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物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Normal ordering
To prove Wick’s theorem, we will manipulate expressions with creation and annihilation operators into the form of a $c$-number expression plus terms that vanish when acting on the vacuum. This is always possible since we can commute the annihilation operators past the creation operators until they are all on the right, at which point they give zero when acting on the vacuum.
For example, we can write
$$
\begin{aligned}
\left(a_p^{\dagger}+a_p\right)\left(a_k^{\dagger}+a_k\right) & =\left[a_p, a_k^{\dagger}\right]+a_k^{\dagger} a_p+a_p^{\dagger} a_k+a_p a_k+a_p^{\dagger} a_k^{\dagger} \
& =(2 \pi)^3 \delta^3(p-k)+a_k^{\dagger} a_p+a_p^{\dagger} a_k+a_p a_k+a_p^{\dagger} a_k^{\dagger} .
\end{aligned}
$$
Then, since the terms with annihilation operators on the right vanish, as do the terms with creation operators on the left, we get
$$
\left\langle 0\left|\left(a_p^{\dagger}+a_p\right)\left(a_k^{\dagger}+a_k\right)\right| 0\right\rangle=(2 \pi)^3 \delta^3(p-k) .
$$
We call terms with all annihilation operators on the right normal ordered.
Normal ordered: all the $a_p^{\dagger}$ operators are on the left of all the $a_p$ operators.
We represent normal ordering with colons. So,
$$
:\left(a_p^{\dagger}+a_p\right)\left(a_k^{\dagger}+a_k\right):=a_k^{\dagger} a_p+a_p^{\dagger} a_k+a_p a_k+a_p^{\dagger} a_k^{\dagger} .
$$
When you normal order something, you just pick up the operators and move them. Just manhandle them over, without any commuting, just as you manhandled the operators within a time-ordered product. Thus the $\delta(p-k)$ from Eq. (7.A.110) does not appear in Eq. (7.A.112).
The point of normal ordering is that vacuum matrix elements of normal-ordered products of fields vanish:
$$
\left\langle 0\left|: \phi\left(x_1\right) \cdots \phi\left(x_n\right):\right| 0\right\rangle=0 .
$$
The only normal-ordered expressions that do not vanish in the vacuum are $c$-number functions. Such a function $f$ satisfies
$$
\langle 0|: f:| 0\rangle=f .
$$
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Wick’s theorem
Wick’s theorem relates time-ordered products of fields to normal-ordered products of fields and contractions. It is given in Box 7.3. A contraction means taking two fields $\phi_0\left(x_i\right)$ and
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \cdots \phi_0\left(x_n\right)\right}=: \phi_0\left(x_1\right) \cdots \phi_0\left(x_n\right)+
$$
all possible contractions
$\phi_0\left(x_j\right)$ from anywhere in the series and replacing them with a factor of $D_F\left(x_i, x_j\right)$ for each pair of fields. “All possible contractions” includes one contraction, two contractions, etc., involving any of the fields. But each field can only be contracted once. Since normalordered products vanish unless all the fields are contracted, this implies that the timeordered product is the sum of all the full contractions, which is what we will actually use to generate Feynman rules.
Wick’s theorem is easiest to prove first by breaking the field up into creation and annihilation parts, $\phi_0(x)=\phi_{+}(x)+\phi_{-}(x)$, where
$$
\phi_{+}(x)=\int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} a_p^{\dagger} e^{i p x}, \quad \phi_{-}(x)=\int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} a_p e^{-i p x} .
$$
Since $\left[a_k, a_p^{\dagger}\right]=(2 \pi)^3 \delta^3(\vec{p}-\vec{k})$, commutators of these operators are just functions. In fact, the Feynman propagator can be written as
$$
\begin{aligned}
D_F\left(x_1, x_2\right) & =\left\langle 0\left|T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}\right| 0\right\rangle \
& =\left[\phi_{-}\left(x_1\right), \phi_{+}\left(x_2\right)\right] \theta\left(t_1-t_2\right)+\left[\phi_{-}\left(x_2\right), \phi_{+}\left(x_1\right)\right] \theta\left(t_2-t_1\right) .
\end{aligned}
$$
This particular combination represents a contraction.
Let us verify Wick’s theorem for two fields. For $t_1>t_2$
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}=\phi_{+}\left(x_1\right) \phi_{+}\left(x_2\right)+\phi_{+}\left(x_1\right) \phi_{-}\left(x_2\right)+\phi_{-}\left(x_1\right) \phi_{+}\left(x_2\right)+\phi_{-}\left(x_1\right) \phi_{-}\left(x_2\right) .
$$
All terms in this expression are normal ordered except for $\phi_{-}\left(x_1\right) \phi_{+}\left(x_2\right)$. So,
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}=: \phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right):+\left[\phi_{-}\left(x_1\right), \phi_{+}\left(x_2\right)\right], \quad t_1>t_2 .
$$
For $t_2>t_1$, the expression is the same with $x_1 \leftrightarrow x_2$. Thus,
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}=: \phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right):+D_F\left(x_1, x_2\right),
$$
exactly as Wick’s theorem requires.
量子场论代考
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Normal ordering
为了证明维克定理，我们将使用创造和湮灭算符将表达式转换成$c$ -数字表达式加上作用于真空时消失的项的形式。这总是可能的，因为我们可以将湮灭算符与产生算符交换，直到它们都在右边，在这一点上，它们作用于真空时给出零。
例如，我们可以这样写
$$
\begin{aligned}
\left(a_p^{\dagger}+a_p\right)\left(a_k^{\dagger}+a_k\right) & =\left[a_p, a_k^{\dagger}\right]+a_k^{\dagger} a_p+a_p^{\dagger} a_k+a_p a_k+a_p^{\dagger} a_k^{\dagger} \
& =(2 \pi)^3 \delta^3(p-k)+a_k^{\dagger} a_p+a_p^{\dagger} a_k+a_p a_k+a_p^{\dagger} a_k^{\dagger} .
\end{aligned}
$$
那么，由于右边有湮灭算符的项消失了，左边有创造算符的项也消失了，我们得到
$$
\left\langle 0\left|\left(a_p^{\dagger}+a_p\right)\left(a_k^{\dagger}+a_k\right)\right| 0\right\rangle=(2 \pi)^3 \delta^3(p-k) .
$$
我们把右边所有湮灭算符的项称为正规有序的。
正常顺序:所有$a_p^{\dagger}$操作符在所有$a_p$操作符的左边。
我们用冒号表示正常排序。所以，
$$
:\left(a_p^{\dagger}+a_p\right)\left(a_k^{\dagger}+a_k\right):=a_k^{\dagger} a_p+a_p^{\dagger} a_k+a_p a_k+a_p^{\dagger} a_k^{\dagger} .
$$
当你正常订购某样东西时，你只需要拿起操作符，然后移动它们。只要粗暴地对待他们，不用来回走动，就像你粗暴地对待一个按时间排序的产品的操作员一样。因此，公式(7.A.110)中的$\delta(p-k)$没有出现在公式(7.A.112)中。
正规有序的要点是场的正规有序积的真空矩阵元素消失:
$$
\left\langle 0\left|: \phi\left(x_1\right) \cdots \phi\left(x_n\right):\right| 0\right\rangle=0 .
$$
唯一不会在真空中消失的正常顺序表达式是$c$ -number函数。这样的函数$f$满足
$$
\langle 0|: f:| 0\rangle=f .
$$
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Wick’s theorem
威克定理将场的时序积与场和收缩的正规序积联系起来。见框7.3。收缩意味着取两个字段$\phi_0\left(x_i\right)$和
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \cdots \phi_0\left(x_n\right)\right}=: \phi_0\left(x_1\right) \cdots \phi_0\left(x_n\right)+
$$
所有可能的收缩
从系列中的任何地方取$\phi_0\left(x_j\right)$，并将它们替换为每对字段的因子$D_F\left(x_i, x_j\right)$。“所有可能的缩写”包括一个缩写，两个缩写，等等，涉及任何领域。但每个油田只能承包一次。因为正常的有序积会消失，除非所有的场都收缩，这意味着时间有序积是所有完全收缩的总和，这就是我们实际用来生成费曼规则的。
要证明威克定理，最简单的方法是先把磁场分成创造和湮灭两个部分，网址是$\phi_0(x)=\phi_{+}(x)+\phi_{-}(x)$
$$
\phi_{+}(x)=\int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} a_p^{\dagger} e^{i p x}, \quad \phi_{-}(x)=\int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} a_p e^{-i p x} .
$$
因为$\left[a_k, a_p^{\dagger}\right]=(2 \pi)^3 \delta^3(\vec{p}-\vec{k})$，这些算子的对易子就是函数。实际上，费曼传播子可以写成
$$
\begin{aligned}
D_F\left(x_1, x_2\right) & =\left\langle 0\left|T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}\right| 0\right\rangle \
& =\left[\phi_{-}\left(x_1\right), \phi_{+}\left(x_2\right)\right] \theta\left(t_1-t_2\right)+\left[\phi_{-}\left(x_2\right), \phi_{+}\left(x_1\right)\right] \theta\left(t_2-t_1\right) .
\end{aligned}
$$
这个特殊的组合代表一个收缩。
让我们在两个场上验证威克定理。对于$t_1>t_2$
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}=\phi_{+}\left(x_1\right) \phi_{+}\left(x_2\right)+\phi_{+}\left(x_1\right) \phi_{-}\left(x_2\right)+\phi_{-}\left(x_1\right) \phi_{+}\left(x_2\right)+\phi_{-}\left(x_1\right) \phi_{-}\left(x_2\right) .
$$
除$\phi_{-}\left(x_1\right) \phi_{+}\left(x_2\right)$外，此表达式中的所有项均为正常顺序。所以，
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}=: \phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right):+\left[\phi_{-}\left(x_1\right), \phi_{+}\left(x_2\right)\right], \quad t_1>t_2 .
$$
对于$t_2>t_1$，表达式与$x_1 \leftrightarrow x_2$相同。因此，
$$
T\left{\phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right)\right}=: \phi_0\left(x_1\right) \phi_0\left(x_2\right):+D_F\left(x_1, x_2\right),
$$
完全符合威克定理的要求。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
