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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Inequalities
In this subsection we prove two inequalities:
$$
\begin{array}{ll}
|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \leq|\mathbf{u}||\mathbf{v}| \quad \text { Cauchy-Schwarz inequality } \
|\mathbf{u}+\mathbf{v}| \leq|\mathbf{u}|+|\mathbf{v}| \quad \text { Minkowski inequality }
\end{array}
$$
First we state and prove the Cauchy-Schwarz inequality. It is an important inequality which is used in many applications and fields of mathematics. It is a slightly more involved proof because we apply one particular result of quadratic equations in order to prove the Cauchy-Schwarz inequality.
For the quadratic, $a x^2+b x+c$, to be greater than or equal to 0 for all $x$ means that either the graph does not cross the $x$ axis or it touches it at just one point. This is satisfied when
$$
b^2-4 a c \leq 0
$$
This is where the discriminant, $b^2-4 a c$, is less than or equal to zero. [Remember, the discriminant in this case means that it discriminates between real and complex roots of a quadratic equation.]
The Cauchy-Schwarz inequality for Euclidean space $\mathbb{R}^n$ was covered in section 2.2.3.
It demonstrates a universal inequality between inner products and norms, and was given by:
$$
|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \leq|\mathbf{u}||\mathbf{v}|
$$
Here we expressed the inequality in terms of the dot product, but we can extend this definition to the general inner product:
$$
|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \leq|\mathbf{u}||\mathbf{v}|
$$
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|How do we prove this result?
By the hint, expanding the given inner product $\langle k \mathbf{u}+\mathbf{v}, k \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle$ and by using the rules on inner products established in the last section:
$$
\begin{aligned}
\langle k \mathbf{u}+\mathbf{v}, k \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle & =\langle k \mathbf{u}, k \mathbf{u}\rangle+\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v}, k \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \
& =k^2\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle+\underbrace{k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+k\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}_{=2 k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \text { because }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}+\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \
& =k^2|\mathbf{u}|^2+2 k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+|\mathbf{v}|^2\left[\operatorname{remember}\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle=|\mathbf{u}|^2\right]
\end{aligned}
$$
By Definition (4.1) Axiom (iv), we have $\langle\mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle \geq 0$, which means that the inner product between the same vectors is $\geq 0$ :
$$
\langle k \mathbf{u}+\mathbf{v}, k \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle \geq 0 \quad \text { [remember } k \mathbf{u}+\mathbf{v} \text { is a vector] }
$$
Substituting this into the above expansion we have
$$
k^2|\mathbf{u}|^2+2 k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+|\mathbf{v}|^2 \geq 0
$$
We consider this as a quadratic equation by taking $k$ as our variable. We can write this as
$$
a k^2+b k+c \geq 0 \text { where } a=|\mathbf{u}|^2, b=2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \text { and } c=|\mathbf{v}|^2
$$
线性代数代写
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Inequalities
在本节中，我们证明了两个不等式:
$$
\begin{array}{ll}
|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \leq|\mathbf{u}||\mathbf{v}| \quad \text { Cauchy-Schwarz inequality } \
|\mathbf{u}+\mathbf{v}| \leq|\mathbf{u}|+|\mathbf{v}| \quad \text { Minkowski inequality }
\end{array}
$$
首先我们陈述并证明Cauchy-Schwarz不等式。它是一个重要的不等式，在数学的许多应用和领域中都有应用。这是一个稍微复杂的证明因为我们应用了二次方程的一个特定结果来证明Cauchy-Schwarz不等式。
对于二次曲线$a x^2+b x+c$，对于所有$x$都大于或等于0意味着图形要么不穿过$x$轴，要么只与轴接触一个点。满足的条件是
$$
b^2-4 a c \leq 0
$$
这里的判别式$b^2-4 a c$小于等于0。[记住，这种情况下的判别式意味着它区分二次方程的实根和复根。]
欧几里得空间$\mathbb{R}^n$的Cauchy-Schwarz不等式已在2.2.3节中讨论。
它证明了内积与范数之间的一个普遍不等式，由式给出:
$$
|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \leq|\mathbf{u}||\mathbf{v}|
$$
这里我们用点积来表示不等式，但我们可以将这个定义扩展到一般的内积:
$$
|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \leq|\mathbf{u}||\mathbf{v}|
$$
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|How do we prove this result?
根据提示，展开给定的内积$\langle k \mathbf{u}+\mathbf{v}, k \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle$并使用上一节建立的内积规则:
$$
\begin{aligned}
\langle k \mathbf{u}+\mathbf{v}, k \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle & =\langle k \mathbf{u}, k \mathbf{u}\rangle+\langle k \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v}, k \mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \
& =k^2\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle+\underbrace{k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+k\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}_{=2 k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \text { because }\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}+\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \
& =k^2|\mathbf{u}|^2+2 k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+|\mathbf{v}|^2\left[\operatorname{remember}\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle=|\mathbf{u}|^2\right]
\end{aligned}
$$
根据定义(4.1)公理(iv)，我们有$\langle\mathbf{w}, \mathbf{w}\rangle \geq 0$，这意味着相同向量之间的内积是$\geq 0$:
$$
\langle k \mathbf{u}+\mathbf{v}, k \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle \geq 0 \quad \text { [remember } k \mathbf{u}+\mathbf{v} \text { is a vector] }
$$
把这个代入上面的展开式
$$
k^2|\mathbf{u}|^2+2 k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+|\mathbf{v}|^2 \geq 0
$$
我们把$k$作为变量，把它看作二次方程。我们可以把它写成
$$
a k^2+b k+c \geq 0 \text { where } a=|\mathbf{u}|^2, b=2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \text { and } c=|\mathbf{v}|^2
$$
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
