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物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Spinor representations
So far we have only considered the tensor representations, $T_{\mu_1 \cdots \mu_n}$, that have only integer spins. We will now discuss representations with half-integer spins.
There exist two complex $J=\frac{1}{2}$ representations, $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ and $\left(0, \frac{1}{2}\right)$. What do these representations actually look like? The vector spaces they act on have $2 J+1=2$ degrees of freedom. Thus we need to find $2 \times 2$ matrices that satisfy
$$
\begin{aligned}
& {\left[J_i^{+}, J_j^{+}\right]=i \varepsilon_{i j k} J_k^{+},} \
& {\left[J_i^{-}, J_j^{-}\right]=i \varepsilon_{i j k} J_k^{-},} \
& {\left[J_i^{+}, J_j^{-}\right]=0 .}
\end{aligned}
$$
But we already know such matrices: the Pauli matrices. They satisfy Eq. (10.5): $\left[\sigma_i, \sigma_j\right]=$ $2 i \varepsilon_{i j k} \sigma_k$. Rescaling, we find
$$
\left[\frac{\sigma_i}{2}, \frac{\sigma_j}{2}\right]=i \varepsilon_{i j k} \frac{\sigma_k}{2},
$$
which is the $\mathrm{SO}(3)$ algebra. Another useful fact is that
$$
\left{\sigma_i, \sigma_j\right}=\sigma_i \sigma_j+\sigma_j \sigma_i=2 \delta_{i j},
$$
where the anticommutator is defined by
$$
{A, B} \equiv A B+B A .
$$
Thus, we can set $J_i^{-}=\frac{1}{2} \sigma_i$, which generates the ” $\frac{1}{2}$ ” in $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$. What about $J_i^{+}$? This should be the ” 0 ” in $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$. The obvious thing to do is just take the trivial representation $J_i^{+}=0$. So the $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ representation is
$$
\left(\frac{1}{2}, 0\right): \quad \vec{J}^{-}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}, \quad \vec{J}^{+}=0 .
$$
Similarly, the $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ representation is
$$
\left(0, \frac{1}{2}\right): \quad \vec{J}^{-}=0, \quad \vec{J}^{+}=\frac{1}{2} \vec{\sigma} .
$$
What does this mean for actual Lorentz transformations? Well, the rotations are $\vec{J}=\vec{J}^{-}+$ $\vec{J}^{+}$and the boosts are $\vec{K}=i\left(\vec{J}^{-}-\vec{J}^{+}\right)$so
$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{1}{2}, 0\right): \quad \vec{J}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}, \quad \vec{K}=\frac{i}{2} \vec{\sigma}, \
& \left(0, \frac{1}{2}\right): \quad \vec{J}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}, \quad \vec{K}=-\frac{i}{2} \vec{\sigma} .
\end{aligned}
$$
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Unitary representations
We have just constructed two 2D representations of the Lorentz group. But these representations are not unitary. Unitarity means $\Lambda^{\dagger} \Lambda=1$, which is necessary to have Lorentz-invariant matrix elements:
$$
\langle\psi \mid \psi\rangle \rightarrow\left\langle\psi\left|\Lambda^{\dagger} \Lambda\right| \psi\right\rangle
$$
Since a group element is the exponential of a generator $\Lambda=e^{i \lambda}$, unitarity requires that $\lambda^{\dagger}=\lambda$, that is, that $\lambda$ be Hermitian. We saw that the boost generators in the spinor representations are instead anti-Hermitian.
It is not hard to see that any representation constructed using $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$ as above (which are all the finite-dimensional representations) will not be unitary. Since $\mathrm{SU}(2)$ is the special unitary algebra, all of its representations are unitary. So, the generators for the $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$ decomposition $\vec{J}{ \pm}=\frac{1}{2}(\vec{J} \pm i \vec{K})$ are Hermitian. Thus $\exp \left(i \theta{+}^j J_{+}^j+\right.$ $\left.i \theta_{-}^j J_{-}^j\right)$ is unitary, for real $\theta_{+}^j$ and $\theta_{-}^j$. But this does not mean that the corresponding representations of the Lorentz group are unitary. A Lorentz group element is
$$
\Lambda=\exp \left(i \theta_j J_j+i \beta_j K_j\right),
$$
where the $\theta_j$ are the rotation angles and $\beta_j$ the boost “angles.” These are real numbers. They are related to the angles for the $\vec{J}{ \pm}$generators of $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$ by $\theta{+}^j=\theta_j-i \beta_j$ and $\theta_{-}^j=\theta_j+i \beta_j$. So for a boost, the $\vec{J}{+}$and $\vec{J}{-}$generators get multiplied by imaginary angles, which makes the transformation anti-unitary. Thus, none of the representations of the Lorentz group generated this way will be unitary and therefore there are no finitedimensional unitary representations of the Lorentz group.
To construct a unitary field theory, we need unitary representations of the Poincaré group, which are infinite dimensional; the corresponding representations of the Lorentz subgroup of the Poincaré group are also infinite dimensional. To construct these representations, we will use the same trick we used for spin 1 in Chapter 8 . We will construct an infinite-dimensional representation by having the basis depend on the momentum $p^\mu$. For fixed momentum, say $p^\mu=(m, 0,0,0)$ in the massive case, or $p^\mu=(E, 0,0, E)$ in the massless case, the group reduces to the appropriate little group, $\mathrm{SO}(3)$ or $\mathrm{ISO}(2)$ respectively. These little groups do have unitary representations. Implementing this procedure for spin 1, we were led uniquely to Lagrangians with kinetic terms of the form $-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2$, and gauge invariance and charge conservation if $m=0$. We will now see how to construct Lorentz-invariant Lagrangians that describe unitary theories with spinors.
量子场论代考
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Spinor representations
到目前为止，我们只考虑了张量表示$T_{\mu_1 \cdots \mu_n}$，它只有整数自旋。现在我们将讨论半整数自旋的表示。
存在两种复杂的$J=\frac{1}{2}$表示，$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$和$\left(0, \frac{1}{2}\right)$。这些表示是什么样子的呢?它们作用的向量空间有$2 J+1=2$自由度。因此我们需要找到$2 \times 2$矩阵满足
$$
\begin{aligned}
& {\left[J_i^{+}, J_j^{+}\right]=i \varepsilon_{i j k} J_k^{+},} \
& {\left[J_i^{-}, J_j^{-}\right]=i \varepsilon_{i j k} J_k^{-},} \
& {\left[J_i^{+}, J_j^{-}\right]=0 .}
\end{aligned}
$$
但是我们已经知道这样的矩阵:泡利矩阵。它们满足式(10.5):$\left[\sigma_i, \sigma_j\right]=$$2 i \varepsilon_{i j k} \sigma_k$。重新缩放，我们发现
$$
\left[\frac{\sigma_i}{2}, \frac{\sigma_j}{2}\right]=i \varepsilon_{i j k} \frac{\sigma_k}{2},
$$
也就是$\mathrm{SO}(3)$代数。另一个有用的事实是
$$
\left{\sigma_i, \sigma_j\right}=\sigma_i \sigma_j+\sigma_j \sigma_i=2 \delta_{i j},
$$
反换向子的定义是什么
$$
{A, B} \equiv A B+B A .
$$
因此，我们可以设置$J_i^{-}=\frac{1}{2} \sigma_i$，它在$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$中生成“$\frac{1}{2}$”。$J_i^{+}$怎么样?这应该是$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$中的“0”。最明显的方法就是取这个简单的表示$J_i^{+}=0$。所以$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$的表示是
$$
\left(\frac{1}{2}, 0\right): \quad \vec{J}^{-}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}, \quad \vec{J}^{+}=0 .
$$
类似地，$\left(0, \frac{1}{2}\right)$表示为
$$
\left(0, \frac{1}{2}\right): \quad \vec{J}^{-}=0, \quad \vec{J}^{+}=\frac{1}{2} \vec{\sigma} .
$$
这对于实际的洛伦兹变换意味着什么?旋转是$\vec{J}=\vec{J}^{-}+$$\vec{J}^{+}$推进是$\vec{K}=i\left(\vec{J}^{-}-\vec{J}^{+}\right)$所以
$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{1}{2}, 0\right): \quad \vec{J}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}, \quad \vec{K}=\frac{i}{2} \vec{\sigma}, \
& \left(0, \frac{1}{2}\right): \quad \vec{J}=\frac{1}{2} \vec{\sigma}, \quad \vec{K}=-\frac{i}{2} \vec{\sigma} .
\end{aligned}
$$
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Unitary representations
我们刚刚构造了洛伦兹群的两个二维表示。但这些表示并不是统一的。统一性意味着$\Lambda^{\dagger} \Lambda=1$，它是具有洛伦兹不变矩阵元素的必要条件:
$$
\langle\psi \mid \psi\rangle \rightarrow\left\langle\psi\left|\Lambda^{\dagger} \Lambda\right| \psi\right\rangle
$$
因为群元素是生成器$\Lambda=e^{i \lambda}$的指数，所以一致性要求$\lambda^{\dagger}=\lambda$，也就是说，$\lambda$是厄米矩阵。我们看到旋量表示中的升压发生器是反厄米的。
不难看出，使用$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$构建的任何表示(它们都是有限维表示)都不是统一的。因为$\mathrm{SU}(2)$是特殊的酉代数，所以它的所有表示都是酉的。所以，$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$分解$\vec{J}{ \pm}=\frac{1}{2}(\vec{J} \pm i \vec{K})$的生成器是厄米矩阵。因此$\exp \left(i \theta{+}^j J_{+}^j+\right.$$\left.i \theta_{-}^j J_{-}^j\right)$是统一的，对于真实的$\theta_{+}^j$和$\theta_{-}^j$。但这并不意味着洛伦兹群的对应表示是酉的。洛伦兹群元素是
$$
\Lambda=\exp \left(i \theta_j J_j+i \beta_j K_j\right),
$$
其中$\theta_j$是旋转角度，$\beta_j$是增压“角度”。这些都是实数。它们与$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2)$的$\vec{J}{ \pm}$生成器的角度与$\theta{+}^j=\theta_j-i \beta_j$和$\theta_{-}^j=\theta_j+i \beta_j$有关。因此，对于升压，$\vec{J}{+}$和$\vec{J}{-}$生成器乘以虚角，这使得变换反酉。因此，以这种方式生成的洛伦兹群的任何表示都不是酉的，因此也就没有洛伦兹群的有限维酉表示。
为了构造一个酉场论，我们需要无限维的庞加莱群的酉表示;相应的波昂卡洛群的洛伦兹子群的表示也是无限维的。为了构造这些表示，我们将使用第8章中用于自旋1的相同技巧。我们将构建一个无限维的表示通过让基依赖于动量$p^\mu$。对于固定动量，在有质量的情况下说$p^\mu=(m, 0,0,0)$，在无质量的情况下说$p^\mu=(E, 0,0, E)$，这个群分别减少到适当的小群$\mathrm{SO}(3)$或$\mathrm{ISO}(2)$。这些小群确实有酉表示。在自旋1中实现这个过程，我们得到了唯一的拉格朗日量，其动力学项形式为$-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2$，规范不变性和电荷守恒形式为$m=0$。现在我们将看到如何构造洛伦兹不变拉格朗日定理来描述有旋量的酉理论。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
