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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH11135

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Some Applications

In this section we give some examples of surjectivity problems which can be solved by localization and the Proj-functor. The following consequence of Runge’s approximation theorem is fundamental for the classical applications in 3.4.1 – 3.4.3.

For an open set $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ (or $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$ ) we call a sequence $\left(\Omega_n\right){n \in \mathbb{N}}$ an open and relatively compact exhaustion of $\Omega$ if each $\Omega_n$ is open and relatively compact, $\bar{\Omega}_n \subset \Omega{n+1}$, and $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \Omega_n=\Omega$. Then every compact subset of $\Omega$ is contained in some $\Omega_n$. The space of holomorohic functions on $\Omega$ is denoted by $\mathscr{H}(\Omega)$.

Theorem 3.4.1 Let $\left(\Omega_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ be an open and relatively compact exhaustion of $\Omega \subseteq \mathbb{C}$. Then the spectrum $\mathscr{X}$ consisting of the spaces $X_n=\mathscr{H}\left(\Omega_n\right)$ and the restriction maps $\varrho_m^n$ satisfies $\operatorname{Proj} \mathscr{X} \cong \mathscr{H}(\Omega)$ and $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$.

Proof. For each $n \in \mathbb{N}$ choose a compact set $K_n \subset \Omega$ with $\bar{\Omega}n \subset K_n$ such that each component $A_i$ of the complement of $K_n$ taken in the extended complex plane contains a point $\alpha_i$ in the complement of $\Omega$. We fix $m \geq n$ such that $K_n \subset \Omega_m$. If $f \in \mathscr{H}\left(\Omega_m\right)$ and $\varepsilon>0$ are given there is a rational function $r$ with poles only in $\left{\alpha_i\right}$ (in particular, $r \in \mathscr{H}(\Omega)$ ) such that $|f-r|{K_n}=$ $\sup _{z \in{ }^{\prime}}|f(z)-r(z)| \leq \varepsilon$. $z \in K_n$
We endow $\mathscr{H}\left(\Omega_n\right)$ with its usual Fréchet space topology of uniform convergence on compact subsets. For any $U \in \mathscr{U}_0\left(\mathscr{H}\left(\Omega_n\right)\right)$ there are a compact set $M \subset \Omega_n \subset K_n$ and $\varepsilon>0$ such that $\left{f \in \mathscr{H}\left(\Omega_n\right):|f|_M \leq \varepsilon\right} \subseteq U$. Hence, the consequence of Runge’s theorem given above shows $\varrho_m^n\left(X_m\right) \subseteq$ $\varrho^n(\operatorname{Proj} \mathscr{X})+U$. Theorem 3.2.1 implies $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$.

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|The Mittag-Leffler theorem

If $\Omega$ is an open subset of $\mathbb{C},\left(z_k\right){k \in \mathbb{N}} \in \Omega^{\mathbb{N}}$ a sequence without accumulation point in $\Omega$ and $p_k(z)=\sum{l=1}^{m_k} \frac{c_{l, k}}{\left(z-z_k\right)^r}$ a sequence of principal parts there is a meromorphic function in $\Omega$ with poles only in $\left{z_k: k \in \mathbb{N}\right}$ and having the principal parts $p_k$ in $z_k$.

This problem is localized by choosing an open and relatively compact exhaustion $\Omega_n$ of $\Omega_n$. With $X_n=H\left(\Omega_n\right), Y_n$ the space of meromorphic functions on $\Omega_n$ with poles only in $\left{z_k: k \in \mathbb{N}\right}$ (there are only finitely many $z_k$ in $\Omega_n$ since this set is relatively compact and $\left(z_k\right)_{k \in \mathbb{N}}$ has no accumulation point) and $Z_n$ the image of the assignment of the principal parts to a function in $Y_n$ we obtain with the restictions as spectral mappings an exact sequence $0 \rightarrow \mathscr{X} \rightarrow \mathscr{Y} \rightarrow \mathscr{Z} \rightarrow 0$ of projective spectra.

Since $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$ we obtain that $0 \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{X} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Y} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Z} \rightarrow 0$ is exact which is the assertion of the Mittag-Leffler theorem.

Let $\Omega_1$ and $\Omega_2$ be open subsets of $\mathbb{C}$ and $\varphi \in H(\Omega)$ with $\Omega=\Omega_1 \cap \Omega_2$. Then there are $\varphi_j \in H\left(\Omega_j\right)$ with $\varphi=\left.\varphi_1\right|{\Omega}-\left.\varphi_2\right|{\Omega}$.

To localize this problem we choose open and relatively compact exhaustions $\Omega_{j, n}$ of $\Omega_j$ and set $Z_n=H\left(\tilde{\Omega}n\right)$ with $\tilde{\Omega}_n=\Omega{1, n} \cap \Omega_{2, n}, Y_n=$ $H\left(\Omega_{1, n}\right) \times H\left(\Omega_{2, n}\right)$ and $X_n=H\left(\Omega_{1, n} \cup \Omega_{2, n}\right)$. The spectral maps are again the (the product of the) restrictions. With $f_n: X_n \rightarrow Y_n, \varphi \mapsto\left(\left.\varphi\right|{\Omega{1, n}},\left.\varphi\right|{\Omega{2, n}}\right)$ and $g_n: Y_n \rightarrow Z_n,\left.\left(\varphi_1, \varphi_2\right) \mapsto \varphi_1\right|{\tilde{\Omega}_n}-\left.\varphi_2\right|{\tilde{\Omega}n}$ we obtain a complex $0 \rightarrow \mathscr{X} \rightarrow \mathscr{Y} \rightarrow \mathscr{Z} \rightarrow 0$ which is exact at $\mathscr{X}$ and $\mathscr{Y}$. The proof of the exactness at $\mathscr{Z}$ is as hard as the original problem but in view of 3.1 .8 we only need $\tau{n+1}^n\left(Z_{n+1}\right) \subseteq g_n\left(Y_n\right)$, i.e. $\left.\varphi\right|{\tilde{\Omega}_n}=\left.\varphi_1\right|{\tilde{\Omega}n}-\left.\varphi_2\right|{\tilde{\Omega}n}$ for $\varphi \in H\left(\tilde{\Omega}{n+1}\right)$ and this can be seen easily with the aid of Cauchy’s integral formula. Indeed, since $\bar{\Omega}{1, n} \cap \bar{\Omega}{2, n}$ is compact in $\tilde{\Omega}{n+1}$ there is a cycle $\Gamma$ in $\tilde{\Omega}{n+1} \backslash \bar{\Omega}{1, n} \cap \bar{\Omega}{2, n}$ such that $\varphi(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta$ holds for $z \in \bar{\Omega}{1, n} \cap \bar{\Omega}{2, n}$ and $\varphi \in H\left(\tilde{\Omega}{n+1}\right)$. If we decompose $\Gamma=\Gamma_1-\Gamma_2$ with cycles $\Gamma_j$ in $\tilde{\Omega}{n+1} \backslash \bar{\Omega}{n, j}$ we can solve this local problem with $\varphi_j(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int{\Gamma_j} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta$ for $z \in \Omega_{j, n}$.

As in the previous situation, the kenel spectrum $\mathscr{X}$ satisfies $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$ and we thus obtain the desired result. Usually, this special instance of the additive Cousin problem is solved using a $\mathscr{C}^{\infty}$-partition of unity to produce a decomposition with $\mathscr{C}^{\infty}$-functions and then one gets a holomorphic solution with the aid of the next example.

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Some Applications

在本节中，我们给出一些可以用局部化和投影函子来解决的满射问题的例子。下面龙格近似定理的结论是3.4.1 – 3.4.3经典应用的基础。

对于开放集$\Omega \subseteq \mathbb{C}$(或$\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$)，我们将序列$\left(\Omega_n\right){n \in \mathbb{N}}$称为$\Omega$的开放和相对紧凑的耗尽，如果每个$\Omega_n$都是开放和相对紧凑的，$\bar{\Omega}n \subset \Omega{n+1}$和$\bigcup{n \in \mathbb{N}} \Omega_n=\Omega$。那么$\Omega$的每个紧子集都包含在某个$\Omega_n$中。$\Omega$上的全纯函数空间用$\mathscr{H}(\Omega)$表示。

定理3.4.1设$\left(\Omega_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$为$\Omega \subseteq \mathbb{C}$的一个开放且相对紧凑的穷尽。则由空间$X_n=\mathscr{H}\left(\Omega_n\right)$和约束映射$\varrho_m^n$组成的谱$\mathscr{X}$满足$\operatorname{Proj} \mathscr{X} \cong \mathscr{H}(\Omega)$和$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$。

证明。对于每个$n \in \mathbb{N}$选择一个紧集$K_n \subset \Omega$和$\bar{\Omega}n \subset K_n$，使得在扩展复平面上取的$K_n$的补集的每个分量$A_i$在$\Omega$的补集中包含一个点$\alpha_i$。我们修复$m \geq n$这样$K_n \subset \Omega_m$。如果给出$f \in \mathscr{H}\left(\Omega_m\right)$和$\varepsilon>0$，则只有在$\left{\alpha_i\right}$(特别是$r \in \mathscr{H}(\Omega)$)中有极点的有理函数$r$，使得$|f-r|{K_n}=$$\sup _{z \in{ }^{\prime}}|f(z)-r(z)| \leq \varepsilon$。$z \in K_n$
我们赋予$\mathscr{H}\left(\Omega_n\right)$在紧子集上一致收敛的通常的fr空间拓扑结构。对于任何$U \in \mathscr{U}_0\left(\mathscr{H}\left(\Omega_n\right)\right)$都有一个紧集$M \subset \Omega_n \subset K_n$和$\varepsilon>0$，使得$\left{f \in \mathscr{H}\left(\Omega_n\right):|f|_M \leq \varepsilon\right} \subseteq U$。因此，上面给出的龙格定理的结论是$\varrho_m^n\left(X_m\right) \subseteq$$\varrho^n(\operatorname{Proj} \mathscr{X})+U$。定理3.2.1推导出$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$。

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|The Mittag-Leffler theorem

如果$\Omega$是$\mathbb{C},\left(z_k\right){k \in \mathbb{N}} \in \Omega^{\mathbb{N}}$序列的开子集($\Omega$中没有累加点)和$p_k(z)=\sum{l=1}^{m_k} \frac{c_{l, k}}{\left(z-z_k\right)^r}$序列的主成分(主成分)，则在$\Omega$中存在一个亚纯函数，在$\left{z_k: k \in \mathbb{N}\right}$中只有极点，在$z_k$中有主成分($p_k$)。

这个问题可以通过选择一个开放的和相对紧凑的耗尽来局部化 $\Omega_n$ 的 $\Omega_n$．与 $X_n=H\left(\Omega_n\right), Y_n$ 上亚纯函数的空间 $\Omega_n$ 只有在 $\left{z_k: k \in \mathbb{N}\right}$ (只有有限的几个 $z_k$ 在 $\Omega_n$ 因为这个集合是相对紧凑的 $\left(z_k\right)_{k \in \mathbb{N}}$ 没有累积点)和 $Z_n$ 中函数的主要部分赋值的图象 $Y_n$ 我们用谱映射的形式得到了一个精确序列 $0 \rightarrow \mathscr{X} \rightarrow \mathscr{Y} \rightarrow \mathscr{Z} \rightarrow 0$ 射影光谱。

因为$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$我们得到$0 \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{X} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Y} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Z} \rightarrow 0$是精确的这是Mittag-Leffler定理的断言。

设$\Omega_1$和$\Omega_2$为$\mathbb{C}$和$\varphi \in H(\Omega)$的开放子集，并使用$\Omega=\Omega_1 \cap \Omega_2$。然后是$\varphi_j \in H\left(\Omega_j\right)$和$\varphi=\left.\varphi_1\right|{\Omega}-\left.\varphi_2\right|{\Omega}$。

为了解决这个问题，我们选择$\Omega_j$的开放和相对紧凑的耗尽$\Omega_{j, n}$，并将$Z_n=H\left(\tilde{\Omega}n\right)$设置为$\tilde{\Omega}n=\Omega{1, n} \cap \Omega{2, n}, Y_n=$$H\left(\Omega_{1, n}\right) \times H\left(\Omega_{2, n}\right)$和$X_n=H\left(\Omega_{1, n} \cup \Omega_{2, n}\right)$。谱图也是(约束的乘积)。通过$f_n: X_n \rightarrow Y_n, \varphi \mapsto\left(\left.\varphi\right|{\Omega{1, n}},\left.\varphi\right|{\Omega{2, n}}\right)$和$g_n: Y_n \rightarrow Z_n,\left.\left(\varphi_1, \varphi_2\right) \mapsto \varphi_1\right|{\tilde{\Omega}n}-\left.\varphi_2\right|{\tilde{\Omega}n}$，我们得到了一个精确于$\mathscr{X}$和$\mathscr{Y}$的复合体$0 \rightarrow \mathscr{X} \rightarrow \mathscr{Y} \rightarrow \mathscr{Z} \rightarrow 0$。在$\mathscr{Z}$的准确性证明与原来的问题一样困难，但鉴于3.1 .8，我们只需要$\tau{n+1}^n\left(Z{n+1}\right) \subseteq g_n\left(Y_n\right)$，即$\varphi \in H\left(\tilde{\Omega}{n+1}\right)$的$\left.\varphi\right|{\tilde{\Omega}n}=\left.\varphi_1\right|{\tilde{\Omega}n}-\left.\varphi_2\right|{\tilde{\Omega}n}$，这可以很容易地看到，借助柯西积分公式。的确，因为$\bar{\Omega}{1, n} \cap \bar{\Omega}{2, n}$在$\tilde{\Omega}{n+1}$中是紧凑的，所以$\tilde{\Omega}{n+1} \backslash \bar{\Omega}{1, n} \cap \bar{\Omega}{2, n}$中有一个$\Gamma$循环，使得$\varphi(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int{\Gamma} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta$适用于$z \in \bar{\Omega}{1, n} \cap \bar{\Omega}{2, n}$和$\varphi \in H\left(\tilde{\Omega}{n+1}\right)$。如果我们将$\Gamma=\Gamma_1-\Gamma_2$分解为$\tilde{\Omega}{n+1} \backslash \bar{\Omega}{n, j}$中的$\Gamma_j$循环，我们就可以用$\varphi_j(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int{\Gamma_j} \frac{\varphi(\zeta)}{\zeta-z} d \zeta$求解$z \in \Omega_{j, n}$的局部问题。

与前一种情况一样，狗狗谱$\mathscr{X}$满足$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$，因此我们得到了期望的结果。通常，这种特殊的可加性表兄问题的实例是用$\mathscr{C}^{\infty}$ -单位分割得到$\mathscr{C}^{\infty}$ -函数的分解，然后借助下一个例子得到全纯解。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。