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拓扑学Topology作为一个活跃的研究领域，已基本完成。作为一种通用的数学语言，它的长期使用已经完善了它的定义和定理体系。如今，研究一般拓扑的确更像是学习一门语言，而不是学习数学:人们必须学习许多新单词，而大多数定理的证明却极其简单。但是定理的数量是巨大的。这并不奇怪，因为它们扮演着规范词汇使用的规则角色。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Sets and Functions
Since the main focus of this book is topology and not set theory, we adopt a completely naive attitude towards sets.
“Definition” 1.1.1. A set is a collection of certain objects considered as a whole.
This is, of course, far from being a precise definition (that’s why the word is in quotation marks): What is a “collection”? What are “certain objects”? And what does it mean to consider a collection of certain objects – whatever that may be – “as a whole”? Instead of dwelling on these questions (and becoming overly formalistic), we content ourselves with fleshing out the notion of a set with some examples:
Example 1.1.2. The collection of positive integers (excluding 0) is a set denoted by $\mathbb{N}$. Also the nonnegative integers (including 0 ), the integers, the rational numbers, the reals, and the complex numbers constitute sets that are denoted by $\mathbb{N}_0, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$, and $\mathbb{C}$, respectively.
We also want to call a collection of nothing a set: this is the empty set denoted by $\varnothing$.
If $x$ is one of the objects collected in the set $S$, we call $x$ an element of $S$ and denote this by $x \in S$ (we then say that $x$ “is contained” in $S$ or “lies in” $S$ ); if $x$ is not an element of $S$, we write $x \notin S$.
Example 1.1.3. We have $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, but $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
If $T$ and $S$ are sets, then $T$ is called a subset of $S$ (in symbols: $T \subset S$ ) if each element of $T$ is also an element of $S$ (with some risk of ambiguity, we then also say that $T$ “is contained in” $S$ ).
Examples 1.1.4. (a) We have
$$
\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} .
$$
(b) Since $\varnothing$ has no elements, it is a subset of every other set.
If $T \subset S$ and $S \subset T$, we say that the two sets $S$ and $T$ are equal and write $S=T$. In the case $T \subset S$, but $S \neq T$, we use the symbol $T \subsetneq S$; we then call the subset $T$ of $S$ proper.
Example 1.1.5. Clearly,
$$
\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{N}_0 \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}
$$
holds.
Let $S$ be a set, and let $P$ be any property that is either satisfied by a particular element of $S$ or isn’t. Then
$$
{x \in S: x \text { satisfies } P}
$$
is the collection of all elements of $S$ satisfying $P$ and is a subset of $S$.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cardinals
Which of the sets ${1,2,3}$ and ${1,2,3,4}$ is larger? The second one, of course: it contains the first one as a proper subset. What if neither of two sets is contained in the other one; for example, what about ${1,2,3}$ and ${\boldsymbol{\mathbf { s }}, \diamond, \nabla, \mathbf{\phi}}$ ? Of course, ${\boldsymbol{\phi}, \diamond, \mathcal{\nabla}, \mathbf{\phi}}$ is larger than ${1,2,3}$ : it has the same number of elements as ${1,2,3,4}$, which we know to be larger than ${1,2,3}$. All in all, it is intuitively clear, for finite sets, what it means when we say that one of them is larger than the other or that two of them have the same size. But what does it mean if we make such a statement about sets that aren’t finite, that is, about infinite sets?
Since $\mathbb{N}$ is a proper subset of $\mathbb{N}_0$, one might think that $\mathbb{N}_0$ is “larger” than $\mathbb{N}$. On the other hand, the map
$$
\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}, \quad n \mapsto n+1
$$
is easily seen to be bijective, so that each element of $\mathbb{N}_0$ corresponds to precisely one element of $\mathbb{N}$. Hence, $\mathbb{N}_0$ and $\mathbb{N}$ should have “the same number of elements” and thus be of equal size. This second approach turns out to be the appropriate one when it comes to dealing with “sizes” of infinite sets.
Definition 1.2.1. Two sets $S$ and $T$ are said to have the same cardinality, in symbols: $|S|=|T|$, if there is a bijective function $f: S \rightarrow T$.
Examples 1.2.2. (a) Two finite sets have the same cardinality if and only if they have the same number of elements. In particular, a subset $T$ of a finite set $S$ has the same cardinality as $S$ if and only if $S=T$.
(b) If $|R|=|S|$ and $|S|=|T|$, then $|R|=|T|$ holds.
(c) The sets $\mathbb{N}$ and $\mathbb{N}_0$ have the same cardinality, even though $\mathbb{N}$ is a proper subset of $\mathbb{N}_0$.
(d) For each $x \in \mathbb{R}$, let $\lfloor x\rfloor \in \mathbb{Z}$ denote the largest integer less than or equal to $x$. The map
$$
\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}, \quad n \mapsto(-1)^n\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor
$$
is bijective, so that $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$.
拓扑学代写
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由于本书的主要焦点是拓扑学而不是集合论，我们对集合采取了一种完全幼稚的态度。
“定义”1.1.1。集合是被认为是一个整体的某些对象的集合。
当然，这远不是一个精确的定义(这就是为什么这个词在引号中):什么是“集合”?什么是“特定对象”?把某些物体的集合——不管它是什么——“作为一个整体”是什么意思?与其纠结于这些问题(并变得过于形式主义)，我们满足于用一些例子充实集合的概念:
例1.1.2。正整数(不包括0)的集合是一个用$\mathbb{N}$表示的集合。非负整数(包括0)、整数、有理数、实数和复数构成集合，分别用$\mathbb{N}_0, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$和$\mathbb{C}$表示。
我们还希望将不包含任何内容的集合称为集合:这是用$\varnothing$表示的空集合。
如果$x$是集合$S$中收集的对象之一，我们称$x$为$S$的一个元素，并用$x \in S$表示它(然后我们说$x$“包含”在$S$中或“位于”$S$中);如果$x$不是$S$的元素，我们写$x \notin S$。
例1.1.3。我们有$\sqrt{2} \in \mathbb{R}$，但是$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$。
如果$T$和$S$是集合，那么$T$被称为$S$的一个子集(符号:$T \subset S$)，如果$T$的每个元素也是$S$的一个元素(有一些模糊的风险，我们也说“$T$”包含在“$S$”中)。
例1.1.4。(a)是的
$$
\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} .
$$
(b)因为$\varnothing$没有元素，所以它是所有其他集合的子集。
如果$T \subset S$和$S \subset T$，我们说两个集合$S$和$T$相等，并写$S=T$。在$T \subset S$，但$S \neq T$的情况下，我们使用符号$T \subsetneq S$;然后我们将$S$的子集称为$T$ proper。
例1.1.5。显然，
$$
\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{N}_0 \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}
$$
hold住。
设$S$为一个集合，并设$P$为满足或不满足$S$的特定元素的任何属性。然后
$$
{x \in S: x \text { satisfies } P}
$$
是$S$中满足$P$的所有元素的集合，并且是$S$的子集。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cardinals
集合${1,2,3}$和${1,2,3,4}$哪个更大?当然是第二个:它包含了第一个，作为一个适当的子集。如果两个集合都不包含在另一个集合中怎么办?例如，${1,2,3}$和${\boldsymbol{\mathbf { s }}, \diamond, \nabla, \mathbf{\phi}}$呢?当然，${\boldsymbol{\phi}, \diamond, \mathcal{\nabla}, \mathbf{\phi}}$比${1,2,3}$大:它和${1,2,3,4}$有相同的元素数，我们知道比${1,2,3}$大。总而言之，直观上很清楚，对于有限集合，当我们说其中一个比另一个大或者其中两个大小相同是什么意思。但是如果我们对非有限的集合，也就是无限的集合做出这样的陈述，这意味着什么呢?
由于$\mathbb{N}$是$\mathbb{N}_0$的适当子集，因此有人可能认为$\mathbb{N}_0$比$\mathbb{N}$“大”。另一方面，地图
$$
\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}, \quad n \mapsto n+1
$$
很容易看出是双射的，因此$\mathbb{N}_0$的每一个元素正好对应于$\mathbb{N}$的一个元素。因此，$\mathbb{N}_0$和$\mathbb{N}$应该具有“相同数量的元素”，因此具有相同的大小。当涉及到处理无限集的“大小”时，第二种方法被证明是合适的。
1.2.1.定义如果存在双射函数$f: S \rightarrow T$，则两个集合$S$和$T$具有相同的基数，用符号表示为$|S|=|T|$。
1.2.2.示例(a)两个有限集合具有相同的基数当且仅当它们具有相同数量的元素。特别地，当且仅当$S=T$时，有限集$S$的子集$T$与$S$具有相同的基数。
(b)如果$|R|=|S|$和$|S|=|T|$，那么$|R|=|T|$成立。
(c)集合$\mathbb{N}$和$\mathbb{N}_0$具有相同的基数，尽管$\mathbb{N}$是$\mathbb{N}_0$的适当子集。
(d)对于每个$x \in \mathbb{R}$，设$\lfloor x\rfloor \in \mathbb{Z}$表示小于或等于$x$的最大整数。地图
$$
\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}, \quad n \mapsto(-1)^n\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor
$$
是客观的，所以$|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
