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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Worked Examples
A function $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ is defined by
$f(x)=x, x$ is rational in ${0,1}$
$=1-x, x$ is irrational in $[0,1]$.
Show that (i) $f$ is injective on $[0,1]$, (ii) $f$ assumes every real number in $[0,1]$, (iii) $f$ is continuous at $\frac{1}{2}$ and discontinuous at every other point in $[0,1]$.
(i) Let $x_1, x_2 \in[0,1]$ and $x_1 \neq x_2$.
Case 1. $x_1, x_2$ are both rational. Then $f\left(x_1\right)=x_1, f\left(x_2\right)=x_2$. As $x_1 \neq x_2, f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
Case 2. $x_1$ is rational $x_2$ is irrational. Then $f\left(x_1\right)=x_1, f\left(x_2\right)=1-x_2$. As $f\left(x_1\right)$ is rational and $f\left(x_2\right)$ is irrational, $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
Case 3. $x_1$ is irrational, $x_2$ is rational. Then $f\left(x_1\right)=1-x_1, f\left(x_2\right)=x_2$. As $f\left(x_1\right)$ is irrational and $f\left(x_2\right)$ is rational, $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
Case 4. $x_1, x_2$ are both irrational. Then $f\left(x_1\right)=1-x_1, f\left(x_2\right)=1-x_2$. As $x=x_2, f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
Therefore $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$. Hence $f$ is injective on $[0,1]$.
(ii) Let $p \in[0,1]$.
If $p$ be rational then the pre-image of $p$ is $p$, since $p \in[0,1]$ and $f(p)=p$. If $p$ be irrational then the pre-image of $p$ is $1-p$, since $1-p \in[0,1]$ and $f(1-p)=p$.
Thus every element in $[0,1]$ tas th pre-inatge. In other words, $f$ assumes every real number in $[0,1]$.
(iii) Let $c=\frac{1}{2}$. Then $f(c)=\frac{1}{2}$.
$|f(x)-f(c)|=\left|x-\frac{1}{2}\right|$, if $x$ be rational in $[0,1]$
$=\left|(1-x)-\frac{1}{2}\right|=\left|x-\frac{1}{2}\right|$, if $x$ be irrational in $[0,1]$.
Therefore $\left|f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\left|x-\frac{1}{2}\right|$ for all $x \in[0,1]$.
Let us choose $\epsilon>0$. Then $\left|f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)\right|<\epsilon$ holds for all $x$ satisfying $\left|x-\frac{1}{2}\right|<\epsilon$. This proves that $f$ is continuous at $\frac{1}{2}$.
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of continuous functions
Theorem 8.5.1. (Neighbourhood property)
Let $D \subset \mathbb{R}$ and a function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $D$. Let $c \in D$. If $f(c) \neq 0$ then there exists a suitable $\delta>0$ such that for all $x \in N(c, \delta) \cap D, f(x)$ keeps the same sign as $f(c)$.
Proof. Case 1. $f(c)>0$. Let us choose a positive $\epsilon$ such that $f(c)-\epsilon>0$.
Since $f$ is continuous at $c$, there exists a positive $\delta$ such that $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ for all $x \in N(c, \delta) \cap D$. or, $f(c)-\epsilonf(c)-\epsilon>0$ for all $x \in N(c, \delta) \cap D$.
Case 2. $f(c)<0$. Let us choose a positive $\epsilon$ such that $f(c)+\epsilon<0$. Since $f$ is continuous at $c$, there exists a positive $\delta$ such that $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ for all $x \in N(c, \delta) \cap D$. or, $f(c)-\epsilon0$.
Note. This property is a local property of a continuous function. It is also called the sign preserving property of a continuous function.
Corollary. Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $\mathbb{R}$ and $c \in \mathbb{R}$. If $f(c) \neq 0$ then there exists a positive $\delta$ such that $f(x)$ keeps the same sign as $f(c)$ for all $x \in N(c, \delta)$.
Wgrked Examples.
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $\mathbb{R}$. Prove that the set $S={x \in \mathbb{R}$ : $f(x)>0}$ is an open set in $\mathbb{R}$.
Case I. Let $f(x) \leq 0$ for all $x \in \mathbb{R}$. Then $S=\phi$ and $S$ is an open set.
Case II. Let $f(x)>0$ for all $x \in \mathbb{R}$. Then $S=\mathbb{R}$ and $S$ is an open set.
Case III. Let $S$ be a proper subset of $\mathbb{R}$.
Let $c \in S$. Then $f(c)>0$. Since $f$ is continuous on $\mathbb{R}$ and $f(c)>0$, by the neighbourhood property there exists a positive $\delta$ such that for all $x \in N(c, \delta), f(x)>0$. Therefore $N(c, \delta) \subset S$.
Thus $c \in S \Rightarrow N(c, \delta) \subset S$.
This shows that $c$ is an interior point of $S$.
Since $c$ is arbitrary, every point of $S$ is an interior point of $S$ and therefore $S$ is an open set.
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $\mathbb{R}$. Prove that the set $S={x \in \mathbb{R}:$ $f(x)<0}$ is an open set in $\mathbb{R}$.
Similar proof as in Example 1.
Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous on $\mathbb{R}$. Prove that the set $S={x \in \mathbb{R}:$ $f(x) \neq 0}$ is an open set in $\mathbb{R}$.
Similar proof as in Example 1.
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Worked Examples
函数 $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 由
定义$f(x)=x, x$ 是理性的 ${0,1}$
$=1-x, x$ 是不合理的 $[0,1]$.
显示(i) $f$ 是注入的 $[0,1]$(ii) $f$ 假设每一个实数 $[0,1]$(iii) $f$ 连续于 $\frac{1}{2}$ 在其他点都不连续 $[0,1]$.
(i)设 $x_1, x_2 \in[0,1]$ 和 $x_1 \neq x_2$.
情况1。 $x_1, x_2$ 都是理性的。然后 $f\left(x_1\right)=x_1, f\left(x_2\right)=x_2$． As $x_1 \neq x_2, f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
情况2。 $x_1$ 理性吗? $x_2$ 是非理性的。然后 $f\left(x_1\right)=x_1, f\left(x_2\right)=1-x_2$． As $f\left(x_1\right)$ 是理性的 $f\left(x_2\right)$ 是非理性的， $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
案例3。 $x_1$ 是非理性的， $x_2$ 是理性的。然后 $f\left(x_1\right)=1-x_1, f\left(x_2\right)=x_2$． As $f\left(x_1\right)$ 是非理性的 $f\left(x_2\right)$ 是理性的， $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
案例4。 $x_1, x_2$ 都是非理性的。然后 $f\left(x_1\right)=1-x_1, f\left(x_2\right)=1-x_2$． As $x=x_2, f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$.
因此 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$． 因此 $f$ 是注入的 $[0,1]$.
(ii)设 $p \in[0,1]$.
如果 $p$ 理性则是形象的前身 $p$ 是 $p$，自从 $p \in[0,1]$ 和 $f(p)=p$． 如果 $p$ 然后是非理性的形象 $p$ 是 $1-p$，自从 $1-p \in[0,1]$ 和 $f(1-p)=p$.
因此 $[0,1]$ 这是预图像。换句话说， $f$ 假设每一个实数 $[0,1]$.
(iii)让 $c=\frac{1}{2}$． 然后 $f(c)=\frac{1}{2}$.
$|f(x)-f(c)|=\left|x-\frac{1}{2}\right|$，如果 $x$ 理性地 $[0,1]$
$=\left|(1-x)-\frac{1}{2}\right|=\left|x-\frac{1}{2}\right|$，如果 $x$ 不理智 $[0,1]$.
因此 $\left|f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\left|x-\frac{1}{2}\right|$ 对所有人 $x \in[0,1]$.
让我们来选择 $\epsilon>0$． 然后 $\left|f(x)-f\left(\frac{1}{2}\right)\right|<\epsilon$ 适用于所有人 $x$ 令人满意的 $\left|x-\frac{1}{2}\right|<\epsilon$． 这证明了 $f$ 连续于 $\frac{1}{2}$.
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of continuous functions
定理8.5.1。(邻域性质)
设$D \subset \mathbb{R}$与函数$f: D \rightarrow \mathbb{R}$在$D$上连续。让$c \in D$。如果$f(c) \neq 0$，则存在一个合适的$\delta>0$，使得$x \in N(c, \delta) \cap D, f(x)$与$f(c)$保持相同的符号。
证明。情况1。$f(c)>0$。让我们选择一个正的$\epsilon$，使得$f(c)-\epsilon>0$ .
由于$f$在$c$是连续的，因此存在一个正的$\delta$，使得$|f(x)-f(c)|<\epsilon$对于所有$x \in N(c, \delta) \cap D$。或者，$f(c)-\epsilonf(c)-\epsilon>0$用于所有$x \in N(c, \delta) \cap D$ .
情况2。$f(c)<0$。让我们选择一个正的$\epsilon$这样$f(c)+\epsilon<0$。因为$f$在$c$是连续的，所以存在一个正的$\delta$，使得$|f(x)-f(c)|<\epsilon$对于所有$x \in N(c, \delta) \cap D$都是连续的。或$f(c)-\epsilon0$ .
注意。这个性质是连续函数的局部性质。它也被称为连续函数的保号性质。
推论。让$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$在$\mathbb{R}$和$c \in \mathbb{R}$上连续。如果$f(c) \neq 0$，则存在一个正的$\delta$，使得$f(x)$对所有$x \in N(c, \delta)$保持与$f(c)$相同的符号。
Wgrked示例。
让$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$在$\mathbb{R}$上连续。证明集合$S={x \in \mathbb{R}$: $f(x)>0}$是$\mathbb{R}$中的开集。
情形一，设$f(x) \leq 0$表示所有的$x \in \mathbb{R}$。那么$S=\phi$和$S$就是一个开放集。
情况二。让$f(x)>0$代表所有$x \in \mathbb{R}$。那么$S=\mathbb{R}$和$S$就是一个开放集。
案例三。设$S$是$\mathbb{R}$的适当子集
设$c \in S$。然后$f(c)>0$。由于$f$在$\mathbb{R}$和$f(c)>0$上连续，根据邻域性质，存在一个正的$\delta$，使得对于所有$x \in N(c, \delta), f(x)>0$。因此$N(c, \delta) \subset S$ .
因此$c \in S \Rightarrow N(c, \delta) \subset S$ .
这表明$c$是$S$的一个内部点，
由于$c$是任意的，$S$的每个点都是$S$的一个内部点，因此$S$是一个开集。
让$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$在$\mathbb{R}$上连续。证明集$S={x \in \mathbb{R}:$$f(x)<0}$是$\mathbb{R}$中的开集
与例1类似。
让$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$在$\mathbb{R}$上连续。证明集合$S={x \in \mathbb{R}:$$f(x) \neq 0}$是$\mathbb{R}$中的开集
与例1类似。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
