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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Isomorphism

Definition (5.25). If the linear transformation $T: V \rightarrow W$ is invertible then we say that the vector spaces $V$ and $W$ are isomorphic. Such a transformation $T$ is called an isomorphism.
What does isomorphism say about the vector spaces?
An isomorphism between vector spaces means these spaces are identical from a mathematical viewpoint, even though they are different spaces.
Well, what does this mean?
It means that isomorphic vector spaces have an identical structure. They have similar properties with respect to the fundamental linear algebra operations of vector addition and scalar multiplication.

We can make an analogy with music. Consider a low $\mathrm{C}$ note on a piano or a guitar, as an example. Although the piano and guitar have different sounds, both the low $\mathrm{C}$ notes on the piano and on the guitar will be in tune and is a representation of the same vibration. Both instruments will produce a sound vibration with the same characteristics and properties. We can think of the piano and guitar as being isomorphic on a particular range of notes.
Why is isomorphism useful?
If we didn’t look for isomorphism then we would be reinventing the wheel each time by studying the same things over and over again for different vector spaces. An isomorphism between two vector spaces preserves the structure.

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Why is this result important?

Because it says that any two vector spaces of the same dimension are identical in structure. Given two vector spaces $V$ and $W$ then are they essentially the same. We can think of $V$ and $W$ as identical if they have the same structure and only the nature of their elements differs.
Proof.
If $V$ and $W$ are of dimension 0 then clearly the result holds. Assume the dimensions of $V$ and $W$ are not zero.
$(\Leftarrow)$. Let $T: V \rightarrow W$ be a transformation. Required to prove $V$ and $W$ are isomorphic which means that we have to show that $T$ is invertible.
How do we show that $T$ is invertible?
Prove that $\operatorname{ker}(T)={\mathbf{O}}$.
Since both the vector spaces are of same dimension, $n$ say, they have the same number of vectors in a basis (axes). Let $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ be a basis for $V$. By the above Lemma (5.27) we have $\left{T\left(\mathbf{v}_1\right), T\left(\mathbf{v}_2\right), T\left(\mathbf{v}_3\right), \ldots, T\left(\mathbf{v}_n\right)\right}$ is a basis (axes) for $W$.
Let $T: V \rightarrow W$ be the transformation:
$$
T\left(k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n\right)=k_1 T\left(\mathbf{v}_1\right)+k_2 T\left(\mathbf{v}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\mathbf{v}_n\right)
$$
where $k$ ‘s are scalars.

Verify that this transformation is linear.
Let $\mathbf{u}$ be a vector in vector space $V$ which is transformed to the zero vector under $T$, that is $T(\mathbf{u})=\mathbf{O}$. Required to prove $\mathbf{u}=\mathbf{O}$ because we need $\operatorname{ker}(T)={\mathbf{O}}$.
We can write the vector $\mathbf{u}$ as a linear combination of the basis (axes) vectors of $V$ :
$$
\mathbf{u}=k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n
$$
We have
$$
\begin{aligned}
T(\mathbf{u}) & =T\left(k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n\right) \
& =k_1 T\left(\mathbf{v}_1\right)+k_2 T\left(\mathbf{v}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\mathbf{v}_n\right) \
& =\mathbf{O} \quad \quad \quad \text { because } T(\mathbf{u})=\mathbf{O}]
\end{aligned}
$$
Since $\left{T\left(\mathbf{v}_1\right), T\left(\mathbf{v}_2\right), T\left(\mathbf{v}_3\right), \ldots, T\left(\mathbf{v}_n\right)\right}$ is a basis for $W$, these vectors are linearly independent, which means that all the scalars are equal to zero:
$$
k_1=k_2=k_3=\cdots=k_n=0
$$
Substituting these scalars into $(*)$ gives
$$
\mathbf{u}=k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}
$$
Hence $\operatorname{ker}(T)={\mathbf{O}}$, so the transformation is invertible, which implies that start $V$ and arrival $W$ vector spaces are isomorphic. $(\Rightarrow)$. Exercises 5.4 question 19(c).

线性代数代写

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Isomorphism

定义(5.25)。如果线性变换$T: V \rightarrow W$是可逆的，那么我们说向量空间$V$和$W$是同构的。这样的转换$T$称为同构。
向量空间的同构说明了什么?
向量空间之间的同构意味着这些空间从数学的角度来看是相同的，即使它们是不同的空间。
这是什么意思?
这意味着同构向量空间具有相同的结构。对于基本的线性代数运算向量加法和标量乘法，它们有相似的性质。

我们可以用音乐来类比。以钢琴或吉他上的低$\mathrm{C}$音符为例。虽然钢琴和吉他有不同的声音，但钢琴和吉他上的低$\mathrm{C}$音符都是一致的，是同一振动的表现。两种乐器都会产生具有相同特征和特性的声音振动。我们可以认为钢琴和吉他在特定音域上是同构的。
为什么同构是有用的?
如果我们不寻找同构，那么我们每次都是在重新发明轮子，对不同的向量空间一遍又一遍地研究同样的东西。两个向量空间之间的同构保持了结构。

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Why is this result important?

因为它说任何两个相同维数的向量空间在结构上是相同的。给定两个向量空间$V$和$W$它们本质上是相同的吗?我们可以认为$V$和$W$是相同的，如果他们有相同的结构，只是他们的元素的性质不同。
证明。
如果$V$和$W$的维度是0，那么显然结果成立。假设$V$和$W$的维度不为零。
$(\Leftarrow)$。让$T: V \rightarrow W$成为一种转变。需要证明$V$和$W$是同构的这意味着我们必须证明$T$是可逆的。
我们如何证明$T$是可逆的?
证明$\operatorname{ker}(T)={\mathbf{O}}$。
由于这两个向量空间具有相同的维度，例如$n$，因此它们在基(轴)中具有相同数量的向量。让$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$成为$V$的基础。由以上引理(5.27)可知$\left{T\left(\mathbf{v}_1\right), T\left(\mathbf{v}_2\right), T\left(\mathbf{v}_3\right), \ldots, T\left(\mathbf{v}_n\right)\right}$是$W$的基(轴)。
让$T: V \rightarrow W$成为我们的转变:
$$
T\left(k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n\right)=k_1 T\left(\mathbf{v}_1\right)+k_2 T\left(\mathbf{v}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\mathbf{v}_n\right)
$$
其中$k$是标量。

验证这个变换是线性的。
设$\mathbf{u}$是向量空间中的一个向量$V$变换成$T$下的零向量，也就是$T(\mathbf{u})=\mathbf{O}$。需要证明$\mathbf{u}=\mathbf{O}$，因为我们需要$\operatorname{ker}(T)={\mathbf{O}}$。
我们可以把向量$\mathbf{u}$写成$V$的基(轴)向量的线性组合:
$$
\mathbf{u}=k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n
$$
我们有
$$
\begin{aligned}
T(\mathbf{u}) & =T\left(k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n\right) \
& =k_1 T\left(\mathbf{v}_1\right)+k_2 T\left(\mathbf{v}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\mathbf{v}_n\right) \
& =\mathbf{O} \quad \quad \quad \text { because } T(\mathbf{u})=\mathbf{O}]
\end{aligned}
$$
因为$\left{T\left(\mathbf{v}_1\right), T\left(\mathbf{v}_2\right), T\left(\mathbf{v}_3\right), \ldots, T\left(\mathbf{v}_n\right)\right}$是$W$的一组基，所以这些向量是线性无关的，这意味着所有的标量都等于零:
$$
k_1=k_2=k_3=\cdots=k_n=0
$$
把这些标量代入$(*)$得到
$$
\mathbf{u}=k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}
$$
因此$\operatorname{ker}(T)={\mathbf{O}}$，所以变换是可逆的，这意味着起始$V$和到达$W$向量空间是同构的。$(\Rightarrow)$。练习5.4问题19(c)。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。