如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。
拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Polybricks and Betti Numbers
This section discusses concepts that are typical of advanced lectures on topology, and so might prove a bit challenging to less-experienced readers. At any rate the material presented here doesn’t prepare for the remaining chapters, so skipping it wouldn’t do any harm.
Billy has a magnificent collection of LEGO bricks, all shaped as parallelopipeds, wonderfully coloured and numbered from 1 to $n$. He spends lots of time playing with them and expresses his creativity by assembling various objects $X \subset \mathbb{R}^3$, which we’ll call polybricks. He’s so pleased with his creations that he takes note of the relative positions of the single pieces to be able to replicate his best works at international optometry conferences.
After long conversations with Mr. Čech, Billy has started to write down the set $N_0 \subset{1, \ldots, n}$ of bricks used to build every $X$, and the set $N_1 \subset N_0 \times N_0$ of pairs of bricks $(a, b), a<b$, that touch at least at one point. Generalising, for every $i \geq 0$ we call $N_i$ the family of $i+1$-tuples $\left(a_0, a_1, \ldots, a_i\right) \in N_0^{i+Y}$ such that $a_0<a_1<\cdots<a_i$ and the $a_0, \ldots, a_n$ all touch at one point at least.
Mr. Čech has a recipe requiring that we indicate, for each index $i$, with $C^i$ the vector space of maps $f: N_i \rightarrow \mathbb{R}$ and define linear maps $d_i: C^i \rightarrow C^{i+1}$ as follows:
$$
d_0 f(a, b)=f(b)-f(a), \quad d_1 f(a, b, c)=f(b, c)-f(a, c)+f(a, b),
$$
and more generally
$$
d_i f\left(a_0, \ldots, a_{i+1}\right)=\sum_{j=0}^{i+1}(-1)^j f\left(a_0, \ldots, \widehat{a_j}, \ldots, a_{i+1}\right)
$$
where the hat – reminds we have to omit that variable. With the help of his father-in-law Billy managed to prove that the composition of $d_i$ and $d_{i+1}$ is always 0 (exercise for the reader), so it is possible to define vector spaces
$$
H^i(X)=\frac{\text { kernel of } d_i: C^i \rightarrow C^{i+1}}{\text { image of } d_{i-1}: C^{i-1} \rightarrow C^i}, \quad i \geq 0
$$
It’s rather surprising that the dimensions of the real vector spaces $H^i(X)$ only depend on the homeomorphism class of the polybrick $X$. The numbers $b_i(X)=$ $\operatorname{dim} H^i(X), i=0,1, \ldots$, are called Betti numbers of $X$, in honour of Enrico Betti (Pistoia 1823 – Pisa 1892), the forefather, with Riemann, of modern topology. Readers may prove as exercise that $b_0$ coincides with the number of connected components of $X$; the unabridged and rigorous proof that the Betti numbers are invariant under homeomorphisms is far from easy, and was achieved around 1940.
The Euler-Poincaré characteristic of a polybrick is defined as the alternating sum of Betti numbers
$$
e(X)=b_0(X)-b_1(X)+b_2(X)+\cdots+(-1)^i b_i(X)+\cdots
$$
and is a topological invariant. Its core property is that (exercise in linear algebra for the reader) it equals the alternating sum of the cardinalities of the sets $N_i$
$$
e(X)=\left|N_0\right|-\left|N_1\right|+\left|N_2\right|+\cdots+(-1)^i\left|N_i\right|+\cdots,
$$
and so it’s quite easy to compute.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|What Algebraic Topology Is
Imagine having a family $\mathcal{F}$ of topological spaces and wanting to understand when elements of $\mathcal{F}$ are homeomorphic; for the sake of simplicity $\mathcal{F}$ will consist of connected subspaces in $\mathbb{R}^3$.
We are seeking functions $f: \mathcal{F} \rightarrow I$ such that if $X, Y \in \mathcal{F}$ are homeomorphic, in symbols $X \sim Y$, then $f(X)=f(Y)$. A function of this sort is called a topological invariant of $\mathcal{F}$, and its usefulness depends on two factors: how complete the invariant is, and how concrete it is. A constant map $f: \mathcal{F} \rightarrow I$ is an invariant with no use whatsoever; at the other end of the spectrum are so-called complete invariants, characterised by the fact that $X \sim Y$ precisely when $f(X)=f(Y)$.
Complete invariants always exist: take $I=\mathcal{F} / \sim$ and the canonical quotient map $f$. Yet the whole point of finding invariants is to understand the deeper structure of $\mathcal{F} / \sim$, which is usually complicated and mysterious. That’s why one requires that invariants be concrete, i.e. that the codomain $I$ be a simpler set than $\mathcal{F} / \sim$, and that $f$ correspond to an explicit procedure or geometrical criterion. In the previous chapters we witnessed many invariants like that, where $I={$ true, false $}$ and the maps $f$ were representing compactness, connectedness, metrisability and so on.
Another example is the invariant $b_0: \mathcal{F} \rightarrow I=\mathbb{N}_0 \cup{+\infty}$ that maps a space to the number of its connected components. More generally, every Betti number $b_n$ is a topological invariant with values in $I=\mathbb{N}_0 \cup{+\infty}$.
Ever since Poincaré’s work mathematicians have discovered a wealth of topological invariants $f: \mathcal{F} \rightarrow I$ where the elements of $I$ are algebraic entities, like groups, vector spaces, polynomials et c. An instance are the Cech cohomology spaces $H^i(X)$ we met in the previous section about polybricks, but whose definition can be broadened to hold for any paracompact Hausdorff space. An excellent introduction to Čech cohomology can be found in Kodaira’s book [Ko86, Sect. 3.1].
Algebraic topology deals with this kind of invariants and other related issues. The ensuing chapters will discuss the fundamental group, an invariant introduced by Poincaré and denoted by $\pi_1: \mathcal{F} \rightarrow I$, where $\mathcal{F}$ are path-connected spaces and $I$ isomorphism classes of groups.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Polybricks and Betti Numbers
本节讨论的概念是拓扑高级讲座的典型内容，因此对于经验不足的读者来说可能有点困难。无论如何，这里提供的材料并没有为剩下的章节做准备，所以跳过它不会有任何伤害。
比利收集了大量的乐高积木，形状都是平行六面体，颜色鲜艳，从1到$n$都有编号。他花了很多时间玩它们，并通过组装各种物体$X \subset \mathbb{R}^3$来表达他的创造力，我们称之为polybricks。他对自己的作品非常满意，他会记下单片的相对位置，以便能够在国际验光会议上复制他最好的作品。
在与Čech先生进行了长时间的交谈后，比利开始写下用于建造每个$X$的砖块集$N_0 \subset{1, \ldots, n}$，以及至少在一个点上接触的砖块集$N_1 \subset N_0 \times N_0$对$(a, b), a<b$。概括地说，对于每个$i \geq 0$，我们称$N_i$为$i+1$ -元组$\left(a_0, a_1, \ldots, a_i\right) \in N_0^{i+Y}$族，使得$a_0<a_1<\cdots<a_i$和$a_0, \ldots, a_n$至少在一个点上接触。
Čech先生有一个食谱，要求我们对每个索引$i$用$C^i$表示地图的向量空间$f: N_i \rightarrow \mathbb{R}$，并定义线性地图$d_i: C^i \rightarrow C^{i+1}$如下所示:
$$
d_0 f(a, b)=f(b)-f(a), \quad d_1 f(a, b, c)=f(b, c)-f(a, c)+f(a, b),
$$
更广泛地说
$$
d_i f\left(a_0, \ldots, a_{i+1}\right)=\sum_{j=0}^{i+1}(-1)^j f\left(a_0, \ldots, \widehat{a_j}, \ldots, a_{i+1}\right)
$$
帽子提醒我们要省略这个变量。在他岳父的帮助下，Billy设法证明了$d_i$和$d_{i+1}$的组合总是0(读者练习)，因此可以定义向量空间
$$
H^i(X)=\frac{\text { kernel of } d_i: C^i \rightarrow C^{i+1}}{\text { image of } d_{i-1}: C^{i-1} \rightarrow C^i}, \quad i \geq 0
$$
令人惊讶的是，真实向量空间$H^i(X)$的维数只依赖于polybrick $X$的同胚类。数字$b_i(X)=$$\operatorname{dim} H^i(X), i=0,1, \ldots$，被称为$X$的贝蒂数，以纪念现代拓扑学的鼻祖恩里科·贝蒂(皮斯托亚1823 -比萨1892)。作为练习，读者可以证明$b_0$与$X$的连接组成部分的数量是一致的;完整而严格的证明Betti数在同胚下不变性是很不容易的，在1940年左右完成。
polybrick的euler – poincar特性被定义为贝蒂数的交替和
$$
e(X)=b_0(X)-b_1(X)+b_2(X)+\cdots+(-1)^i b_i(X)+\cdots
$$
是一个拓扑不变量。它的核心属性是(读者可以练习线性代数)它等于集合的基数的交替和$N_i$
$$
e(X)=\left|N_0\right|-\left|N_1\right|+\left|N_2\right|+\cdots+(-1)^i\left|N_i\right|+\cdots,
$$
所以它很容易计算。以上翻译结果来自有道神经网络翻译（YNMT）· 通用场景
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|What Algebraic Topology Is
想象一下，有一个拓扑空间族$\mathcal{F}$，想要了解$\mathcal{F}$的元素何时是同胚的;为简单起见，$\mathcal{F}$将由$\mathbb{R}^3$中的连接子空间组成。
我们正在寻找函数$f: \mathcal{F} \rightarrow I$，如果$X, Y \in \mathcal{F}$是同胚的，在符号$X \sim Y$中，则$f(X)=f(Y)$。这种函数称为$\mathcal{F}$的拓扑不变量，它的有用性取决于两个因素:不变量的完备性和具体程度。常数映射$f: \mathcal{F} \rightarrow I$是一个没有任何用途的不变量;在光谱的另一端是所谓的完全不变量，其特点是$X \sim Y$正好在$f(X)=f(Y)$。
完全不变量总是存在的:以$I=\mathcal{F} / \sim$和正则商映射$f$为例。然而，寻找不变量的全部意义在于理解$\mathcal{F} / \sim$的深层结构，它通常是复杂而神秘的。这就是为什么要求不变量是具体的，即上域$I$是一个比$\mathcal{F} / \sim$更简单的集合，并且$f$对应于一个明确的过程或几何准则。在前面的章节中，我们看到了许多这样的不变量，其中$I={$为真，假$}$和映射$f$表示紧致性，连通性，可度量性等。
另一个例子是不变量$b_0: \mathcal{F} \rightarrow I=\mathbb{N}_0 \cup{+\infty}$，它将空间映射到其连接组件的数量。更一般地说，每个Betti数$b_n$都是一个值在$I=\mathbb{N}_0 \cup{+\infty}$中的拓扑不变量。
自从poincarcarve的工作以来，数学家已经发现了丰富的拓扑不变量$f: \mathcal{F} \rightarrow I$，其中$I$的元素是代数实体，如群，向量空间，多项式等。一个例子是切赫上同空间$H^i(X)$，我们在上一节关于聚块的讨论中遇到过，但其定义可以扩展到适用于任何紧的Hausdorff空间。在Kodaira的书[Ko86, Sect. 3.1]中可以找到Čech上同源性的优秀介绍。
代数拓扑学研究这类不变量及其相关问题。接下来的章节将讨论基本群，这是一个由庞卡罗引入的不变量，用$\pi_1: \mathcal{F} \rightarrow I$表示，其中$\mathcal{F}$是路径连通空间和$I$同构群的类。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
