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计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Topological Spaces
Topological spaces were introduced by Maurice Fréchet (1906) (in the form of metric spaces), and the idea was developed and extended over the next few decades. Amongst those who contributed significantly to the subject was Felix Hausdorff, who in 1914 coined the phrase “topological space” using Johann Benedict Listing’s German word Topologie introduced in 1847.
A topological space $\mathcal{X}$ is a nonempty collection of subsets of $\mathcal{X}$ which contains the empty set, the space itself, and arbitrary unions and finite intersections of those sets. A topological space is often denoted by $(\mathcal{X}, \mathcal{T})$, where $\mathcal{T}$ represents the topology associated with $\mathcal{X}$. The elements of $\mathcal{T}$ are called the open sets of $\mathcal{X}$, and a set is closed if its complement is open. Topological spaces can also be characterized through the concept of neighborhood. If $\mathbf{x}$ is a point in a topological space $\mathcal{X}$, its neighborhood is a set that contains an open set that contains $\mathbf{x}$.
Let $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ be two topological spaces, and let $U \subset \mathcal{X}$ and $V \subset \mathcal{Y}$ be open subsets. Consider the family of all cartesian products of the form $U \times V$. The topology formed from these products of open subsets is called the product topology for $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$. If $W \subset \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$, then $W$ is open relative to the product topology iff for each point $(x, y) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ there are open neighborhoods, $U$ of $x$ and $V$ of $y$, such that $U \times V \subset W$. For example, the usual topology for $d$-dimensional Euclidean space $\Re^d$ consists of all open sets of points in $\Re^d$, and this topology is equivalent to the product topology for the product of $d$ copies of $\Re$.
One of the core elements of manifold learning involves the idea of “embedding” one topological space inside another. Loosely speaking, the space $\mathcal{X}$ is said to be embedded in the space $\mathcal{Y}$ if the topological properties of $\mathcal{Y}$ when restricted to $\mathcal{X}$ are identical to the topological properties of $\mathcal{X}$. To be more specific, we state the following definitions. A function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is said to be continuous if the inverse image of an open in $\mathcal{Y}$ is an open set in $\mathcal{X}$. If $g$ is a bijective (i.e., one-to-one and onto) function such that $g$ and its inverse $g^{-1}$ are continuous, then $g$ is said to be a homeomorphism. Two topological spaces $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are said to be homeomorphic (or topologically equivalent) if there exists a homeomorphism from one space onto the other. A topological space $\mathcal{X}$ is said to be embedded in a topological space $\mathcal{Y}$ if $\mathcal{X}$ is homeomorphic to a subspace of $\mathcal{Y}$.
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Topological Manifolds
It was not until 1936 that the first clear description of the nature of an abstract manifold was provided by Hassler Whitney. We regard a “manifold” as a generalization to higher dimensions of a curved surface in three dimensions. A topological space $\mathcal{M}$ is a topological manifold of dimension $d$ (sometimes written as $\mathcal{M}^d$ ) if it is a second-countable Hausdorff space that is also locally Euclidean of dimension $d$. The last condition says that at every point on the manifold, there exists a small local region such that the manifold enjoys the properties of Euclidean space. The Hausdorff condition ensures that distinct points on the manifold can be separated (by neighborhoods), and the second-countability condition ensures that the manifold is not too large. The two conditions of Hausdorff and second countability, together with an embedding theorem of Whitney (1936), imply that any $d$ dimensional manifold, $\mathcal{M}^d$, can be embedded in $\Re^{2 d+1}$. In other words, a space of at most $2 d+1$ dimensions is required to embed a $d$-dimensional manifold. A submanifold is just a manifold lying inside another manifold of higher dimension. As a topological space, a manifold can have topological structure, such as being compact or connected.
流形学习代写
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Topological Spaces
拓扑空间是由Maurice fr切特(1906)引入的(以度量空间的形式)，这个想法在接下来的几十年里得到了发展和扩展。费利克斯·豪斯多夫(Felix Hausdorff)是对这一主题做出重大贡献的人之一，他在1914年使用约翰·本尼迪克特·李斯特(john Benedict Listing) 1847年引入的德语单词Topologie创造了“拓扑空间”(topological space)一词。
拓扑空间$\mathcal{X}$是$\mathcal{X}$的子集的非空集合，它包含空集、空间本身以及这些集合的任意并集和有限交集。拓扑空间通常用$(\mathcal{X}， \mathcal{T})$表示，其中$\mathcal{T}$表示与$\mathcal{X}$相关联的拓扑。$\mathcal{T}$的元素称为$\mathcal{X}$的开集，如果一个集合的补集是开的，那么它就是闭集。拓扑空间也可以通过邻域的概念来表征。如果$\mathbf{x}$是拓扑空间$\mathcal{x}$中的一个点，它的邻域是一个包含有$\mathbf{x}$的开集的集合。
设$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$为两个拓扑空间，设$U \子集\mathcal{X}$和$V \子集\mathcal{Y}$为开子集。考虑所有笛卡尔积的族，其形式为$U \ * V$。由这些开放子集的乘积形成的拓扑称为$\mathcal{X} \乘以\mathcal{Y}$的乘积拓扑。如果$W \子集\mathcal{X} \乘以\mathcal{Y}$，则$W$相对于乘积拓扑是开放的，对于\mathcal{X} \乘以\mathcal{Y}$中的每个点$(X, Y) \存在开放的邻域，$U$是$ X $， $V$是$ Y $，使得$U \乘以V \子集W$。例如，$d维欧几里德空间$\Re^d$的通常拓扑由$\Re^d$中的所有点的开集组成，并且该拓扑等价于$d$拷贝$\Re$的乘积拓扑。
流形学习的核心要素之一是将一个拓扑空间“嵌入”到另一个拓扑空间中。广义地说，如果$\mathcal{Y}$的拓扑性质与$\mathcal{X}$的拓扑性质相同，则空间$\mathcal{X}$被嵌入到$\mathcal{Y}$中。更具体地说，我们陈述以下定义。如果函数$g: \mathcal{X} \右行\mathcal{Y}$的逆像是$\mathcal{X}$中的开集，则称函数$g: \mathcal{X}$是连续的。如果$g$是一个双射(即一对一映上)函数，使得$g$和它的逆$g^{-1}$连续，则称$g$是同胚。如果两个拓扑空间$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$存在从一个空间到另一个空间的同胚，则称为$\mathcal{X}$是同胚的(或拓扑等价的)。如果$\mathcal{X}$同胚于$\mathcal{Y}$的子空间，则称拓扑空间$\mathcal{X}$嵌入于拓扑空间$\mathcal{Y}$中。
计算机代写|流形学习代写Manifold learning代考|Topological Manifolds
直到1936年，哈斯勒·惠特尼才第一次清晰地描述了抽象流形的本质。我们把“流形”看作是三维曲面对高维的推广。一个拓扑空间$\mathcal{M}$是维数$d$的拓扑流形(有时写为$\mathcal{M}^d$)，如果它是维数$d$的二阶豪斯多夫空间也是局部欧几里德空间。最后一个条件是流形上的每一点都存在一个小的局部区域，使得流形具有欧几里德空间的性质。Hausdorff条件保证流形上不同的点可以被分开(通过邻域)，第二可数条件保证流形不会太大。Hausdorff和二次可数的两个条件，连同Whitney(1936)的嵌入定理，暗示了任意$d$维流形$\mathcal{M}^d$可以嵌入$\Re^{2 d+1}$中。换句话说，嵌入$d$维流形需要最多$ 2d + $ 1维的空间。子流形就是位于另一个高维流形内的流形。流形作为一个拓扑空间，可以具有紧致或连通等拓扑结构。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
