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代數數論Algebraic Number Theory 费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。
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数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考|Generalities
Let $L / K$ be a finite extension of degree $n$, and $\mathcal{O}L$ denote the integral closure of $\mathcal{O}_K$ in $L$. Then $\mathcal{O}_L$ is the valuation ring of $L$ for the unique extension of $v_K$ to $L$. Lemma 9.1.1. – Then ring $\mathcal{O}_L$ is a finite free $\mathcal{O}_K$-module of rank $n=[L: K]$. Proof. – For an element $x \in \mathcal{O}_L$, denote by $\bar{x}$ its image in $\mathcal{O}_L / \pi_K \mathcal{O}_L$. Choose a subset $\left{b_i: i \in I\right}$ of $\mathcal{O}_L$ such that $\left(\bar{b}_i\right){i \in I}$ is a basis of $\mathcal{O}L / \pi_K \mathcal{O}_L$ over the field $k=\mathcal{O}_K / \pi_K \mathcal{O}_K$. First, we claim that the $b_i$ ‘s with $i \in I$ are linearly independent over $K$. Indeed, if $\sum{i \in I} a_i b_i=0$ is non-trivial linear relation with $a_i \in K$. Up to multiplying a power of $\pi_K$, we may assume that each $a_i \in \mathcal{O}K$ and the reductions $\bar{a}_i \in k$ are not all zero. Then $\sum{i \in I} \bar{a}_i \bar{b}_i=0$ is a non-trivial linear relation of the $\bar{b}_i$ ‘s, which contradicts with the choice of $b_i$. This proves the claim, which implies immediately that $I$ is a finite set with cardinality at most $n$.
Secondly, we prove that the $b_i$ ‘s generate $\mathcal{O}L$ as an $\mathcal{O}_K$-module, i.e. $\mathcal{O}_L$ is a free $\mathcal{O}{K^{-}}$ module with basis $\left(b_i\right){i \in I}$. Indeed, for any $x \in \mathcal{O}_L$, there exists a $x_1 \in \mathcal{O}_L$ and $a_i^{(0)} \in \mathcal{O}_K$ such that $$ x=\sum{i \in I} a_i^{(0)} b_i+\pi_K x_1,
$$
since $\left(\bar{b}i\right){i \in I}$ form a $k$-basis of $\mathcal{O}L / \pi_K \mathcal{O}_L$. Repeating this process, we see that $x$ writes as $$ x=\sum{i \in I}\left(a_i^{(0)}+\pi_K a_i^{(1)}+\cdots+\pi_K^{n-1} a_i^{n-1}\right) b_i+\pi_K^n x_n .
$$
Since $\mathcal{O}L$ is complete, we get $x \in \sum{i \in I} b_i \mathcal{O}K$ by letting $n \rightarrow+\infty$. Note that for every $y \in L$, there exists $m \geq 1$ such that $\pi_K^m y \in \mathcal{O}_L$. Therefore, $\left(b_i\right){i \in I}$ is actually a basis of $L$ over $K$. Hence, $I$ has cardinality $n$.
数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考|Unramified extensions
If $\iota: L \hookrightarrow L^{\prime}$ is a $K$-embedding of two finite extensions of $K$, then $\iota$ sends $\mathcal{O}L$ into $\mathcal{O}{L^{\prime}}$ and $\mathfrak{m}L$ into $\mathfrak{m}{L^{\prime}}$ respectively, hence it induces an embedding of residues fields $k_L \hookrightarrow k_{L^{\prime}}$.
Theorem 9.2.1. – Assume $k^{\prime} / k$ is a finite separable extension. Then the following assertions hold:
(1) There exists an unramified extension $K^{\prime} / K$ with residue field $k^{\prime}$. Moreover, this extension is unique up to isomorphisms, and it is Galois if and only if $k^{\prime} / k$ is Galois.
(2) For any finite extension $L / K$ with residue field $k_L$, there exists a natural bijection (induced by reduction) between the set of $K$-embeddings of $K^{\prime}$ into $L$ and the set of $k$-embeddings of $k^{\prime}$ into $k_L$. In particular, if $k^{\prime} / k$ is Galois, we have $\operatorname{Gal}\left(K^{\prime} / K\right) \cong$ $\operatorname{Gal}\left(k^{\prime} / k\right)$.
Proof. – (1) We prove first the existence of $K^{\prime}$. We may assume that $k^{\prime} \cong k[x] /(\bar{f}(x))$ for some irreducible monic polynomial $\bar{f}(x) \in k[x]$ of degree $n$. Take a monic polynomial $f(x) \in \mathcal{O}K[x]$ of degree $n$ such that $f \bmod \mathfrak{m}_K=\bar{f}$. Then $f(x)$ is necessarily irreducible, and we claim that $K^{\prime}=K[x] /(f(x))$ satisfies the required property. Let $\alpha$ denote the image of $x$ in $K^{\prime}$, and $\bar{\alpha}$ be its reduction modulo $\mathfrak{m}_K$. First, we note that $v(\alpha)=0$, i.e. the image of $\alpha$ in the residue filed of $\mathcal{O}{K^{\prime}}$ is non-zero. Hence, the residue field of $K^{\prime}$ contains $k[\bar{\alpha}]=k^{\prime}$. Thus, we get $f\left(K^{\prime} \mid K\right) \geq n$. By Proposition 9.1.4, we see that $k_{K^{\prime}}=k^{\prime}$ and $e\left(K^{\prime} \mid K\right)=1$. Note that $1, \bar{\alpha}, \cdots, \bar{\alpha}^{n-1}$ are linearly independent over $k$. For rank reasons, we have
$$
\mathcal{O}{K^{\prime}} /\left(\pi_K\right) \cong \sum{i=1}^n k \bar{\alpha}^{i-1}
$$
代數數論代写
数学代写|代數數論代写ALGEBRAIC NUMBER THEORY代考|GENERALITIES
让 $L / K$ 是度的有限扩展 $n$ ，和 $\mathcal{O} L$ 表示 $\mathcal{O}K$ 在 $L$. 然后 $\mathcal{O}_L$ 是估值环 $L$ 为独特的延伸 $v_K$ 至 $L$. 引1理 9.1.1。 $-$ 然后响㸳 $\mathcal{O}_L$ 是有限自由 $\mathcal{O}_K$-排名模块 $n=[L: K]$. 证明。 先，我们声称 $b_i$ 与 $i \in I$ 线性独立于 $K$. 的确，如果 $\sum i \in I a_i b_i=0$ 是非平凡的线性关系 $a_i \in K$. 直到乘以的昌 $\pi_K$ ，我们可以假设每个 $a_i \in \mathcal{O} K$ 和减少 $\bar{a}_i \in k$ 不全 为零。然后 $\sum i \in I \bar{a}_i \bar{b}_i=0$ 是一个非平凡的线性关系 $\bar{b}_i$ 的，这与选择相矛盾 $b_i$. 这证明了这个说法，它立即意味着 $I$ 是一个至多具有基数的有限集 $n$. 其次，我们证明 $b_i$ 的生成 $\mathcal{O} L$ 作为 $\mathcal{O}_K$-模块，即 $\mathcal{O}_L$ 是免费的 $\mathcal{O} K^{-}$有甚础的模块 $\left(b_i\right) i \in I$. 的确，对于任何 $x \in \mathcal{O}_L$, 存在一个 $x_1 \in \mathcal{O}_L$ 和 $a_i^{(0)} \in \mathcal{O}_K$ 这样 $$ x=\sum i \in I a_i^{(0)} b_i+\pi_K x_1, $$ 自从 $(\bar{b} i) i \in I$ 形成一个 $k$ – 甚础 $\mathcal{O} L / \pi_K \mathcal{O}_L$. 重果这个过程，我们看到 $x$ 写成 $$ x=\sum i \in I\left(a_i^{(0)}+\pi_K a_i^{(1)}+\cdots+\pi_K^{n-1} a_i^{n-1}\right) b_i+\pi_K^n x_n . $$ 自从 $\mathcal{O} L$ 完成了，我们得到 $x \in \sum i \in I b_i \mathcal{O} K$ 通过让 $n \rightarrow+\infty$. 请注意，对于每个 $y \in L$ ，那里存在 $m \geq 1$ 这样 $\pi_K^m y \in \mathcal{O}_L$. 所以， $\left(b_i\right) i \in I$ 实际上是一个甚础 $L$ 超过 $K$. 因此，I有基数 $n$.
数学代写|代數數論代写ALGEBRAIC NUMBER THEORY代 考|UNRAMIFIED EXTENSIONS
如果 $\iota: L \hookrightarrow L^{\prime}$ 是一个 $K$-嵌入的两个有限扩展 $K$ ，然后 $L$ 犮送 $\mathcal{O} L$ 进入 $\mathcal{O} L^{\prime}$ 和 $\mathfrak{m} L$ 进入 $\mathfrak{m} L^{\prime}$ 分别，因此它引入了残差场的嵌入 $k_L \hookrightarrow k{L^{\prime}}$.
定理 9.2.1。-认为 $k^{\prime} / k$ 是有限可分扩张。那么以下断言成立:
1存在一个末分支的扩展 $K^{\prime} / K$ 有残差场 $k^{\prime}$. 此外，这个扩展对于同构是唯一的，并且它是 Galois 当且仅当 $k^{\prime} / k$ 是伽罗华。
2 对于任何有限扩展 $L / K$ 有残差场 $k_L$, 存在自然双射 inducedbyreduction之间的集合 $K$-嵌入 $K^{\prime}$ 进入 $L$ 和一组 $k$-嵌入 $k^{\prime}$ 进入 $k_L$. 特别是，如果 $k^{\prime} / k$ 是伽罗瓦，我们 有 $\operatorname{Gal}\left(K^{\prime} / K\right) \cong \operatorname{Gal}\left(k^{\prime} / k\right)$.
证明。 $-1$ 我们首先证明存在 $K^{\prime}$. 我们可以假设 $k^{\prime} \cong k[x] /(\bar{f}(x))$ 对于一些不可约的一元多项式 $\bar{f}(x) \in k[x]$ 学位 $n$. 取一元多项式 $f(x) \in \mathcal{O} K[x]$ 学位 $n$ 这样 $f \bmod \mathfrak{m}K=\bar{f}$.然后 $f(x)$ 必然是不可约的，我们声称 $K^{\prime}=K[x] /(f(x))$ 满足要求的性质。让 $\alpha$ 表示图像 $x$ 在 $K^{\prime}$ ，和 $\bar{\alpha}$ 是它的减少模数 $\mathfrak{m}_K$. 首先，我们注意到 $v(\alpha)=0$ ，即图像 $\alpha$ 在残留物中 $\mathcal{O} K^{\prime}$ 是非零的。因此，剩余域 $K^{\prime}$ 包含 $k[\bar{\alpha}]=k^{\prime}$. 因此，我们得到 $f\left(K^{\prime} \mid K\right) \geq n$. 根据命题 $9.1 .4$ ，我们看到 $k{K^{\prime}}=k^{\prime}$ 和 $e\left(K^{\prime} \mid K\right)=1$. 注意 $1, \bar{\alpha}, \cdots, \bar{\alpha}^{n-1}$ 线性独立于 $k$. 出于排名原因，我们有
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\mathcal{O} K^{\prime} /\left(\pi_K\right) \cong \sum i=1^n k \bar{\alpha}^{i-1}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
