n-2}}{(n-1) !} f^{n-1}(0)+R_n(x)$，其中$R_n(x)=\frac{x^n}{n !} f^n(\theta x)$对于某些实数$\theta$满足$0<\theta<1 \ldots$。
$f(0)=0, f^n(0)=\sin \frac{n \pi}{2}=0$如果$n$是偶数
如果$n=4 k+1, k$是整数，则为$=1$如果$n=4 k+3, k$是整数，则为$=-1$。
因此$f(x)=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+\frac{x^n}{n !} \sin \left(\frac{n \pi}{2}+\theta x\right)$。
因为对于所有的$n \in \mathbb{N}, f^n(x)$对于所有实数$x$都存在，所以(i)中的右手多项式采用无穷级数$n \rightarrow \infty$的形式。无穷级数收敛于$f(x)$对于那些非零实数$x$对于$\lim _{n \rightarrow \infty} R_n=0$。
现在$\left|R_n\right|=\left|\frac{x^n}{n !} \sin \left(\frac{n \pi}{2}+\theta x\right)\right| \leq \frac{|x|^n}{n !}$。
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
