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数学代考|Farkas’ Lemma and Alternative Systems 运筹学代写

运筹学(Operation)是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象,然后用像是统计、数学模型和算法等方法加以解决,以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。

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运筹学代写

We now present a theorem to check whether or not a feasible solution exists for constraint system (2.19). If one can find a single solution to meet all the constraints, then it is a “positive” certificate to prove the system feasible. The question is: how could we construct a “negative” certificate to prove the system infeasible?

Theorem (Farkas’Lemma) Let $\mathbf{A}$ be an $m \times n$ matrix and $\mathbf{b}$ an $m$-vector. The system of

We now present a theorem to check whether or not a feasible solution exists for constraint system (2.19). If one can find a single solution to meet all the constraints, then it is a “positive” certificate to prove the system feasible. The question is: how could we construct a “negative” certificate to prove the system infeasible?

Theorem (Farkas’ Lemma) Let A be an $m \times n$ matrix and $\mathbf{b}$ an $m$-vector. The system of constraints
(2.20) has a feasible solution $\mathbf{x}$ if and only if the system of constraints $$ -\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \geqslant \mathbf{0}, \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=1(\text { or }>0) $$ (2.21) has no feasible solution $\mathbf{y .}$. Therefore a single feasible establishes a certificate to prove system $(2.20)$ infeasible.
The two systems, $(2.20)$ and $(2.21)$, are called alternative systems: one of them is feasible and the other is infeasible.

Example 1 Let $1 \times 2$ matrix $\mathbf{A}=(1 \quad 1)$ and scalar $b=-1$. Then, $y=-1$ is feasible for system $(2.21)$, which proves that system $(2.20)$ is infeasible.
Before we prove the theorem, we first present a lemma.
Lemma 1 Let $C$ be the cone generated by the colums of matrix $\mathbf{A}$, that is,
$$
C=\left{\mathbf{A x} \in E^{m}: \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}\right}
$$
Then $C$ is a closed and comex set.
The definition of cone and conic combination can be found in Sect. A.3. We leave the proof of the lemma as an exercise, where the closeness proof needs to use Carathéodory’s theorem given in Sect. 2.4.

Proof of Farkas” Lemma Let system (2.20) have a feasible solution. say $\bar{x} .$ Then. system (2.21) must be infeasible, since, otherwise, we have a contradiction
$$
0<\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{y}^{T}(A \bar{x})=\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{x}\right) \overline{\mathbf{x}} \leq 0 $$ from $\overline{\mathbf{x}} \geq \mathbf{0}$ and $\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leq \mathbf{0}$. Now let system $(2.20)$ have no feasible solution, that is, $\mathbf{b} \notin C:={\mathbf{A x}: \mathbf{x} \geq \mathbf{0}}$. We now prove that its alternative system (2.21) must have a feasible solution. Since point $b$ is not in $C$ and $C$ is a closed and convex set, by the separating hyperplane theorem of Appendix $B$, there is $\mathbf{y}$ such that $$ \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}>\sup {\mathbf{c} \in C} \mathbf{y}^{T} \mathbf{c} $$ 2 Basic Properties of Linear Programs 34 But $\mathbf{c}=\mathbf{A x}$ for some $\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$, we have $$ \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}>\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}} \mathbf{y}^{T}(\mathbf{A x})=\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}}\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x} \text {. } $$ 1 , is positive, we can then choos $\bar{x}{1}=\alpha>0, \bar{x}{2}=\ldots=\bar{x}{n}=0$.
Then, from this choice we have
$$
\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}}\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x} \geq\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \overline{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right){1} \cdot \alpha
$$
and it tends to $\infty$ as $\alpha \rightarrow \infty$. This is a contradiction because $\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \overline{\mathbf{x}}$ should be bounded from above by inequality (2.22). Therefore, $\mathbf{y}$ identified in the separating hyperplane theorem is a feasible solution to system (2.21). Finally, one can always scale $\mathbf{y}$ such that $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=1$.

The geometric interpretation of the lemma is quite clear: if $\mathbf{b}$ is not in the closed and convex cone generated by the columns of matrix $\mathbf{A}$, then there must be a hyperplane separating $\mathbf{b}$ and the cone, and feasible solution $\mathbf{y}$ to the alternative system is the slope-vector of the hyperplane. There are also a number of variants of Farkas’ lemma. We present one below and will see more in Exercises.
Corollary 5 Let $\mathbf{A}$ be an $m \times n$ matrix and $\mathbf{c}$ an $n$-vector. The system of constraints
has a feasible solution $\mathbf{y}$ if and only if the system of constraints
$(2.23)$

数学代考|Operations Research运筹学代写

法卡斯证明“引理让系统 (2.20) 有一个可行的解决方案。说 $\bar{x} .$ 那么。系统 (2.21) 一定是不可行的,因为否则,我们有一个矛盾
$$
0<\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{y}^{T}(A \bar{x})=\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{x}\right) \overline{\mathbf{x}} \leq 0 $$ 从 $\overline{\mathbf{x}} \geq \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{y}^{ T} \mathbf{A} \leq \mathbf{0}$. 现在令系统 $(2.20)$ 没有可行解,即 $\mathbf{b} \notin C:={\mathbf{A x} : \mathbf{x} \geq \mathbf{0}}$。我们现在证明它的替代系统(2.21)必须有一个可行的解决方案。由于点$b$不在$C$中并且$C$是封闭的和凸集,由附录$B$的分离超平面定理,有$\mathbf{y}$使得$$ \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}>\sup { \mathbf{c} \in C} \mathbf{y}^{T} \mathbf{c} $$ 2 线性规划的基本性质 34 但是 $\mathbf{c}=\mathbf{A x}$ 对于一些 $ \mathbf{x} \geq \mathbf{0}$,我们有 $$ \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}>\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}} \mathbf{y}^{T}(\mathbf{A x})=\sup {\mathbf{x} \geq \ mathbf{0}}\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x} \text {. } $$ 1 是正数,我们可以选择 $\bar{x}{1}=\alpha>0, \bar{x}{2}=\ldots=\bar{x }{n}=0$。
那么,从这个选择我们有
$$
\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}}\左(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x} \geq\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \overline{\ mathbf{x}}=\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right){1} \cdot \alpha
$$
它倾向于 $ \infty$ 为 $\alpha \rightarrow \infty$。这是一个矛盾,因为 $\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \overline{\mathbf{x}}$ 应该从上面以不等式 (2.22) 为界。因此,分离超平面定理中识别的$\mathbf{y}$是系统(2.21)的可行解。最后,总是可以缩放 $\mathbf{y}$ 使得 $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=1$。

引理的几何解释很清楚:如果$\mathbf{b}$不在矩阵$\mathbf{A}$的列生成的闭凸锥内,那么一定有一个超平面分离$\mathbf{b}$ 和圆锥,替代系统的可行解 $\mathbf{y}$ 是超平面的斜率向量。 Farkas 引理也有许多变体。我们在下面介绍一个,并将在练习中看到更多。
推论 5 令 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵,$\mathbf{c}$ 是一个 $n$-向量。约束系统
有一个可行解 $\mathbf{y}$ 当且仅当约束系统
$(2.23)$

示例 1 令 $1 \times 2$ 矩阵 $\mathbf{A}=(1 \quad 1)$ 和标量 $b=-1$。那么,$y=-1$ 对系统 $(2.21)$ 是可行的,这就证明了系统 $(2.20)$ 是不可行的。
在证明定理之前,我们先给出一个引理。
引理 1令$C$为矩阵$\mathbf{A}$的列生成的圆锥,即
$$
C=\left{\mathbf{A x} \in E^{m} : \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}\right}
$$
那么$C$是闭集和comex集。
圆锥和圆锥组合的定义见Sect . A.3。我们将引理的证明留作练习,其中接近性证明需要使用 Sect 中给出的 Carathéodory 定理。 2.4.

法卡斯证明“引理让系统 (2.20) 有一个可行的解决方案。说 $\bar{x} .$ 那么。系统 (2.21) 一定是不可行的,因为否则,我们有一个矛盾
$$
0<\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{y}^{T}(A \bar{x})=\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{x}\right) \overline{\mathbf{x}} \leq 0 $$ 从 $\overline{\mathbf{x}} \geq \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{y}^{ T} \mathbf{A} \leq \mathbf{0}$. 现在令系统 $(2.20)$ 没有可行解,即 $\mathbf{b} \notin C:={\mathbf{A x} : \mathbf{x} \geq \mathbf{0}}$。我们现在证明它的替代系统(2.21)必须有一个可行的解决方案。由于点$b$不在$C$中并且$C$是封闭的和凸集,由附录$B$的分离超平面定理,有$\mathbf{y}$使得$$ \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}>\sup { \mathbf{c} \in C} \mathbf{y}^{T} \mathbf{c} $$ 2 线性规划的基本性质 34 但是 $\mathbf{c}=\mathbf{A x}$ 对于一些 $ \mathbf{x} \geq \mathbf{0}$,我们有 $$ \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}>\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}} \mathbf{y}^{T}(\mathbf{A x})=\sup {\mathbf{x} \geq \ mathbf{0}}\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x} \text {. } $$ 1 是正数,我们可以选择 $\bar{x}{1}=\alpha>0, \bar{x}{2}=\ldots=\bar{x }{n}=0$。
那么,从这个选择我们有
$$
\sup {\mathbf{x} \geq \mathbf{0}}\左(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \mathbf{x} \geq\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \overline{\ mathbf{x}}=\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right){1} \cdot \alpha
$$
它倾向于 $ \infty$ 为 $\alpha \rightarrow \infty$。这是一个矛盾,因为 $\left(\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}\right) \overline{\mathbf{x}}$ 应该从上面以不等式 (2.22) 为界。因此,分离超平面定理中识别的$\mathbf{y}$是系统(2.21)的可行解。最后,总是可以缩放 $\mathbf{y}$ 使得 $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=1$。

定理(法卡斯引理) 设 A 是一个 $m \times n$ 矩阵和 $\mathbf{b}$ 一个 $m$-向量。约束系统
(2.20) 有一个可行解 $\mathbf{x}$ 当且仅当约束系统 $$ -\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \geqslant \mathbf {0}, \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=1(\text { or }>0) $$ (2.21) 没有可行解 $\mathbf{y .}$。因此,一个可行的建立一个证书来证明系统 $(2.20)$ 不可行。
这两个系统,$(2.20)$ 和 $(2.21)$,被称为替代系统:一个是可行的,另一个是不可行。

示例 1 令 $1 \times 2$ 矩阵 $\mathbf{A}=(1 \quad 1)$ 和标量 $b=-1$。那么,$y=-1$ 对系统 $(2.21)$ 是可行的,这就证明了系统 $(2.20)$ 是不可行的。
在证明定理之前,我们先给出一个引理。
引理 1令$C$为矩阵$\mathbf{A}$的列生成的圆锥,即
$$
C=\left{\mathbf{A x} \in E^{m} : \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}\right}
$$
那么$C$是闭集和comex集。
圆锥和圆锥组合的定义见Sect . A.3。我们将引理的证明留作练习,其中接近性证明需要使用 Sect 中给出的 Carathéodory 定理。 2.4.

我们现在提出一个定理来检查约束系统(2.19)是否存在可行的解决方案。如果可以找到满足所有约束的单一解决方案,那么它就是证明系统可行的“肯定”证书。问题是:我们如何构造一个“否定”证书来证明系统不可行?

定理(法卡斯引理) 设 A 是一个 $m \times n$ 矩阵和 $\mathbf{b}$ 一个 $m$-向量。约束系统
(2.20) 有一个可行解 $\mathbf{x}$ 当且仅当约束系统 $$ -\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \geqslant \mathbf {0}, \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=1(\text { or }>0) $$ (2.21) 没有可行解 $\mathbf{y .}$。因此,一个可行的建立一个证书来证明系统 $(2.20)$ 不可行。
这两个系统,$(2.20)$ 和 $(2.21)$,被称为替代系统:一个是可行的,另一个是不可行。

定理 (Farkas’Lemma) 令 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵并且 $\mathbf{b}$ 是一个 $m$-向量。系统

我们现在提出一个定理来检查约束系统(2.19)是否存在可行的解决方案。如果可以找到满足所有约束的单一解决方案,那么它就是证明系统可行的“肯定”证书。问题是:我们如何构造一个“否定”证书来证明系统不可行?

我们现在提出一个定理来检查约束系统(2.19)是否存在可行的解决方案。如果可以找到满足所有约束的单一解决方案,那么它就是证明系统可行的“肯定”证书。问题是:我们如何构造一个“否定”证书来证明系统不可行?

定理 (Farkas’Lemma) 令 $\mathbf{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵并且 $\mathbf{b}$ 是一个 $m$-向量。系统

我们现在提出一个定理来检查约束系统(2.19)是否存在可行的解决方案。如果可以找到满足所有约束的单一解决方案,那么它就是证明系统可行的“肯定”证书。问题是:我们如何构造一个“否定”证书来证明系统不可行?

运筹学代考

数学代考|Operations Research运筹学代写

运筹学代写

网络流代写

统计推断代写

实分析代考

什么是运筹学代写

运筹学(OR)是一种解决问题和决策的分析方法,在组织管理中很有用。在运筹学中,问题被分解为基本组成部分,然后通过数学分析按定义的步骤解决。

运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤:

  • 确定需要解决的问题。
  • 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
  • 使用模型得出问题的解决方案。
  • 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
  • 实施解决实际问题的方法。

与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后,他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。

运筹学代写的三个特点

所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征:

  • 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
  • 模拟—— 这涉及构建模型,以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
  • 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险,做出有效的预测并测试可能的解决方法。

运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外,运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制,以确定哪些技术最适合解决问题。

运筹学可以应用于各种活动,比如:计划和时间管理(Planning and Time Management),城乡规划(Urban and Rural Planning),企业资源计划(ERP)与供应链管理(Supply Chain Management)等等。 如有代写代考需求,欢迎同学们联系Assignmentexpert™,我们期待为你服务!

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