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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Other Examples

The logic of deriving different variational formulations and the relation with Closed Range Theorems generalize to many other common problems. We comment on a couple of them.

Linear elasticity. We look for displacements $u_i(x)$, strains $\epsilon_{i j}(x)$, and stresses $\sigma_{i j}(x)=\sigma_{j i}(x)$ that satisfy the following equations.
Cauchy geometric relations:
$$
\epsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i, j}+u_{j, i}\right)
$$
constitutive equations (Hooke’s law):
$$
\sigma_{i j}=E_{i j k l} \epsilon_{k l}
$$
linear momentum equations:
$$
-\sigma_{i j, j}-\rho \omega^2 u_i=f_i
$$
displacement boundary conditions:
$$
u_i=0 \quad \text { on } \Gamma_1
$$
traction boundary conditions:
$$
t_i=\sigma_{i j} n_j=0 \quad \text { on } \Gamma_2
$$
Here $E_{i j k l}=E_{i j k l}(x)$ denote the elasticity tensor, $\rho=\rho(x)$ is the mass density of the body, $\omega$ denotes the angular frequency, $t_i$ is the stress vector (traction), and $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ denote two disjoint parts of the boundary. All unknowns and tractions are complex-valued functions. If we resort ourselves to the static case, the inertial term $\rho \omega^2 u_i$ disappears (momentum equations reduce to equilibrium equations), and all unknowns become real-valued.
The elasticity tensor satisfies the following symmetry assumptions:
$$
\begin{array}{lc}
E_{i j k l}=E_{j i k l}, & E_{i j k l}=E_{i j l k} \text { (minor symmetries related to symmetry of stresses and strains) } \
E_{i j k l}=E_{k l i j} & \text { (major symmetry) }
\end{array}
$$
and is positive definite,
$$
E_{i j k l} \xi_{i j} \xi_{k l} \geq \alpha_0 \xi_{i j} \xi_{i j} \quad \forall \xi_{i j}=\xi_{j i}, \quad \alpha_0>0
$$

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|The Case with No Essential Boundary Conditions

The inf-sup condition (boundedness below) implies that the operator is injective and, consequently, the solution is unique. The case with non-unique solutions can be handled by means of quotient spaces. We illustrate the main ideas with the simple example of Laplace operator with pure Neumann BC.

Consider the particular case of the general diffusion-convection-reaction problem, the Poisson problem:
$$
\left{\begin{array} { r l }
{ – \Delta u } & { = f \text { in } \Omega } \
{ \frac { \partial u } { \partial n } } & { = g \text { on } \Gamma }
\end{array} \Leftrightarrow \left{\begin{array}{l}
u \in ? \
\int_{\Omega} \nabla u \nabla v=\int_{\Omega} f v+\int_{\Gamma} g v \quad \forall v \in ?
\end{array}\right.\right.
$$
The question marks indicate the energy space to be defined.
In the case of the pure Neumann problem, the solution cannot be unique, as adding an arbitrary constant $c$ to any solution $u$ produces another solution as well. Application of the Lax-Milgram Theorem, which implies uniqueness of the solution, requires more caution.

Step 1. We identify the space $U=V=X$ as the quotient space $H^1(\Omega) / V_0$, where $V_0$ is the subspace consisting of all constant modes. As $V_0$ is isomorphic with $\mathbb{R}$, we frequently write $H^1(\Omega) / \mathbb{R}$.

As a finite-dimensional subspace, $V_0$ is closed and, therefore, by the results in Sections 5.17 and 5.18 , the quotient space $H^1(\Omega) / V_0$ is a Banach space with the norm
$$
|[u]|_{H^1(\Omega) / V_0} \stackrel{\text { def }}{=} \inf {c \in \mathbb{R}}|u+c|{H^1(\Omega)}
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Other Examples

推导不同变分公式的逻辑以及与闭范围定理的关系推广到许多其他常见问题。我们对其中一些进行了评论。

线性弹性。我们寻找位移$u_i(x)$，应变$\epsilon_{i j}(x)$和应力$\sigma_{i j}(x)=\sigma_{j i}(x)$，满足以下方程。
柯西几何关系:
$$
\epsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i, j}+u_{j, i}\right)
$$
本构方程(胡克定律):
$$
\sigma_{i j}=E_{i j k l} \epsilon_{k l}
$$
线性动量方程:
$$
-\sigma_{i j, j}-\rho \omega^2 u_i=f_i
$$
位移边界条件:
$$
u_i=0 \quad \text { on } \Gamma_1
$$
牵引边界条件:
$$
t_i=\sigma_{i j} n_j=0 \quad \text { on } \Gamma_2
$$
其中$E_{i j k l}=E_{i j k l}(x)$表示弹性张量，$\rho=\rho(x)$表示物体的质量密度，$\omega$表示角频率，$t_i$表示应力矢量(牵引力)，$\Gamma_1$和$\Gamma_2$表示边界的两个不相交部分。所有未知数和牵引力都是复值函数。如果我们求助于静态情况，惯性项$\rho \omega^2 u_i$就消失了(动量方程变成平衡方程)，所有的未知量都变成实值。
弹性张量满足以下对称假设:
$$
\begin{array}{lc}
E_{i j k l}=E_{j i k l}, & E_{i j k l}=E_{i j l k} \text { (minor symmetries related to symmetry of stresses and strains) } \
E_{i j k l}=E_{k l i j} & \text { (major symmetry) }
\end{array}
$$
并且是正定的，
$$
E_{i j k l} \xi_{i j} \xi_{k l} \geq \alpha_0 \xi_{i j} \xi_{i j} \quad \forall \xi_{i j}=\xi_{j i}, \quad \alpha_0>0
$$

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|The Case with No Essential Boundary Conditions

上合条件(下面的有界性)意味着算子是内射的，因此，解是唯一的。非唯一解的情况可以用商空间来处理。我们用一个拉普拉斯算子的简单例子来说明其主要思想。

考虑一般扩散-对流-反应问题的特殊情况，即泊松问题:
$$
\left{\begin{array} { r l }
{ – \Delta u } & { = f \text { in } \Omega } \
{ \frac { \partial u } { \partial n } } & { = g \text { on } \Gamma }
\end{array} \Leftrightarrow \left{\begin{array}{l}
u \in ? \
\int_{\Omega} \nabla u \nabla v=\int_{\Omega} f v+\int_{\Gamma} g v \quad \forall v \in ?
\end{array}\right.\right.
$$
问号表示要定义的能量空间。
在纯诺伊曼问题的情况下，解不可能是唯一的，因为在任何解中加入一个任意常数$c$$u$也会产生另一个解。拉克斯-米尔格拉姆定理意味着解的唯一性，它的应用需要更加谨慎。

步骤1。我们将空间$U=V=X$标识为商空间$H^1(\Omega) / V_0$，其中$V_0$是由所有常数模态组成的子空间。因为$V_0$与$\mathbb{R}$是同构的，所以我们经常写成$H^1(\Omega) / \mathbb{R}$。

作为有限维子空间，$V_0$是封闭的，因此，由第5.17节和第5.18节的结果可知，商空间$H^1(\Omega) / V_0$是一个具有范数的Banach空间
$$
|[u]|_{H^1(\Omega) / V_0} \stackrel{\text { def }}{=} \inf {c \in \mathbb{R}}|u+c|{H^1(\Omega)}
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。