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泛函分析functional analysis 是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Topological Equivalence. Homeomorphism
Topological Equivalence. In previous chapters, we have frequently encountered the idea of equivalence of various mathematical systems. We have seen that this idea is extremely important to the theory surrounding any particular system. For instance, the notion of an isomorphism provides for “algebraic equivalence” of linear vector spaces or linear algebras: when two such systems are isomorphic, their algebraic properties are essentially the same. Can a parallel concept of equivalence be developed for topological spaces?
It is natural to ask first what common properties we would expect two “topologically equivalent” topological spaces to share. From what we have seen up to this point, the answer is partially clear-the properties of continuity of functions, convergence of sequences, compactness of sets, etc., should be preserved under some correspondence (map) between the two spaces. A simple bijection is not enough-it can only establish a one-to-one and onto correspondence of elements in the underlying sets. For example, suppose $X, Y$, and $Z$ are topological spaces, and $F: X \rightarrow Z$ is a continuous function. If $X$ and $Y$ are to be equivalent in some topological sense, we would expect there to exist a bijection map $L: X \rightarrow Y$ that preserves the continuity of $F$ in the sense that $F \circ L^{-1}: Y \rightarrow Z$ is continuous, too. In other words, the topological equivalence we are looking for is attained if the compositions of the bijections $L$ and $L^{-1}$ with continuous functions are continuous. Such mappings are called homeomorphisms (not to be confused with homomorphisms discussed in Chapter 2), and we sum up our observations concerning them by recording the following definition.
Homeomorphic Spaces. Two topological spaces $X$ and $Y$ are said to be homeomorphic (or topologically equivalent) if and only if there exists a map $L: X \rightarrow Y$ such that
(i) $L$ is bijective,
(ii) $L, L^{-1}$ are continuous.
The map $L$ is called a homeomorphism from $X$ to $Y$.
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Metric and Normed Spaces, Examples
We now come to the subject of a special type of topological space that shall be of great importance throughout the remainder of this book: metric spaces. A metric on a set amounts to a rather natural generalization of the familiar idea of distance between points.
Metric. Metric Space. Let $X$ be a nonempty set. A function
$$
d: X \times X \ni(x, y) \rightarrow d(x, y) \in[0, \infty)
$$
taking pairs of elements of $X$ into nonnegative real numbers is called a metric on the set $X$ if and only if the following conditions hold:
(i) $d(x, y)=0 \quad$ if and only if $x=y$;
(ii) $d(x, y)=d(y, x)$ for every $x, y \in X$;
(iii) $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$ for every $x, y, z \in X$.
Frequently we refer to $d(x, y)$ as the distance between points $x$ and $y$. Property (i) of the function $d$ characterizes it as strictly positive and (ii) as a symmetric function of $x$ and $y$. Property (iii) is known as the triangle inequality.
The set $X$ with the metric $d$, denoted $X=(X, d)$, is called a metric space.
Example 4.6.1
Perhaps the most familiar example of a metric space involves the idea of distance between points in the Euclidean plane. Here $X=\mathbb{R}^2$ and the distance between points $x=\left(x_1, x_2\right)$ and $y=\left(y_1, y_2\right)$ is defined as follows:
$$
d(x, y)=\left(\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$
Clearly, $d(x, y)$ is symmetric and strictly positive. To prove the triangle inequality (look at Fig. 4.3 for notation) one has to show that
$$
c \leq a+b \text { or, equivalently, } \quad c^2 \leq a^2+b^2+2 a b
$$
But, it follows from the cosine theorem that
$$
c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \gamma \leq a^2+b^2+2 a b
$$
which finishes the proof.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Topological Equivalence. Homeomorphism
拓扑等价。在前面的章节中，我们经常遇到各种数学系统的等价概念。我们已经看到，这个想法对任何特定系统的理论都是极其重要的。例如，同构的概念提供了线性向量空间或线性代数的“代数等价”:当两个这样的系统同构时，它们的代数性质本质上是相同的。拓扑空间是否可以发展出平行的等价概念?
首先很自然地要问我们期望两个“拓扑等价”的拓扑空间共享什么共同属性。从我们所看到的到目前为止，答案是部分清楚的——函数的连续性、序列的收敛性、集合的紧性等性质，在两个空间之间的某种对应(映射)下应该是保持的。一个简单的双射是不够的——它只能建立基础集合中元素的一对一和映上对应关系。例如，假设$X, Y$和$Z$是拓扑空间，$F: X \rightarrow Z$是连续函数。如果$X$和$Y$在某种拓扑意义上是等价的，我们期望存在一个双射映射$L: X \rightarrow Y$，它在$F \circ L^{-1}: Y \rightarrow Z$也是连续的意义上保持$F$的连续性。换句话说，如果双射$L$和$L^{-1}$与连续函数的组合是连续的，我们正在寻找的拓扑等价就得到了。这样的映射被称为同胚(不要与第2章讨论的同胚混淆)，我们通过记录以下定义来总结我们对它们的观察。
同胚空间。当且仅当存在一个映射$L: X \rightarrow Y$使得
(i) $L$是双射的，
(ii) $L, L^{-1}$是连续的，我们称两个拓扑空间$X$和$Y$是同纯的(或拓扑等价的)。
映射$L$称为从$X$到$Y$的同胚映射。
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Metric and Normed Spaces, Examples
现在我们来讨论一种特殊类型的拓扑空间，它将在本书的其余部分中非常重要:度量空间。集合上的度规相当于对熟悉的点间距离概念的一种相当自然的推广。
度规。度量空间。设$X$为非空集合。一个函数
$$
d: X \times X \ni(x, y) \rightarrow d(x, y) \in[0, \infty)
$$
取$X$的元素对为非负实数，当且仅当以下条件成立时，称为$X$上的度量:
(i) $d(x, y)=0 \quad$当且仅当$x=y$;
(ii) $d(x, y)=d(y, x)$对于每个$x, y \in X$;
(iii) $d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z)$对于每个$x, y, z \in X$。
我们通常将$d(x, y)$称为$x$和$y$之间的距离。函数$d$的性质(i)表示它是严格正的，(ii)表示它是$x$和$y$的对称函数。性质(iii)被称为三角不等式。
度量为$d$的集合$X$(记为$X=(X, d)$)称为度量空间。例4.6.1
也许度量空间中最熟悉的例子是欧几里得平面上点之间的距离。这里$X=\mathbb{R}^2$和$x=\left(x_1, x_2\right)$点与$y=\left(y_1, y_2\right)$点之间的距离定义如下:
$$
d(x, y)=\left(\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$
显然，$d(x, y)$是对称且严格正的。为了证明三角不等式(见图4.3的符号)，必须证明
$$
c \leq a+b \text { or, equivalently, } \quad c^2 \leq a^2+b^2+2 a b
$$
但是，从余弦定理得出
$$
c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \gamma \leq a^2+b^2+2 a b
$$
，这就完成了证明。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
