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数学代写|数论代写Number Theory代考|Equivalence of Polynomials
We first consider congruences with prime modulus $p$. The residue classes modulo $p$ form a finite field with $p$ elements, and a congruence with modulus $p$ can be considered as an equation in this field. We shall denote the field of residue classes modulo $p$ by $Z_p$. There exist finite fields other than the various $Z_p$. All considerations of the next two sections carry over word for word in the general case of any finite field. To do this it is necessary only to replace the number $p$ by the number $q=p^m$ of elements of this field. But we shall confine our attention to the field $Z_p$ and shall use the notation of congruences rather than equations. Only in the construction of the example following Theorem 3 will we need to employ other finite fields.
The field of residue classes modulo a prime (and more generally any finite field) has several properties which distinguish it from the familiar fields of elementary algebra, the fields of rational, real, and complex numbers. Most important in our considerations is the fact that the well-known theorem that polynomials which take equal values for all values of the variables must have equal coefficients is no longer true for this field. For example, by the small Fermat theorem, the polnomials $x^p$ and $x$ take equal values in the field $Z_p$ for all values of the variable $x$, but their coefficients are unequal. [The following holds for any finite field: If $\alpha_1, \ldots, \alpha_q$ are the elements of the field, then the polynomial $\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_q\right)$, which has nonzero coefficients, has value zero for every value for $x$ in the field.]
We write
$$
F\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv G\left(x_1, \ldots, x_n\right)(\bmod p)
$$
and call the polynomials $F$ and $G$ congruent, if the coefficients of corresponding terms on the right and left sides are congruent modulo $p$. If for any set of values $c_1, \ldots, c_n$ we have
$$
F\left(c_1, \ldots, c_n\right) \equiv G\left(c_1, \ldots, c_n\right)(\bmod p),
$$
then we write $F \sim G$ and call $F$ and $G$ equivalent. It is clear that if $F \equiv G$, then $F \sim G$, but the example of the polynomials $x^p$ and $x$ shows that the converse is, in general, false.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Theorems on the Number of Solutions of Congruences
From Theorems 1 and 2 we can deduce some corollaries on the number of solutions of congruences.
Theorem 3. If the congruence $F\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv 0(\bmod p)$ has at least one solution, and the total degree of the polynomial $F$ is less than the number of variables, then the congruence has at least two solutions.
Proof. Assume that the polynomial $F\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ with total degree $r$ is such that the congruence $F\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv 0(\bmod p)$ has the unique solution
$$
x_1 \equiv a_1(\bmod p), \ldots, x_n \equiv a_n(\bmod p) .
$$
Set $H\left(x_1, \ldots, x_n\right)=1-F\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{p-1}$. By the small Fermat theorem and the assumptions on $F$ we have
$$
H\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv \begin{cases}1 & \text { for } x_1 \equiv a_1, \ldots, x_n \equiv a_n(\bmod p), \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
Denote by $H^$ the reduced polynomial equivalent to $H$, by Theorem 1 . $H^$ takes the same values as $H$. But, on the other hand, we can explicitly construct a reduced polynomial taking the same values as $H$, namely, the polynomial
$$
\prod_{i=1}^n\left(1-\left(x_i-a_i\right)^{p-1}\right)
$$
By Theorem 2 we have
$$
H^* \equiv \prod_{i=1}^n\left(1-\left(x_i-a_i\right)^{p-1}\right)(\bmod p) .
$$
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|Equivalence of Polynomials
我们首先考虑素数模$p$的同余。模$p$的残馀类构成了一个含有$p$元素的有限域，与模$p$的同余可以看作是该域中的方程。我们将用$Z_p$表示模$p$的残馀类域。除了各种$Z_p$之外，存在有限的域。在任何有限域的一般情况下，接下来两节的所有考虑都是逐字逐句地进行的。要做到这一点，只需要将数字$p$替换为该字段的元素数量$q=p^m$。但是我们将把注意力集中在$Z_p$这个领域并且使用同余符号而不是方程。只有在构造遵循定理3的例子时，我们才需要使用其他有限域。
以素数为模的剩余类域(以及更普遍的任何有限域)有几个性质，这些性质使它区别于我们熟悉的初等代数领域，有理数、实数和复数领域。在我们的考虑中最重要的是一个事实，即众所周知的定理，即多项式对所有变量取相等的值必须具有相等的系数，在这个领域不再成立。例如，根据小费马定理，对于变量$x$的所有值，多项式$x^p$和$x$在$Z_p$域中取相等的值，但是它们的系数是不相等的。[以下适用于任何有限域:如果$\alpha_1, \ldots, \alpha_q$是该域的元素，则多项式$\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_q\right)$(它具有非零系数)对于该域中$x$的每个值都具有零值。]
我们写
$$
F\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv G\left(x_1, \ldots, x_n\right)(\bmod p)
$$
称多项式为$F$和$G$同余，如果左边和右边对应项的系数以$p$为模相等。对于任意一组值$c_1, \ldots, c_n$，我们有
$$
F\left(c_1, \ldots, c_n\right) \equiv G\left(c_1, \ldots, c_n\right)(\bmod p),
$$
然后我们写$F \sim G$并调用$F$和$G$等效。很明显，如果$F \equiv G$，那么$F \sim G$，但是多项式$x^p$和$x$的例子表明，相反的情况通常是错误的。
数学代写|数论代写Number Theory代考|Theorems on the Number of Solutions of Congruences
由定理1和定理2，我们可以推导出关于同余解个数的一些推论。
定理3。如果同余式$F\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv 0(\bmod p)$至少有一个解，且多项式的总度数$F$小于变量数，则该同余式至少有两个解。
证明。假设总次为$r$的多项式$F\left(x_1, \ldots, x_n\right)$使得同余$F\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv 0(\bmod p)$有唯一解
$$
x_1 \equiv a_1(\bmod p), \ldots, x_n \equiv a_n(\bmod p) .
$$
设置$H\left(x_1, \ldots, x_n\right)=1-F\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{p-1}$。通过小费马定理和$F$上的假设
$$
H\left(x_1, \ldots, x_n\right) \equiv \begin{cases}1 & \text { for } x_1 \equiv a_1, \ldots, x_n \equiv a_n(\bmod p), \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
根据定理1，用$H^$表示与$H$等价的简化多项式。$H^$的取值与$H$相同。但是，另一方面，我们可以显式地构造一个与$H$相同值的约简多项式，即多项式
$$
\prod_{i=1}^n\left(1-\left(x_i-a_i\right)^{p-1}\right)
$$
根据定理2，我们有
$$
H^* \equiv \prod_{i=1}^n\left(1-\left(x_i-a_i\right)^{p-1}\right)(\bmod p) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
