物理代考| Hamiltonian 量子力学代写
物理代写
6.1 Hamiltonian
The classical hamiltonian for a charged particle in an electromagnetic field with vector and scalar potentials $(\vec{A}, \Phi)$ is given by
$$
H=\frac{1}{2 m}[\vec{p}-e \vec{A}(\vec{x}, t)]^{2}+e \Phi(\vec{x}, t)
$$
We shall justify this by showing that the classical Hamilton’s equations produce the Lorentz force on the particle
$$
\vec{F}=e(\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B}) \quad ; \text { Lorentz force }
$$
Hamilton’s equations read
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{d x_{i}}{d t} \quad ; i=1,2,3 \
&\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=-\frac{d p_{i}}{d t}
\end{aligned}
$$
The first of Hamilton’s equations expresses the particle velocity as
$$
v_{i}=\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{1}{m}[\vec{p}-e \vec{A}(\vec{x}, t)]{i} $$ Differentiation of this relation gives $$ \frac{d p{i}}{d t}=m \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+e \frac{d A_{i}(\vec{x}, t)}{d t}
$$
The second of Hamilton’s equations then yields the force on the particle through $^{3}$
$$
\begin{aligned}
m \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} &=-e \frac{d A_{i}(\vec{x}, t)}{d t}-\frac{\partial H}{\partial x_{i}} \
&=-e\left[\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}} v_{j}+\frac{\partial A_{i}}{\partial t}\right]+e\left[v_{j} \frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}\right]-e \frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}} \
&=e E_{i}+e v_{j}\left[\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\right]
\end{aligned}
$$
where the electric field $\vec{E}$ receives a contribution from both potentials
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \Phi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$
${ }^{3}$ We use our convention that repeated Latin indices a Quantum Electrodynamics
47
Now use the vector manipulations
$$
\begin{aligned}
{[\vec{v} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A})]{i} } &=\varepsilon{i j k} v_{j}(\vec{\nabla} \times \vec{A}){k}=\varepsilon{i j k} \varepsilon_{k l m} v_{j} \frac{\partial A_{m}}{\partial x_{l}} \
&=\left[\delta_{i l} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j l}\right] v_{j} \frac{\partial A_{m}}{\partial x_{l}} \
&=v_{j}\left[\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\right]
\end{aligned}
$$
The magnetic field $\vec{B}$ is obtained from the vector potential through
$$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$
Hamilton’s equations then reproduce the Lorentz force equation
$$
\vec{F}=e(\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B}) \quad ; \text { Lorentz force }
$$
物理代考
6.1 哈密顿量
具有矢量和标量势 $(\vec{A}, \Phi)$ 的电磁场中带电粒子的经典哈密顿量由下式给出
$$
H=\frac{1}{2 m}[\vec{p}-e \vec{A}(\vec{x}, t)]^{2}+e \Phi(\vec{x}, t )
$$
我们将通过证明经典汉密尔顿方程在粒子上产生洛伦兹力来证明这一点
$$
\vec{F}=e(\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B}) \quad ; \text { 洛伦兹力 }
$$
汉密尔顿方程读
$$
\开始{对齐}
&\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{d x_{i}}{d t} \quad ;我=1,2,3 \
&\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=-\frac{d p_{i}}{d t}
\end{对齐}
$$
汉密尔顿方程中的第一个方程将粒子速度表示为
$$
v_{i}=\frac{d x_{i}}{dt}=\frac{1}{m}[\vec{p}-e \vec{A}(\vec{x}, t)]_ {一世}
$$
这种关系的微分给出
$$
\frac{d p_{i}}{dt}=m \frac{d^{2} x_{i}}{dt^{2}}+e \frac{d A_{i}(\vec{x} , t)}{dt}
$$
然后第二个 Hamilton 方程通过 $^{3}$ 产生粒子上的力
$$
\开始{对齐}
m \frac{d^{2} x_{i}}{dt^{2}} &=-e \frac{d A_{i}(\vec{x}, t)}{dt}-\frac{ \partial H}{\partial x_{i}} \
&=-e\left[\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}} v_{j}+\frac{\partial A_{i}}{\partial t}\right]+e \left[v_{j} \frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}\right]-e \frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}} \
&=e E_{i}+e v_{j}\left[\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{ j}}\右]
\end{对齐}
$$
其中电场 $\vec{E}$ 接收来自两个电位的贡献
$$
\vec{E}=-\vec{\nabla} \Phi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$
${ }^{3}$ 我们使用我们的约定，即重复拉丁索引 a Quantum Electrodynamics
47
现在使用矢量操作
$$
\开始{对齐}
{[\vec{v} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A})]{i} } &=\varepsilon{ijk} v_{j}(\vec{\nabla} \times \vec{A}){k}=\varepsilon{ijk} \varepsilon_{klm} v_{j} \frac{\partial A_{m}}{\partial x_{l}} \
&=\left[\delta_{il} \delta_{jm}-\delta_{im} \delta_{jl}\right] v_{j} \frac{\partial A_{m}}{\partial x_{l} } \
&=v_{j}\left[\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\right]
\end{对齐}
$$
磁场 $\vec{B}$ 由矢量势通过
$$
\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
$$
汉密尔顿方程然后再现洛伦兹力方程
$$
\vec{F}=e(\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B}) \quad ; \text { 洛伦兹力 }
$$
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电磁学代考
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上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
