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实分析Real Analysis实数具有复数所没有的各种格理论性质。此外，实数形成一个有序域，其中正数的和和积也是正的。实数的排序是全的，实数具有最小上界性质R的每一个有上界的非空子集R都有一个最小上界也是实数。这些序理论性质导致了实分析中的一些基本结果，如单调收敛定理、中间值定理和中值定理。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Change of Variables for the Lebesgue Integral
A general-looking change-of-variables formula for the Riemann integral was proved in Section III.10. On closer examination of the theorem, we found that the result did not fully handle even as ostensibly simple a case as the change from Cartesian coordinates in $\mathbb{R}^2$ to polar coordinates. Lebesgue integration gives us methods that deal with all the unpleasantness that was concealed by the earlier formula.
Theorem 6.32 (change-of-variables formula). Let $\varphi$ be a one-one function of class $C^1$ from an open subset $U$ of $\mathbb{R}^N$ onto an open subset $\varphi(U)$ of $\mathbb{R}^N$ such that $\operatorname{det} \varphi^{\prime}(x)$ is nowhere 0 . Then
$$
\int_{\varphi(U)} f(y) d y=\int_U f(\varphi(x))\left|\operatorname{det} \varphi^{\prime}(x)\right| d x
$$
for every nonnegative Borel function $f$ defined on $\varphi(U)$.
REMARK. The $\sigma$-algebra on $\varphi(U)$ is understood to be $\mathcal{B}_N \cap \varphi(U)$, the set of intersections of Borel sets in $\mathbb{R}^N$ with the open set $\varphi(U)$. If $f$ is extended from $\varphi(U)$ to $\mathbb{R}^N$ by defining it to be 0 off $\varphi(U)$, then measurability of $f$ with respect to this $\sigma$-algebra is the same as measurability of the extended function with respect to $\mathcal{B}_N$.
Proof. Theorem 3.34 gives us the change-of-variables formula, as an equality of Riemann integrals, for every $f$ in $C_{\text {com }}(\varphi(U))$. In this case the integrands on both sides, when extended to be 0 outside the regions of integration, are continuous on all of $\mathbb{R}^N$, and the integrations can be viewed as involving continuous functions on compact geometric rectangles. Proposition 6.11 (or Theorem 6.31 if one prefers) allows us to reinterpret the equality as an equality of Lebesgue integrals.
In the extension of this identity to all nonnegative Borel functions, measurability will not be an issue. The function $f$ is to be measurable with respect to $\mathcal{B}_N(\varphi(U))$, and Corollary 6.29 shows that such $f$ ‘s correspond exactly to functions $f \circ \varphi$ measurable with respect to $\mathcal{B}_N(U)$.
Using Theorem 5.19 , define a measure $\mu$ on $\mathcal{B}_N(U)$ by
$$
\mu(E)=\int_E\left|\operatorname{det} \varphi^{\prime}(x)\right| d x
$$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Hardy-Littlewood Maximal Theorem
This section takes a first look at the theory of almost-everywhere convergence. The theory developed historically out of Lebesgue’s work on an extension of the Fundamental Theorem of Calculus to general integrable functions on intervals of the line, work that we address largely in the next chapter. We shall see gradually that the theory applies to a broader range of problems than the ones immediately generalizing Lebesgue’s work, and one can make a case that nowadays the theory in this section is of considerably greater significance in real analysis than one might expect from Lebesgue’s work on the Fundamental Theorem.
The theory brings together two threads. The first thread is the observation that an effort to differentiate integrals of general integrable functions on an interval of the line can be reinterpreted as a problem of almost-everywhere convergence in connection with an approximate identity of the kind in Theorem 6.20. In explaining this assertion, let us denote Lebesgue measure by $m$ as necessary. To differentiate $F(x)=\int_a^x f(t) d t$, one forms the usual difference quotient $h^{-1}[F(x+h)-F(x)]$, which can be written for $h>0$ as
$$
\frac{1}{m([-h, 0])} \int_{[-h, 0]} f(x-y) d y=\int_{\mathbb{R}^1} f(x-y) m([-h, 0])^{-1} I_{[-h, 0]}(y) d y
$$
or as $f * \varphi_h(x)$, where $\varphi(y)=m([-1,0])^{-1} I_{[-1,0]}(y)$. Here $\varphi$ has integral 1 , and $\varphi_h$ is the normalized dilated function defined in Section 2 by $\varphi_h(y)=h^{-1} \varphi\left(h^{-1} y\right)$ in the 1-dimensional case. Theorem 6.20 says for $p=1$ and $p=2$ that as $h$ decreases to $0, f * \varphi_h$ converges to $f$ in $L^p$ if $f$ is in $L^p$. Also, $f * \varphi_h$ converges uniformly to $f$ if $f$ is bounded and uniformly continuous, and $f * \varphi_h(x)$ converges to $f(x)$ at the point $x$ if $f$ is bounded and is continuous at $x$. The problem about differentiation of integrals asks about convergence almost everywhere.
We shall want to have a theorem in $\mathbb{R}^N$, and for this purpose an $N$-dimensional version of $I_{[-1,0]}$ does not seem attractive for generalizing. Instead, let us generalize from $I_{[-1,1]}$, taking the $N$-dimensional problem to involve a ball $B$ of radius 1 centered at the origin; there is some flexibility in choosing the set $B$, and a cube centered at the origin would work as well. We write $r B$ for the set of dilates of the members of $B$ by the scalar $r$. Thus we investigate
$$
m(r B)^{-1} \int_{r B} f(x-y) d y
$$
as $r$ decreases to 0 ; equivalently we investigate
$$
f * \varphi_r(x), \quad \text { where } \varphi(y)=m(B)^{-1} I_B(y) .
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Change of Variables for the Lebesgue Integral
第III.10节证明了一个一般的黎曼积分变量变换公式。仔细研究这个定理，我们发现这个结果甚至不能完全处理从$\mathbb{R}^2$中的笛卡尔坐标到极坐标的变化这种表面上简单的情况。勒贝格积分为我们提供了处理之前公式所隐藏的所有不愉快的方法。
定理6.32(变量变换公式)。设$\varphi$是类$C^1$从$\mathbb{R}^N$的开放子集$U$到$\mathbb{R}^N$的开放子集$\varphi(U)$的一对一函数，这样$\operatorname{det} \varphi^{\prime}(x)$就不可能是0。然后
$$
\int_{\varphi(U)} f(y) d y=\int_U f(\varphi(x))\left|\operatorname{det} \varphi^{\prime}(x)\right| d x
$$
对于在$\varphi(U)$上定义的每个非负Borel函数$f$。
评论。$\varphi(U)$上的$\sigma$ -代数可以理解为$\mathcal{B}_N \cap \varphi(U)$，即$\mathbb{R}^N$中Borel集合与开放集合$\varphi(U)$的交点集合。如果$f$通过将其定义为$\varphi(U)$的0来从$\varphi(U)$扩展到$\mathbb{R}^N$，那么$f$相对于这个$\sigma$ -代数的可测量性与扩展函数相对于$\mathcal{B}_N$的可测量性是相同的。
证明。定理3.34给出了变量变换公式，作为黎曼积分的等式，对于$C_{\text {com }}(\varphi(U))$中的每个$f$。在这种情况下，当两边的积分在积分区域外扩展为0时，在$\mathbb{R}^N$的所有区域上都是连续的，并且积分可以看作是在紧致几何矩形上涉及连续函数。命题6.11(或定理6.31)允许我们将等式重新解释为勒贝格积分的等式。
将此恒等式推广到所有非负Borel函数时，可测性将不再是问题。函数$f$相对于$\mathcal{B}_N(\varphi(U))$是可测量的，推论6.29表明，这样的$f$完全对应于相对于$\mathcal{B}_N(U)$可测量的函数$f \circ \varphi$。
使用定理5.19，通过在$\mathcal{B}_N(U)$上定义一个度量$\mu$
$$
\mu(E)=\int_E\left|\operatorname{det} \varphi^{\prime}(x)\right| d x
$$
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Hardy-Littlewood Maximal Theorem
本节首先介绍几乎处处收敛的理论。这个理论从勒贝格将微积分基本定理扩展到线区间上的一般可积函数的工作中发展而来，我们将在下一章主要讨论这个工作。我们将逐渐看到，这个理论适用于更广泛的问题，而不是直接推广勒贝格工作的问题，而且我们可以证明，现在这个部分的理论在实际分析中比人们从勒贝格关于基本定理的工作中所期望的要重要得多。
这个理论汇集了两条线索。第一个线索是观察到在直线区间上对一般可积函数的积分进行微分的努力可以被重新解释为与定理6.20中的近似恒等式有关的几乎处处收敛的问题。在解释这个论断时，必要时我们用$m$表示勒贝格测度。要对$F(x)=\int_a^x f(t) d t$求导，可以形成通常的差商$h^{-1}[F(x+h)-F(x)]$，可以将$h>0$写成
$$
\frac{1}{m([-h, 0])} \int_{[-h, 0]} f(x-y) d y=\int_{\mathbb{R}^1} f(x-y) m([-h, 0])^{-1} I_{[-h, 0]}(y) d y
$$
或者是$f * \varphi_h(x)$，其中$\varphi(y)=m([-1,0])^{-1} I_{[-1,0]}(y)$。这里$\varphi$的积分为1,$\varphi_h$是在第2节中由$\varphi_h(y)=h^{-1} \varphi\left(h^{-1} y\right)$在一维情况下定义的归一化膨胀函数。定理6.20说，对于$p=1$和$p=2$，当$h$减小到$0, f * \varphi_h$时，如果$f$在$L^p$中，则收敛到$L^p$中的$f$。同样，如果$f$有界且一致连续，则$f * \varphi_h$一致收敛于$f$;如果$f$有界且在$x$连续，则$f * \varphi_h(x)$在$x$点收敛于$f(x)$。积分的微分问题几乎处处都涉及到收敛性。
我们希望在$\mathbb{R}^N$中有一个定理，出于这个目的，$I_{[-1,0]}$的$N$维版本似乎不适合推广。相反，让我们从$I_{[-1,1]}$进行推广，将$N$维问题纳入以原点为中心半径为1的球$B$;在选择集合$B$时有一定的灵活性，以原点为中心的立方体也可以。我们用标量$r$表示$B$的成员膨胀的集合$r B$。因此我们研究
$$
m(r B)^{-1} \int_{r B} f(x-y) d y
$$
随着$r$减小到0;同样地，我们调查
$$
f * \varphi_r(x), \quad \text { where } \varphi(y)=m(B)^{-1} I_B(y) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
