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组合学Combinatorics在应用方面，从物理学家到生物学家的科学家都发现组合学在他们的研究中至关重要。在所有这一切中，计算机科学和数学之间的相互作用作为理论发展和组合学应用的主要推动力而脱颖而出。本文介绍了这种相互作用的数学基础及其一些结果。
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Algorithm for a spanning tree
Let $G=(V, E)$ be a connected graph of order $n$.
(i) Set $F$ equal to $E$.
(ii) While there is an edge $\alpha$ of $F$ such that $\alpha$ is not a bridge of the graph $T=(V, F)$, remove $\alpha$ from $F$.
The terminal graph $T=(V, F)$ is a spanning tree of $G$.
As we have argued, the terminal graph $T=(V, F)$ is connected and does not have any bridges; hence, it is a tree.
We remark that our restriction to graphs in Theorem 11.5.7 is not essential. If $G$ is a general graph, then we can immediately remove all loops, and all but one copy of each edge in $G$, and then apply Theorem 11.5.7 and the algorithm in its proof. Thus, every connected general graph has a spanning tree as well.
Example. Let $G$ be the connected graph of order 7, shown on the left in Figure 11.27. This graph has exactly one bridge; hence, we can begin the algorithm for a spanning tree by removing any other edge, say the edge ${1,2}$. The edges ${1,4},{4,5},{2,5}$, and ${2,3}$ are now bridges and can no longer be removed. Removing the edge ${6,7}$ leaves the spanning tree shown on the right.
We conclude this section with two properties of spanning trees that will be used in subsequent sections of this chapter.
Theorem 11.5.8 Let $T$ be a spanning tree of a connected graph $G$. Let $\alpha={a, b}$ be an edge of $G$ that is not an edge of $T$. Then there is an edge $\beta$ of $T$ such that the graph $T^{\prime}$ obtained from $T$ by inserting $\alpha$ and deleting $\beta$ is also a spanning tree of $G$.
Proof. Let the graph $G$, and hence the graph $T$, have $n$ vertices. First, consider the graph $T^{\prime}$ obtained from $T$ by inserting the given edge $\alpha$. Since $T^{\prime}$ is not a tree, it has, by Theorem 11.5.4, a cycle $\gamma$ which necessarily contains at least one edge of $T$. By Lemma 11.3.1, each edge of $\gamma$ is not a bridge of $T^{\prime}$. Let $\beta$ be any edge of $\gamma$ other than $\alpha$. Removing $\beta$ from $T^{\prime}$ results in a graph with $n$ vertices and $n-1$ edges that is connected and hence is a tree.
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Shannon Switching Game
We discuss in this section a game that can be played on any multigraph. It was invented by C. Shannon ${ }^{41}$ and its elegant solution was found by A. Lehman. ${ }^{42}$ The remainder of this book is independent of this section.
Shannon’s game is played by two people, called here the positive player $P$ and the negative player $N$, who alternate turns. ${ }^{43}$ Let $G=(V, E)$ be a multigraph in which two of its vertices $u$ and $v$ have been distinguished. Thus, the “gameboard” consists of a multigraph with two distinguished vertices. The goal of the positive player is to construct a path between the distinguished vertices $u$ and $v$. The goal of the negative player is to deny the positive player his goal, that is, to destroy all paths between $u$ and $v$. The play of the game proceeds as follows: When it is $N$ ‘s turn, $N$ destroys some edge of $G$ by putting a negative sign – on it. ${ }^{44}$ When it is $P$ ‘s turn, $P$ puts a positive sign + on some edge of $G$, which now cannot be destroyed by $N$. Play proceeds until one of the players achieves his goal:
(i) There is a path between $u$ and $v$ that has only + signs on its edges. In this case, the positive player has won.
(ii) Every path in $G$ between $u$ and $v$ contains a – sign on at least one of its edges; that is, $N$ has destroyed all paths between $u$ and $v$. In this case the negative player has won.
It is evident that, after all edges of the multigraph $G$ have been played, that is, have either a + or a – on them, exactly one of the players will have won. In particular, the game never ends in a draw. If $G$ is not connected and $u$ and $v$ lie in different connected components of $G$, then we can immediately declare $N$ the winner. ${ }^{45}$
We consider the following questions:
(a) Does there exist a strategy that $P$ can follow which will guarantee him a win, no matter how well $N$ plays? If so, determine such a winning strategy for $P$.
(b) Does there exist a strategy that $N$ can follow which will guarantee him a win, no matter how well $P$ plays? If so, determine such a winning strategy for $N$.
组合学代写
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Algorithm for a spanning tree
设$G=(V, E)$为阶为$n$的连通图。
(i)设置$F$ = $E$。
(ii)当$F$有一条边$\alpha$使得$\alpha$不是图$T=(V, F)$的桥时，从$F$中删除$\alpha$。
终端图$T=(V, F)$是$G$的生成树。
正如我们所讨论的，终端图$T=(V, F)$是连通的，没有任何桥;因此，它是一棵树。
我们注意到定理11.5.7中对图的限制不是必需的。如果$G$是一个一般图，那么我们可以立即删除$G$中所有的循环，并且每个边只保留一个副本，然后应用定理11.5.7和算法来证明它。因此，每一个连通的一般图都有一个生成树。
示例:设$G$为7阶的连通图，如图11.27左侧所示。这个图只有一座桥;因此，我们可以通过删除任何其他边来开始生成树的算法，比如边${1,2}$。边缘${1,4},{4,5},{2,5}$和${2,3}$现在是桥，不能再移除。移除边${6,7}$会留下右边所示的生成树。
我们用生成树的两个属性来结束本节，这些属性将在本章的后续章节中使用。
定理11.5.8设$T$为连通图$G$的生成树。假设$\alpha={a, b}$是$G$的一条边，而不是$T$的一条边。然后存在一条$T$边$\beta$，使得通过插入$\alpha$和删除$\beta$从$T$得到的图$T^{\prime}$也是$G$的生成树。
证明。设图$G$，也就是图$T$，有$n$个顶点。首先，考虑通过插入给定边$\alpha$从$T$得到的图$T^{\prime}$。由于$T^{\prime}$不是树，根据定理11.5.4，它有一个循环$\gamma$，它必须至少包含$T$的一条边。根据引理11.3.1,$\gamma$的每条边都不是$T^{\prime}$的桥。设$\beta$为$\gamma$的任何边，而不是$\alpha$。从$T^{\prime}$中删除$\beta$会得到一个有$n$个顶点和$n-1$条边相连的图，因此是一个树。
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Shannon Switching Game
我们在本节讨论一个可以在任何多图上玩的游戏。它是由C. Shannon发明的${ }^{41}$，它的优雅解决方案是由A. Lehman发现的。${ }^{42}$本书的其余部分与本节无关。
香农的游戏是由两个人玩的，在这里称为积极的玩家$P$和消极的玩家$N$，他们轮流玩。${ }^{43}$设$G=(V, E)$为一个多图，其中两个顶点$u$和$v$已被区分。因此，“游戏板”由具有两个不同顶点的多图组成。正向玩家的目标是在不同的顶点$u$和$v$之间构建一条路径。消极玩家的目标是否定积极玩家的目标，即摧毁$u$和$v$之间的所有路径。游戏的过程如下:当轮到$N$的时候，$N$通过在$G$的边缘上加上一个负号来破坏它。${ }^{44}$当轮到$P$时，$P$在$G$的某个边缘加上一个正号+，现在不能被$N$破坏了。游戏继续进行，直到其中一个玩家达到他的目标:
(i)在$u$和$v$之间存在一条路径，其边缘上只有+号。在这种情况下，积极的玩家赢了。
(ii) $G$中$u$和$v$之间的每条路径至少在一条边上包含一个-符号;也就是说，$N$破坏了$u$和$v$之间的所有路径。在这种情况下，消极的玩家获胜。
很明显，在多重图$G$的所有边都被玩过之后，也就是说，在它们上有a +或a -，只有一个玩家会赢。特别是，比赛从不以平局结束。如果$G$没有连接，并且$u$和$v$位于$G$的不同连接组件中，那么我们可以立即声明$N$为获胜者。${ }^{45}$
我们考虑以下问题:
(a)是否存在一种策略，无论$N$打得多好，$P$都可以遵循这种策略来保证他获胜?如果是这样，为$P$确定这样一个制胜策略。
(b)是否存在一种策略，无论$P$打得多好，$N$都可以遵循这种策略来保证他获胜?如果是这样，为$N$确定这样一个制胜策略。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
