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统计代写|时间序列分析代写Time Series Analysis代考|Moving average and autoregressive representations of vector processes
A $m$-dimensional stationary vector time series process $\mathbf{Z}t$ that is purely nondeterministic can always be written as a linear combination of a sequence of vector white noises, that is $$ \begin{aligned} \mathbf{Z}_t & =\boldsymbol{\mu}+\mathbf{a}_t+\boldsymbol{\Psi}_l \mathbf{a}{t-l}+\boldsymbol{\Psi}2 \mathbf{a}{t-2}+\cdots \
& =\boldsymbol{\mu}+\sum_{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}{\ell} \mathbf{a}{t-\ell}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Psi}(B) \mathbf{a}t, \end{aligned} $$ where $\boldsymbol{\Psi}(B)=\sum{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}{\ell} B^{\ell}, \boldsymbol{\Psi}_0=\mathbf{I}$, and the sequence of $m \times m$ coefficient matrices $\boldsymbol{\Psi}{\ell}$ is square summable, $\sum_{\ell=0}^{\infty}\left|\Psi_{\ell}\right|^2<\infty$, in the sense that if we write $\boldsymbol{\Psi}(B)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}{\ell} B^{\ell}=\left[\psi{i, j}(B)\right]$, and $\psi_{i, j}(B)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \psi_{i, j, \ell} B^{\ell}$, we have $\sum_{\ell=0}^{\infty} \psi_{i, j, \ell}^2<\infty$, for all $i=1,2, \ldots, m$ and $j=1,2, \ldots, m$. The $B$ is the backshift operator such that $B^j \mathbf{a}t=\mathbf{a}{t-j}$.
The infinite sum of random variables is defined as the limit in quadratic mean of the finite partial sums. Thus, $\mathbf{Z}t$ in Eq. (1.15) is defined such that $$ E\left[\left(\mathbf{Z}_t-\boldsymbol{\mu}-\sum{\ell=0}^n \boldsymbol{\Psi}{\ell} \mathbf{a}{t-\ell}\right)^{\prime}\left(\mathbf{Z}t-\boldsymbol{\mu}-\sum{\ell=0}^n \boldsymbol{\Psi}{\ell} \mathbf{a}{t-\ell}\right)\right] \rightarrow 0 \text { as } n \rightarrow \infty .
$$
The Eq. (1.15) is known as the vector moving average (MA) representation.
For a given sequence of covariance matrices, $\boldsymbol{\Gamma}(k), k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, the covariance matrix generating function is defined as
$$
\boldsymbol{\Gamma}(B)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \boldsymbol{\Gamma}(k) B^k
$$
where the covariance matrix of lag $k$ is the coefficient of $B^k$ and $B^{-k}$. For a stationary vector process given in Eq. (1.15), it can be easily seen that
$$
\boldsymbol{\Gamma}(B)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \boldsymbol{\Gamma}(k) B^k=\boldsymbol{\Psi}(B) \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Psi}^{\prime}\left(B^{-1}\right),
$$
where $\boldsymbol{\Psi}^{\prime}\left(B^{-1}\right)=\sum_{j=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}_j^{\prime} B^{-j}$.
统计代写|时间序列分析代写Time Series Analysis代考|Vector moving average processes
The $m$-dimensional vector moving average process or model in the order of $q$, shortened to $\operatorname{VMA}(q)$, is given by
$$
\begin{aligned}
\mathbf{Z}t & =\boldsymbol{\mu}+\mathbf{a}_t-\boldsymbol{\Theta}_1 \mathbf{a}{t-1}-\cdots-\boldsymbol{\Theta}q \mathbf{a}{t-q} \
& =\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Theta}q(B) \mathbf{a}_t, \end{aligned} $$ where $\boldsymbol{\Theta}_q(B)=\mathbf{I}-\boldsymbol{\Theta}_1 B-\cdots-\boldsymbol{\Theta}_q B^q, \mathbf{a}_t$ is a sequence of the $m$-dimensional vector white noise process, $\operatorname{VWN}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})$, with mean vector, $\mathbf{0}$, and covariance matrix function $$ E\left(\mathbf{a}{\mathbf{t}} \mathbf{a}_{t+k}^{\prime}\right)=\left{\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Sigma}, \text { if } k=0, \
\mathbf{0}, \text { if } k \neq 0,
\end{array}\right.
$$
and $\boldsymbol{\Sigma}$ is a $m \times m$ symmetric positive-definite matrix. The $\operatorname{VMA}(q)$ model is clearly stationary with the mean vector,
$$
E\left(\mathbf{Z}t\right)=\boldsymbol{\mu}, $$ and covariance matrix function, $$ \begin{aligned} \boldsymbol{\Gamma}(k) & =E\left[\left(\mathbf{Z}_t-\boldsymbol{\mu}\right)\left(\mathbf{Z}{t+k}-\boldsymbol{\mu}\right)^{\prime}\right] \
& =E\left[\left(\mathbf{a}t-\boldsymbol{\Theta}_1 \mathbf{a}{t-1}-\cdots-\boldsymbol{\Theta}q \mathbf{a}{t-q}\right)\left(\mathbf{a}{t+k}-\boldsymbol{\Theta}_1 \mathbf{a}{t+k-1^{-}}-\boldsymbol{\Theta}q \mathbf{a}{t+k-q}\right)^{\prime}\right] \
& =\left{\begin{array}{cc}
\sum_{j=0}^{q-k} \boldsymbol{\Theta}j \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Theta}{j+k}^{\prime}, & \text { for } k=0,1, \ldots, q, \
0, & k>q,
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
where $\boldsymbol{\Theta}0=\mathbf{I}$ and $\boldsymbol{\Gamma}(-k)=\boldsymbol{\Gamma}^{\prime}(k)$. Thus, $\boldsymbol{\Gamma}(k)$ cuts off after lag $q$. Let $\dot{\boldsymbol{Z}}_t=\boldsymbol{Z}_t-\boldsymbol{\mu}$. The $\operatorname{VMA}(q)$ model is invertible if we can write it as the autoregressive representation $$ \boldsymbol{\Pi}(B) \dot{Z}_t=\mathbf{a}_t, $$ with $$ \boldsymbol{\Pi}(B)=\left(\mathbf{I}-\Pi_1 B-\Pi_2 B^2-\cdots\right)=\left[\boldsymbol{\Theta}_q(B)\right]^{-1} $$ so that the sequence of $m \times m$ autoregressive coefficient matrices $\boldsymbol{\Pi}{\ell}$ is absolutely summable in the sense that if we write $\boldsymbol{\Pi}(\boldsymbol{B})=\sum_{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Pi}{\ell} \boldsymbol{B}^{\ell}=\left[\pi{i, j}(B)\right]$, with $\pi_{i, j}(B)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Pi}{i, j, \ell} \boldsymbol{B}^{\ell}$, we have $\sum{\ell=0}^{\infty}\left|\pi_{i, j, \ell}\right|<\infty$, for all $i=1,2, \ldots, m$ and $j=1,2, \ldots, m$. Since
$$
\boldsymbol{\Pi}(B)=\left[\boldsymbol{\Theta}_q(B)\right]^{-1}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{\Theta}_q(B)\right|} \boldsymbol{\Theta}_q^{+}(B),
$$
and the element of the adjoint matrix $\boldsymbol{\Theta}_q^{+}(B)$ are polynomials in B of maximum order of $(m-1) q$, the model will be invertible if all zeros of $\left|\Theta_q(B)\right|$ are outside of the unit circle.
时间序列代写
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a $m$-维平稳向量时间序列过程 $\mathbf{Z}t$ 这是完全不确定的可以写成一系列向量白噪声的线性组合，也就是说 $$ \begin{aligned} \mathbf{Z}t & =\boldsymbol{\mu}+\mathbf{a}_t+\boldsymbol{\Psi}_l \mathbf{a}{t-l}+\boldsymbol{\Psi}2 \mathbf{a}{t-2}+\cdots \ & =\boldsymbol{\mu}+\sum{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}{\ell} \mathbf{a}{t-\ell}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Psi}(B) \mathbf{a}t, \end{aligned} $$ 在哪里 $\boldsymbol{\Psi}(B)=\sum{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}{\ell} B^{\ell}, \boldsymbol{\Psi}0=\mathbf{I}$的序列 $m \times m$ 系数矩阵 $\boldsymbol{\Psi}{\ell}$ 平方是可和的吗， $\sum{\ell=0}^{\infty}\left|\Psi_{\ell}\right|^2<\infty$在这个意义上，如果我们写 $\boldsymbol{\Psi}(B)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}{\ell} B^{\ell}=\left[\psi{i, j}(B)\right]$，和 $\psi_{i, j}(B)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \psi_{i, j, \ell} B^{\ell}$，我们有 $\sum_{\ell=0}^{\infty} \psi_{i, j, \ell}^2<\infty$对所有人来说 $i=1,2, \ldots, m$ 和 $j=1,2, \ldots, m$． The $B$ 倒移运算符是否这样 $B^j \mathbf{a}t=\mathbf{a}{t-j}$．
随机变量的无穷和被定义为有限部分和的二次均值的极限。因此，式(1.15)中的$\mathbf{Z}t$定义为$$ E\left[\left(\mathbf{Z}t-\boldsymbol{\mu}-\sum{\ell=0}^n \boldsymbol{\Psi}{\ell} \mathbf{a}{t-\ell}\right)^{\prime}\left(\mathbf{Z}t-\boldsymbol{\mu}-\sum{\ell=0}^n \boldsymbol{\Psi}{\ell} \mathbf{a}{t-\ell}\right)\right] \rightarrow 0 \text { as } n \rightarrow \infty . $$ Eq.(1.15)被称为矢量移动平均(MA)表示。 对于给定的协方差矩阵序列$\boldsymbol{\Gamma}(k), k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$，协方差矩阵生成函数定义为 $$ \boldsymbol{\Gamma}(B)=\sum{k=-\infty}^{\infty} \boldsymbol{\Gamma}(k) B^k
$$
其中，时滞$k$的协方差矩阵为$B^k$和$B^{-k}$的系数。对于式(1.15)中给出的平稳矢量过程，可以很容易地看出
$$
\boldsymbol{\Gamma}(B)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \boldsymbol{\Gamma}(k) B^k=\boldsymbol{\Psi}(B) \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Psi}^{\prime}\left(B^{-1}\right),
$$
在哪里$\boldsymbol{\Psi}^{\prime}\left(B^{-1}\right)=\sum_{j=0}^{\infty} \boldsymbol{\Psi}_j^{\prime} B^{-j}$。
统计代写|时间序列分析代写Time Series Analysis代考|Vector moving average processes
以$q$为序的$m$维矢量移动平均过程或模型，简称为$\operatorname{VMA}(q)$，由式给出
$$
\begin{aligned}
\mathbf{Z}t & =\boldsymbol{\mu}+\mathbf{a}t-\boldsymbol{\Theta}_1 \mathbf{a}{t-1}-\cdots-\boldsymbol{\Theta}q \mathbf{a}{t-q} \ & =\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Theta}q(B) \mathbf{a}_t, \end{aligned} $$其中$\boldsymbol{\Theta}_q(B)=\mathbf{I}-\boldsymbol{\Theta}_1 B-\cdots-\boldsymbol{\Theta}_q B^q, \mathbf{a}_t$是$m$维向量白噪声过程的序列，$\operatorname{VWN}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})$，具有均值向量，$\mathbf{0}$和协方差矩阵函数 $$ E\left(\mathbf{a}{\mathbf{t}} \mathbf{a}{t+k}^{\prime}\right)=\left{\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Sigma}, \text { if } k=0, \
\mathbf{0}, \text { if } k \neq 0,
\end{array}\right.
$$
和 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是? $m \times m$ 对称正定矩阵。The $\operatorname{VMA}(q)$ 模型显然是平稳的，
$$
E\left(\mathbf{Z}t\right)=\boldsymbol{\mu}, $$ 协方差矩阵函数， $$ \begin{aligned} \boldsymbol{\Gamma}(k) & =E\left[\left(\mathbf{Z}t-\boldsymbol{\mu}\right)\left(\mathbf{Z}{t+k}-\boldsymbol{\mu}\right)^{\prime}\right] \ & =E\left[\left(\mathbf{a}t-\boldsymbol{\Theta}_1 \mathbf{a}{t-1}-\cdots-\boldsymbol{\Theta}q \mathbf{a}{t-q}\right)\left(\mathbf{a}{t+k}-\boldsymbol{\Theta}_1 \mathbf{a}{t+k-1^{-}}-\boldsymbol{\Theta}q \mathbf{a}{t+k-q}\right)^{\prime}\right] \ & =\left{\begin{array}{cc} \sum{j=0}^{q-k} \boldsymbol{\Theta}j \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Theta}{j+k}^{\prime}, & \text { for } k=0,1, \ldots, q, \
0, & k>q,
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
在哪里 $\boldsymbol{\Theta}0=\mathbf{I}$ 和 $\boldsymbol{\Gamma}(-k)=\boldsymbol{\Gamma}^{\prime}(k)$． 因此， $\boldsymbol{\Gamma}(k)$ 延时后切断 $q$． 让 $\dot{\boldsymbol{Z}}t=\boldsymbol{Z}_t-\boldsymbol{\mu}$． The $\operatorname{VMA}(q)$ 如果我们把模型写成自回归的形式，它就是可逆的 $$ \boldsymbol{\Pi}(B) \dot{Z}_t=\mathbf{a}_t, $$ 有 $$ \boldsymbol{\Pi}(B)=\left(\mathbf{I}-\Pi_1 B-\Pi_2 B^2-\cdots\right)=\left[\boldsymbol{\Theta}_q(B)\right]^{-1} $$ 所以这个序列 $m \times m$ 自回归系数矩阵 $\boldsymbol{\Pi}{\ell}$ 是绝对可求和的，如果我们写 $\boldsymbol{\Pi}(\boldsymbol{B})=\sum{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Pi}{\ell} \boldsymbol{B}^{\ell}=\left[\pi{i, j}(B)\right]$， with $\pi_{i, j}(B)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \boldsymbol{\Pi}{i, j, \ell} \boldsymbol{B}^{\ell}$，我们有 $\sum{\ell=0}^{\infty}\left|\pi_{i, j, \ell}\right|<\infty$对所有人来说 $i=1,2, \ldots, m$ 和 $j=1,2, \ldots, m$． 自从
$$
\boldsymbol{\Pi}(B)=\left[\boldsymbol{\Theta}_q(B)\right]^{-1}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{\Theta}_q(B)\right|} \boldsymbol{\Theta}_q^{+}(B),
$$
以及伴随矩阵的元素 $\boldsymbol{\Theta}_q^{+}(B)$ B中的多项式的最大阶是 $(m-1) q$，则模型是可逆的 $\left|\Theta_q(B)\right|$ 都在单位圆外。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
