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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|TMA4230

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Surjectivity of $P(D)$ on $\mathscr{C}^{\infty}(\Omega)$

Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{R}^d, P$ a non-zero polynomial in $d$ variables and $D=\left(-i \frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots,-i \frac{\partial}{\partial x_d}\right)$. Surjectivity of $P(D): \mathscr{C}^{\infty}(\Omega) \rightarrow \mathscr{C}^{\infty}(\Omega)$ has been charaterized by Malgrange [44].

The localization of the problem is obtained precisely as for the $\bar{\partial}$-operator by multiplying $f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_{n+1}\right)$ with a cut-off function and forming the convolution with a fundamental solution $E$ of the operator. The difference to the previous examples is that the kernel spectrum formed by the spaces $X_n=\left{f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_n\right): P(D) f=0\right}$ need not automatically satisfy $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$. From the characterization in theorem 3.2 .8 we get $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{Y}=0$ where $\mathscr{Y}$ consists of the spaces $\mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_n\right)$ and the restrictions and using the exact sequence
$$
0 \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{X} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Y} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Z} \rightarrow \operatorname{Proj}^1 \mathscr{X} \rightarrow \operatorname{Proj}^1 \mathscr{Y}
$$
from corollary 3.1 .5 we deduce that surjectivity of $P(D)$ on $\mathscr{C}^{\infty}(\Omega)$ is equivalent to $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$.

We claim that the condition of 3.2 .1 (which by 3.2 .8 characterizes the vanishing of $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}$ ) holds if and only if $\Omega$ is $P$-convex for supports, i.e. for each compact set $K \subset \Omega$ and each $p \in \mathbb{N}$ there is another compact set $K^{\prime} \subset \Omega$ such that each $\mu \in \mathscr{E}^{\prime}(\Omega)=\mathscr{C}^{\infty}(\Omega)^{\prime}$ with $P(-D) \mu$ having order less than $p$ and support in $K$ satisfies $\operatorname{supp} \mu \subseteq K^{\prime}$.

Indeed, given $n \in \mathbb{N}$ and $U \in \mathscr{U}0\left(X_n\right)$ there are a compact set $K$ and $p \in \mathbb{N}$ such that $U$ contains $\left{f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_n\right): \sum{|\alpha| \leq p}\left|D^\alpha f\right|_K<\varepsilon\right}$ for some $\varepsilon>0$. We choose $m>n$ such that $K^{\prime} \subset \Omega_m$ and any $k>m$. Given $\nu \in\left(\varrho_k^n\left(X_k\right)+U\right)^{\circ}$ the distribution $\mu=\breve{E} * \nu \in \mathscr{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}^d\right)$ has support in $\bar{\Omega}_k$ (since for a test function $\varphi$ with $\operatorname{supp} \varphi \cap \bar{\Omega}_k=\emptyset$ we have $\mu(\varphi)=\nu * \breve{E}(\varphi)=\nu(E * \varphi)=0$ as $E * \varphi \in X_k$ and $\left.\nu \in \varrho_k^n\left(X_k\right)^{\circ}\right)$. In particular, $\mu \in \mathscr{E}^{\prime}(\Omega)$ and $P$-convexity implies supp $\mu \in \Omega_n$ which yields $\nu(f)=P(-D) \mu(f)=\mu(P(D) f)=0$ for $f \in \varrho_m^n\left(X_m\right)$, hence $\nu \in \varrho_m^n\left(X_m\right)^{\circ}$ and the theorem of bipolars gives
$$
\varrho_m^n\left(X_m\right) \subseteq \overline{\varrho_k^n\left(X_k\right)+U} \subseteq \varrho_k^n\left(X_k\right)+2 U
$$

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Differential operators for ultradifferentiable functions of Roumieu type

We will now explain how theorem 3.2 .18 and its variant corollary 3.3 .11 simplify considerably arguments of Braun, Meise, and Vogt [16, 18], Braun [14], and Langenbruch [41] used for the characterization of surjective partial differential operators on spaces of Roumieu type (sufficiency of conditions $\left(P_2\right)$ and $\left(P_2^{\star}\right)$ was only proved in 1996 [69] after the above mentionned articles appeared).

To define ultradifferentiable functions we follow Braun, Meise, and Taylor [15] and call an increasing continuous function $\omega:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ a weight function if for some constant $C$
$(\alpha) \omega(2 t) \leq C(1+\omega(t))$,
( $\beta) \int_0^{\infty} \frac{\omega(t)}{1+t^2} d t<\infty$, ( $\gamma) \lim {t \rightarrow \infty} \frac{\log t}{\omega(t)}=0$, and $(\delta) \varphi(t)=\omega(\exp (t))$ is convex. $\omega$ is extended to $\mathbb{C}^d$ by $\omega(z)=\omega(|z|)$ (where $|z|$ is the euclidean norm). The Young conjugate $\varphi^:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ of $\varphi$ is defined by $$ \varphi^(y)=\sup {x \geq 0} x y-\varphi(x) .
$$
For a compact set $K \subset \mathbb{R}^d$ we set
$$
\begin{gathered}
J(K)=\left{f=\left(f_\alpha\right){\alpha \in \mathbb{N}_0^d} \in \mathscr{C}(K)^{\mathbb{N}_0^d}:\left.f\alpha\right|K \in \mathscr{C}^{\infty}(\stackrel{\circ}{K}),\left.f\alpha\right|K ^{\circ}=\left.\partial^\alpha f_0\right|_K\right}, \ |f|{K, N}=\sup {\alpha \in \mathbb{N}_0^d} \sup {x \in K}\left|f_\alpha(x)\right| \exp \left(-\varphi^*(|\alpha| N) / N\right) \text { for } f \in J(K),
\end{gathered}
$$
(here $|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_d$ denotes the length of the multi-index which hardly can be confused with the euclidean norm),
$$
\mathscr{E}{{\omega}}(K)=\left{f \in J(K): \exists N \in \mathbb{N} \quad|f|{K, N}<\infty\right},
$$
and for an open set $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ we finally get the space of ultradifferentiable functions on $\Omega$
$$
\mathscr{E}{{\omega}}(\Omega)=\left{f \in \mathscr{C}^{\infty}(\Omega):\left(\left.\partial^\alpha f\right|_K\right){\alpha \in \mathbb{N}0^d} \in \mathscr{E}{{\omega}}(K) \text { for all } K \subset \Omega \text { compact }\right}
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Surjectivity of $P(D)$ on $\mathscr{C}^{\infty}(\Omega)$

设$\Omega$是$\mathbb{R}^d, P$的一个开放子集，是$d$变量和$D=\left(-i \frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots,-i \frac{\partial}{\partial x_d}\right)$的一个非零多项式。$P(D): \mathscr{C}^{\infty}(\Omega) \rightarrow \mathscr{C}^{\infty}(\Omega)$的满性已被Malgrange表征[44]。

与$\bar{\partial}$ -算子一样，将$f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_{n+1}\right)$与截断函数相乘，与算子的基本解$E$形成卷积，精确地得到了问题的局部化。与前面示例的不同之处在于，由空格$X_n=\left{f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_n\right): P(D) f=0\right}$形成的核谱不必自动满足$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$。从定理3.2 .8中的表征，我们得到$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{Y}=0$，其中$\mathscr{Y}$由空间$\mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_n\right)$和限制组成，并使用精确的序列
$$
0 \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{X} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Y} \rightarrow \operatorname{Proj} \mathscr{Z} \rightarrow \operatorname{Proj}^1 \mathscr{X} \rightarrow \operatorname{Proj}^1 \mathscr{Y}
$$
从推论3.1 .5我们推导出$P(D)$在$\mathscr{C}^{\infty}(\Omega)$上的满射等价于$\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}=0$。

我们声称3.2 .1的条件(由3.2 .8来表征 $\operatorname{Proj}^1 \mathscr{X}$ )当且仅当成立 $\Omega$ 是 $P$-凸的支持，即每个紧集 $K \subset \Omega$ 每一个 $p \in \mathbb{N}$ 还有另一个紧凑的集合 $K^{\prime} \subset \Omega$ 这样每一个 $\mu \in \mathscr{E}^{\prime}(\Omega)=\mathscr{C}^{\infty}(\Omega)^{\prime}$ 有 $P(-D) \mu$ 有序度小于 $p$ 支持 $K$ 满足 $\operatorname{supp} \mu \subseteq K^{\prime}$．

事实上，给定$n \in \mathbb{N}$和$U \in \mathscr{U}0\left(X_n\right)$，就会有一个紧凑的集合$K$和$p \in \mathbb{N}$，使得$U$包含一些$\varepsilon>0$的$\left{f \in \mathscr{C}^{\infty}\left(\Omega_n\right): \sum{|\alpha| \leq p}\left|D^\alpha f\right|_K<\varepsilon\right}$。我们选择$m>n$使得$K^{\prime} \subset \Omega_m$和任何$k>m$。对于$\nu \in\left(\varrho_k^n\left(X_k\right)+U\right)^{\circ}$，发行版$\mu=\breve{E} * \nu \in \mathscr{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}^d\right)$在$\bar{\Omega}_k$中有支持(因为对于含有$\operatorname{supp} \varphi \cap \bar{\Omega}_k=\emptyset$的测试函数$\varphi$，我们将$\mu(\varphi)=\nu * \breve{E}(\varphi)=\nu(E * \varphi)=0$作为$E * \varphi \in X_k$和$\left.\nu \in \varrho_k^n\left(X_k\right)^{\circ}\right)$。特别地，$\mu \in \mathscr{E}^{\prime}(\Omega)$和$P$ -凸性暗示了$\mu \in \Omega_n$，它为$f \in \varrho_m^n\left(X_m\right)$产生$\nu(f)=P(-D) \mu(f)=\mu(P(D) f)=0$，因此$\nu \in \varrho_m^n\left(X_m\right)^{\circ}$和双极定理给出
$$
\varrho_m^n\left(X_m\right) \subseteq \overline{\varrho_k^n\left(X_k\right)+U} \subseteq \varrho_k^n\left(X_k\right)+2 U
$$

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Differential operators for ultradifferentiable functions of Roumieu type

现在，我们将解释定理3.2 .18及其变体推论3.3 .11如何大大简化了Braun、Meise和Vogt[16,18]、Braun[14]和Langenbruch[41]用于Roumieu型空间上满射偏微分算子表征的论证(条件的充分性$\left(P_2\right)$和$\left(P_2^{\star}\right)$直到1996年才在上述文章出现后得到证明[69])。

为了定义超可微函数，我们遵循Braun, Meise, and Taylor[15]，将一个递增的连续函数$\omega:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$称为权函数，如果对于某个常数$C$
$(\alpha) \omega(2 t) \leq C(1+\omega(t))$，
($\beta) \int_0^{\infty} \frac{\omega(t)}{1+t^2} d t<\infty$， ($\gamma) \lim {t \rightarrow \infty} \frac{\log t}{\omega(t)}=0$，和$(\delta) \varphi(t)=\omega(\exp (t))$)是凸的。$\omega$被$\omega(z)=\omega(|z|)$扩展为$\mathbb{C}^d$(其中$|z|$是欧几里得范数)。$\varphi$的Young共轭$\varphi^:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$由$$ \varphi^(y)=\sup {x \geq 0} x y-\varphi(x) .
$$定义
对于紧集$K \subset \mathbb{R}^d$，我们设
$$
\begin{gathered}
J(K)=\left{f=\left(f_\alpha\right){\alpha \in \mathbb{N}0^d} \in \mathscr{C}(K)^{\mathbb{N}_0^d}:\left.f\alpha\right|K \in \mathscr{C}^{\infty}(\stackrel{\circ}{K}),\left.f\alpha\right|K ^{\circ}=\left.\partial^\alpha f_0\right|_K\right}, \ |f|{K, N}=\sup {\alpha \in \mathbb{N}_0^d} \sup {x \in K}\left|f\alpha(x)\right| \exp \left(-\varphi^*(|\alpha| N) / N\right) \text { for } f \in J(K),
\end{gathered}
$$
(这里$|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_d$表示多指标的长度，很难与欧几里得范数混淆)，
$$
\mathscr{E}{{\omega}}(K)=\left{f \in J(K): \exists N \in \mathbb{N} \quad|f|{K, N}<\infty\right},
$$
对于开集$\Omega \subset \mathbb{R}^d$我们最终得到了上的超可微函数的空间 $\Omega$
$$
\mathscr{E}{{\omega}}(\Omega)=\left{f \in \mathscr{C}^{\infty}(\Omega):\left(\left.\partial^\alpha f\right|_K\right){\alpha \in \mathbb{N}0^d} \in \mathscr{E}{{\omega}}(K) \text { for all } K \subset \Omega \text { compact }\right}
$$

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。