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凸优化Convex optimization无约束可以很容易地用梯度下降(最陡下降的特殊情况)或牛顿方法解决，结合线搜索适当的步长;这些可以在数学上证明收敛速度很快，尤其是后一种方法。[22]如果目标函数是二次函数，也可以使用KKT矩阵技术求解具有线性等式约束的凸优化(它推广到牛顿方法的一种变化，即使初始化点不满足约束也有效)，但通常也可以通过线性代数消除等式约束或解决对偶问题来解决。
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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Basic SVM
One fundamental function of machine learning is to make classification from a set of labeled training data. Suppose these data samples are denoted as $\left{\left(\boldsymbol{x}_i, y_i\right), i=\right.$ $\left.1, \ldots, L=L^{+}+L^{-}\right}$, where $\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^n$ are feature vectors and $y_i \in{-1,+1}$ are the labels. If these two kinds of examples formulate two disjoint convex hulls in $\mathbb{R}^n$, we can find a hyperplane $\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=0\right}$ to separate them, because of the strong separation theorem. This indeed gives a classification function
$$
H(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b
$$
Any point $\boldsymbol{x}$ giving $H(\boldsymbol{x})>0$ will be recognized as Class I and any point $\boldsymbol{x}$ giving $H(\boldsymbol{x})<0$ will be recognized as Class II.
There might be infinite such hyperplanes that can separate these two convex sets. Here, we would like to find the separating hyperplane which has the largest distance to two convex sets. This will lead to the following optimization problem
$$
\begin{array}{ll}
\max _{\boldsymbol{w}, b} & \min \left{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i\right|_2^2 \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=0, i=1, \ldots, L\right} \
\text { s.t. } & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}_j+b \geq 1, j=1, \ldots, L^{+} \
& \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}_k+b \leq-1, k=1, \ldots, L^{-}
\end{array}
$$
However, this optimization problem is not easy to solve. Therefore, we should consider its equivalent form instead.
Notice that the parameters $\boldsymbol{w}$ and $b$ can be rescaled in such a way that the points closest to the hyperplane $\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=0\right}$ must lie on either the hyperplane $\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=+1\right}$ or the hyperplane $\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=-1\right}$. Meanwhile, the distance between these two parallel hyperplanes can be gotten as $\frac{2}{|\boldsymbol{w}|_2^2}$; see Fig. 2.1.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Soft Margin SVM
If the data samples are not linearly separable, we could still build a linear classifier likewise. To make the classification errors as small as possible, we usually introduce a loss function (penalty function) on the classification errors.
The basic loss function is a linear function of loss on the violation. Using it, we can then formulate a soft margin SVM as follows:
$$
\begin{array}{ll}
\min {\boldsymbol{w}, b, \xi_i} & \frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|_2^2+C \sum{i=1}^L \xi_i \
\text { s.t. } & y_i\left(\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}_i+b\right) \geq 1-\xi_i, i=1, \ldots, L \
& \xi_i \geq 0, i=1, \ldots, L
\end{array}
$$
where $C \in \mathbb{R}^{+}$is the penalty coefficient and $\xi_i \in \mathbb{R}^{+}, i=1, \ldots, L$ are the degree of violation for each data sample; see Fig. 2.2.
Clearly, this is still a convex optimization problem, and we can form the generalized Lagrangian function as
$$
L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)=\frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|2^2+C \sum{i=1}^L \xi_i-\sum_{i=1}^L \alpha_i\left[y_i\left(\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}i+b\right)-1+\xi_i\right]-\sum{i=1}^L \beta_i \xi_i
$$
where $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}{+}^L$ and $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}{+}^L$ are the associated Lagrange multipliers.
Letting its partial derivatives with respect to $\boldsymbol{w}, b$, and $\xi_i$ be zero, we have
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)}{\partial \boldsymbol{w}}=0 \Longrightarrow \boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^L \alpha_i y_i \boldsymbol{x}i \ & \frac{\partial L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)}{\partial b}=0 \Longrightarrow \sum{i=1}^L \alpha_i y_i=0 \
& \frac{\partial L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)}{\partial \xi_i}=0 \Longrightarrow C-\alpha_i-\beta_i=0
\end{aligned}
$$
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Basic SVM
机器学习的一个基本功能是从一组标记的训练数据中进行分类。假设这些数据样本记为$\left{\left(\boldsymbol{x}_i, y_i\right), i=\right.$$\left.1, \ldots, L=L^{+}+L^{-}\right}$，其中$\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^n$为特征向量，$y_i \in{-1,+1}$为标签。如果这两类例子在$\mathbb{R}^n$中形成两个不相交的凸包，由于强分离定理，我们可以找到一个超平面$\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=0\right}$来分离它们。这确实给出了一个分类函数
$$
H(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b
$$
任何得分$\boldsymbol{x}$给予$H(\boldsymbol{x})>0$将被认定为一级，任何得分$\boldsymbol{x}$给予$H(\boldsymbol{x})<0$将被认定为二级。
可能有无限个这样的超平面可以分离这两个凸集。在这里，我们想要找到到两个凸集距离最大的分离超平面。这将导致以下优化问题
$$
\begin{array}{ll}
\max _{\boldsymbol{w}, b} & \min \left{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i\right|_2^2 \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=0, i=1, \ldots, L\right} \
\text { s.t. } & \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}_j+b \geq 1, j=1, \ldots, L^{+} \
& \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}_k+b \leq-1, k=1, \ldots, L^{-}
\end{array}
$$
然而，这个优化问题并不容易解决。因此，我们应该考虑它的等价形式。
请注意，参数$\boldsymbol{w}$和$b$可以重新缩放，这样最接近超平面$\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=0\right}$的点必须位于超平面$\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=+1\right}$或超平面$\left{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}+b=-1\right}$上。同时，这两个平行超平面之间的距离可以得到:$\frac{2}{|\boldsymbol{w}|_2^2}$;见图2.1。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Soft Margin SVM
如果数据样本不是线性可分的，我们仍然可以建立一个线性分类器。为了使分类误差尽可能小，我们通常在分类误差上引入损失函数(惩罚函数)。
基本损失函数是违和损失的线性函数。利用它，我们可以建立软边际支持向量机如下:
$$
\begin{array}{ll}
\min {\boldsymbol{w}, b, \xi_i} & \frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|_2^2+C \sum{i=1}^L \xi_i \
\text { s.t. } & y_i\left(\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}_i+b\right) \geq 1-\xi_i, i=1, \ldots, L \
& \xi_i \geq 0, i=1, \ldots, L
\end{array}
$$
其中$C \in \mathbb{R}^{+}$为处罚系数，$\xi_i \in \mathbb{R}^{+}, i=1, \ldots, L$为每个数据样本的违规程度;见图2.2。
显然，这仍然是一个凸优化问题，我们可以形成广义拉格朗日函数为
$$
L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)=\frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|2^2+C \sum{i=1}^L \xi_i-\sum_{i=1}^L \alpha_i\left[y_i\left(\boldsymbol{w}^T \boldsymbol{x}i+b\right)-1+\xi_i\right]-\sum{i=1}^L \beta_i \xi_i
$$
其中$\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}{+}^L$和$\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}{+}^L$是相关的拉格朗日乘数。
令它对$\boldsymbol{w}, b$和$\xi_i$的偏导为零，我们有
$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)}{\partial \boldsymbol{w}}=0 \Longrightarrow \boldsymbol{w}=\sum_{i=1}^L \alpha_i y_i \boldsymbol{x}i \ & \frac{\partial L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)}{\partial b}=0 \Longrightarrow \sum{i=1}^L \alpha_i y_i=0 \
& \frac{\partial L\left(\boldsymbol{w}, b, \xi_i, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\right)}{\partial \xi_i}=0 \Longrightarrow C-\alpha_i-\beta_i=0
\end{aligned}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
