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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|More Fundamental Groups
Although we have not given the most general form of the Seifert-Van Kampen Theorem, we can already use it to compute fundamental groups for quite a lot of spaces.
Example Let $X$ and $Y$ be two topological spaces, and let $x \in X$ and $y \in Y$ be points. We define their wedge sum $X \vee Y$ as follows: let $X \sqcup Y$ be the disjoint union of $X$ and $Y$. Define an equivalence relation $\sim$ on $X \sqcup Y$ by declaring that $x \sim y$, but all other points are only equivalent to themselves. Then we let $X \vee Y$ be $(X \sqcup Y) / \sim$ be the quotient space. (The wedge sum of two circles $\mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1$ above is a special case of this construction.) Intuitively, this means that we glue $X$ and $Y$ together at one point. More generally, if $\left{X_\alpha\right}_{\alpha \in A}$ is any (not necessarily finite) collection of topological spaces, and we declare basepoints $x_\alpha \in X_\alpha$ for each $\alpha \in A$, then we define their wedge sum $\bigvee_{\alpha \in A} X_\alpha$ to be the quotient space of $\bigsqcup X_\alpha$, modulo the equivalence relation that sets $x_\alpha \sim x_\beta$ for all $\alpha, \beta \in A$, but all other points are only equivalent to themselves.
We also need to know the topology on the wedge sum, i.e. the open sets. The topology we put on the wedge sum is the quotient topology as $\bigsqcup X_\alpha / \sim$. Assuming that the $X_\alpha$ ‘s are nice (in particular, Hausdorff; see Appendix A for a definition), this means the following: Around any point $x \in X_\alpha$ other than the basepoint, a small neighborhood around $x$ in $\bigvee_{\alpha \in A} X_\alpha$ is just a neighborhood in $X_\alpha$ not containing the basepoint $x_\alpha$, considered as a subset of the wedge sum. On the other hand, a neighborhood of the basepoint in the wedge sum is the union of neighborhoods around the basepoint in each $X_\alpha$.
Let $X$ and $Y$ be two spaces, and let $x$ be the point connecting $X$ and $Y$ in $X \vee Y$. Suppose that, in both $X$ and $Y, x$ has a contractible open neighborhood. (See the Nonexample below for a situation in which this fails to happen.) Let $A$ be an open set containing $X$ inside $X \vee Y$, which is homotopy equivalent to $X$, and similarly let $B$ be an open set containing $Y$ inside $X \vee Y$, which is homotopy equivalent to $Y$. Then $\pi_1(A, x) \cong \pi_1(X, x)$ and $\pi_1(B, x) \cong \pi_1(Y, x)$, so $\pi_1(X \vee Y, x) \cong \pi_1(A, x) *$ $\pi_1(B, x)$
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Seifert–Van Kampen Theorem: Second Version
In the previous sections, we presented a special case of the Seifert-Van Kampen Theorem in order to be able to compute fundamental groups of more complicated spaces when we are able to break these spaces down into simple “building blocks” whose fundamental groups we already understand. However, this special case is not yet sufficiently powerful to allow us compute the fundamental group of a very important topological space: the identification space of a compact surface without boundary. For this we will need a more general version of the Seifert-Van Kampen Theorem; once we have stated and proved this theorem, we will be able to apply it to the case of identification spaces. We will therefore be able to compute $\pi_1(S)$, where $S$ is any compact surface!
The generalization of the Seifert-Van Kampen Theorem that we will present addresses the case where $\pi_1(A \cap B)$ is non-trivial, where $A$ and $B$ are the building blocks whose union is the topological space of interest. The following theorem gives the result. But note that this is still not the most general version of the Seifert-Van Kampen Theorem!
Theorem 12.3 (Seifert-Van Kampen Theorem, Version 2) Let $X$ be a topological space with $X=A \cup B$, where $A$ and $B$ are open sets, and $A \cap B$ is nonempty and path-connected. Assume further that $B$ is simply connected (i.e. $\pi_1(B)$ is trivial). Then
$$
\pi_1(X) \cong \pi_1(A) / N
$$
where $N$ is the smallest normal subgroup containing the image of $\pi_1(A \cap B)$ under the homomorphism induced by the inclusion mapping $\iota: A \cap B \rightarrow A$.
We’ll sketch the proof of this theorem at the end of this chapter, after presenting examples of how this theorem can be applied to compute fundamental groups.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|MORE FUNDAMENTAL GROUPS
虽然我们还没有给出 Seifert-Van Kampen 定理的最一般形式，但我们已经可以用它来计算相当多空间的基本群。
例子让 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，令 $x \in X$ 和 $y \in Y$ 是点。我们定义他们的楔和 $X \vee Y$ 如下: 让 $X \sqcup Y$ 是不相交的联合 $X$ 和 $Y$. 定义等价关系 $~$ 在 $X \sqcup Y$ 通过声明 $x \sim y$, 但所有其他点只等同于它们自己。然后我们让 $X \vee Y$ 是 $(X \sqcup Y) / \sim$ 是商空间。
Thewedgesumoftwocircles\$ $\mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1$ \$aboveisaspecialcaseofthisconstruction. 直觉上，这意味着我们粘合 $X$ 和 $Y$ 在一起。更一般地，如果 \left[X_|alpha\right}_{\alpha \in A} 是任何notnecessarilyfinite拓扑空间的集合，我们声明基点 $x_\alpha \in X_\alpha$ 每个 $\alpha \in A$, 然后我们定义他们的楔和 $\bigvee_{\alpha \in A} X_\alpha$ 是商空间 $\sqcup X_\alpha$, 取模设定的等价关系 $x_\alpha \sim x_\beta$ 对全部 $\alpha, \beta \in A$, 但所有其他点只等同于它们自己。
我们还需要知道楔和上的拓扑结构，即开集。我们放在楔和上的拓扑是商拓扑 $X_\alpha / \sim$. 假设 $X_\alpha$ 很好 inparticular, Hausdorff; seeAppendix Aforadefinition，这意味着以下内容: 围绕任何点 $x \in X_\alpha$ 除了基点，周围的一个小社区 $x$ 在 $\bigvee_{\alpha \in A} X_\alpha$ 只是一个街区 $X_\alpha$ 不包含基点 $x_\alpha$ ，被视为楔和的子集。另一方面，楔和中基点的邻域是每个基点周围邻域的并集 $X_\alpha$.
让 $X$ 和 $Y$ 是两个空间，让 $x$ 成为连接点 $X$ 和 $Y$ 在 $X \vee Y$. 假设，在两个 $X$ 和 $Y, x$ 有一个可收缩的开放邻域。
Seethe Nonexamplebelow forasituationinwhichthisfailstohappen. 让 $A$ 是一个开集包含 $X$ 里面 $X \vee Y$, 同伦等价于 $X$, 同样让 $B$ 是一个开集 包含 $Y$ 里面 $X \vee Y$,同伦等价于 $Y$. 然后 $\pi_1(A, x) \cong \pi_1(X, x)$ 和 $\pi_1(B, x) \cong \pi_1(Y, x)$ ，所以 $\pi_1(X \vee Y, x) \cong \pi_1(A, x) * \pi_1(B, x)$
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE SEIFERT–VAN KAMPEN THEOREM: SECOND VERSION
在前面的部分中，我们介绍了 Seifert-Van Kampen 定理的一个特例，以便在我们能够将这些空间分解为简单的“构建块”时能够计算更 复杂空间的基本群理解。 然而，这种特殊情况还不足以让我们计算一个非常重要的拓扑空间的基本群: 无边界紧曲面的标识空间。 为此，我们需要一个更通用的 Seifert-Van Kampen 定理; 一旦我们陈述并证明了这个定理，我们就能够将它应用到识别空间的情呪。 因此，我们将能够计算 $\pi_1(S)$ ，在哪里 $S$ 是任何紧㴎的表面!
我们将介绍的 Seifert-Van Kampen 定理的推广解决了以下情况 $\pi_1(A \cap B)$ 是不平凡的，其中 $A$ 和 $B$ 是构建块，其联合是感兴趣的拓扑 空间。下面的定理给出了结果。但请注意，这仍然不是Seifert-Van Kampen 定理的最一般版本!
定理 12.3Seifert – VanKampenTheorem,Version2让 $X$ 是一个拓扑空间 $X=A \cup B$ ，在哪里 $A$ 和 $B$ 是开集，并且 $A \cap B$ 是非 空的并且是路径连通的。进一步假设 $B$ 简单地连接i.e. $\$ \pi_1\left(\right.$ Bistrivial) .Then $\pi_1(X) \cong \pi_1(A) / N$ where否 isthesmallestnormalsubgroupcontainingtheimageof $\backslash \mathrm{pi} 1 A \cap B$ underthehomomorphisminducedbytheinclusionmappingliota: A |cap B |rightarrow AS.
在给出如何应用该定理计算基本群的示例之后，我们将在本章末尾概述该定理的证明。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
