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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。
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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|FENCHEL DUALITY AND CONIC PROGRAMMING
Let us start from linear optimization problem:
$$
\begin{array}{ll}
& \min {x \in R^n}\langle c, x\rangle, \ \text { s.t } & A x=b, \ & x^{(i)} \geq 0, i=1 \ldots n, \quad\left(\Leftrightarrow x \in R{+}^n\right)
\end{array}
$$
where $A$ is an $(m \times n)$-matrix, $m<n$. The inequalities in this problem define the positive orthant in $R^n$. This set can be equipped with the following self-concordant barrier:
$$
F(x)=-\sum_{i=1}^n \ln x^{(i)}, \quad \nu=n,
$$
(see Example 4.2.1 and Theorem 4.2.2). This barrier is called the standard logarithmic barrier for $R_{+}^n$.
In order to solve the problem (4.3.2), we have to use a restriction of the barrier $F(x)$ onto affine subspace ${x: A x=b}$. Since this restriction is an $n$-self-concordant barrier (see Theorem 4.2.3), the complexity estimate for the problem (4.3.2) is $O\left(\sqrt{n} \cdot \ln \frac{n}{\epsilon}\right)$ iterations of a path-following scheme.
Let us prove that the standard logarithmic barrier is optimal for $R_{+}^n$.
Viewing this as a convex programming problem with the linear equality constraint $x_2=A x_1$, we obtain the dual function as
$$
\begin{aligned}
q(\lambda) & =\inf {x_1 \in \operatorname{dom}\left(f_1\right), x_2 \in \operatorname{dom}\left(f_2\right)}\left{f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right)+\lambda^{\prime}\left(x_2-A x_1\right)\right} \ & =\inf {x_1 \in \Re^n}\left{f_1\left(x_1\right)-\lambda^{\prime} A x_1\right}+\inf _{x_2 \in \Re^n}\left{f_2\left(x_2\right)+\lambda^{\prime} x_2\right} .
\end{aligned}
$$
The dual problem of maximizing $q$ over $\lambda \in \Re^m$, after a sign change to convert it to a minimization problem, takes the form
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{minimize} f_1^{\star}\left(A^{\prime} \lambda\right)+f_2^{\star}(-\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \Re^m,
\end{aligned}
$$
where $f_1^{\star}$ and $f_2^{\star}$ are the conjugate functions of $f_1$ and $f_2$. We denote by $f^$ and $q^$ the corresponding optimal primal and dual values.
The following Fenchel duality result is given as Prop. 5.3.8 in Appendix B. Parts (a) and (b) are obtained by applying Prop. 1.1.5(a) to problem (1.10), viewed as a problem with $x_2=A x_1$ as the only linear equality constraint. The first equation of part (c) is a consequence of Prop. 1.1.5(b). Its equivalence with the last two equations is a consequence of the Conjugate Subgradient Theorem (Prop. 5.4.3, App. B), which states that for a closed proper convex function $f$, its conjugate $f^$, and any pair of vectors $(x, y)$, we have $$ x \in \arg \min _{z \in \Re^n}\left{f(z)-z^{\prime} y\right} \quad \text { iff } y \in \partial f(x) \quad \text { iff } x \in \partial f^{\star}(y), $$ with all of these three relations being equivalent to $x^{\prime} y=f(x)+f^(y)$. Here $\partial f(x)$ denotes the subdifferential of $f$ at $x$ (the set of all subgradients at $f$ at $x$ ); see Section 5.4 of Appendix B.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Conic Programming
An important problem structure, which can be analyzed as a special case of the Fenchel duality framework is conic programming. This is the problem
$$
\begin{array}{ll}
\text { minimize } & f(x) \
\text { subject to } & x \in C
\end{array}
$$
where $f: \Re^n \mapsto(-\infty, \infty]$ is a closed proper convex function and $C$ is a closed convex cone in $\Re^n$.
Indeed, let us apply Fenchel duality with $A$ equal to the identity and the definitions
$$
f_1(x)=f(x), \quad f_2(x)= \begin{cases}0 & \text { if } x \in C \ \infty & \text { if } x \notin C .\end{cases}
$$
The corresponding conjugates are
$$
f_1^{\star}(\lambda)=\sup {x \in \Re^n}\left{\lambda^{\prime} x-f(x)\right}, \quad f_2^(\lambda)=\sup {x \in C} \lambda^{\prime} x= \begin{cases}0 & \text { if } \lambda \in C^, \ \infty & \text { if } \lambda \notin C^,\end{cases} $$ where $$ C^=\left{\lambda \mid \lambda^{\prime} x \leq 0, \forall x \in C\right}
$$
is the polar cone of $C$ (note that $f_2^{\star}$ is the support function of $C$; cf. Section 1.6 of Appendix B). The dual problem is
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f^{\star}(\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \hat{C} \text {, }
\end{aligned}
$$
where $f^{\star}$ is the conjugate of $f$ and $\hat{C}$ is the negative polar cone (also called the dual cone of $C$ ):
$$
\hat{C}=-C^=\left{\lambda \mid \lambda^{\prime} x \geq 0, \forall x \in C\right} $$ Note the symmetry between primal and dual problems. The strong duality relation $f^=q^$ can be written as $$ \inf {x \in C} f(x)=-\inf {\lambda \in C} f^(\lambda)
$$
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|FENCHEL DUALITY AND CONIC PROGRAMMING
让我们从线性优化问题开始:
$$
\begin{array}{ll}
& \min {x \in R^n}\langle c, x\rangle, \ \text { s.t } & A x=b, \ & x^{(i)} \geq 0, i=1 \ldots n, \quad\left(\Leftrightarrow x \in R{+}^n\right)
\end{array}
$$
其中$A$是$(m \times n)$ -矩阵，$m<n$。这个问题中的不等式定义了$R^n$中的正正交。本套可配备以下自和谐屏障:
$$
F(x)=-\sum_{i=1}^n \ln x^{(i)}, \quad \nu=n,
$$
(参见例4.2.1和定理4.2.2)。这个势垒称为$R_{+}^n$的标准对数势垒。
为了解决这个问题(4.3.2)，我们必须在仿射子空间${x: A x=b}$上使用屏障$F(x)$的限制。由于这个限制是一个$n$ -自协调障碍(参见定理4.2.3)，因此问题(4.3.2)的复杂性估计是路径跟踪方案的$O\left(\sqrt{n} \cdot \ln \frac{n}{\epsilon}\right)$迭代。
让我们证明标准对数势垒对于$R_{+}^n$是最优的。
将其视为一个具有线性等式约束$x_2=A x_1$的凸规划问题，得到对偶函数为
$$
\begin{aligned}
q(\lambda) & =\inf {x_1 \in \operatorname{dom}\left(f_1\right), x_2 \in \operatorname{dom}\left(f_2\right)}\left{f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_2\right)+\lambda^{\prime}\left(x_2-A x_1\right)\right} \ & =\inf {x_1 \in \Re^n}\left{f_1\left(x_1\right)-\lambda^{\prime} A x_1\right}+\inf {x_2 \in \Re^n}\left{f_2\left(x_2\right)+\lambda^{\prime} x_2\right} . \end{aligned} $$ 将$q$ / $\lambda \in \Re^m$最大化的对偶问题，在将其转换为最小化问题之后，采用如下形式 $$ \begin{aligned} & \operatorname{minimize} f_1^{\star}\left(A^{\prime} \lambda\right)+f_2^{\star}(-\lambda) \ & \text { subject to } \lambda \in \Re^m, \end{aligned} $$ 其中$f_1^{\star}$和$f_2^{\star}$是$f_1$和$f_2$的共轭函数。我们用$f^$和$q^$表示相应的最优原值和对偶值。 下面的Fenchel对偶结果如附录b中的Prop. 5.3.8所示。通过将Prop. 1.1.5(a)应用于问题(1.10)得到(a)和(b)部分，将问题(1.10)视为$x_2=A x_1$为唯一线性等式约束的问题。(c)部分的第一个方程是Prop. 1.1.5(b)的结果。它与前两个方程的等价性是共轭次梯度定理(Prop. 5.4.3, App. B)的结果，它表明对于一个闭固有凸函数$f$，它的共轭$f^$和任何向量对$(x, y)$，我们有$$ x \in \arg \min {z \in \Re^n}\left{f(z)-z^{\prime} y\right} \quad \text { iff } y \in \partial f(x) \quad \text { iff } x \in \partial f^{\star}(y), $$，所有这三个关系都等价于$x^{\prime} y=f(x)+f^(y)$。其中$\partial f(x)$表示$f$ at $x$的子微分($f$ at $x$的所有子梯度的集合);见附录B第5.4节。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Conic Programming
一个重要的问题结构是二次规划，它可以作为Fenchel对偶框架的一个特例来分析。这就是问题所在
$$
\begin{array}{ll}
\text { minimize } & f(x) \
\text { subject to } & x \in C
\end{array}
$$
其中$f: \Re^n \mapsto(-\infty, \infty]$为封闭固有凸函数，$C$为$\Re^n$中的封闭凸锥。
实际上，让我们用$A$等于恒等式和定义的芬切尔对偶
$$
f_1(x)=f(x), \quad f_2(x)= \begin{cases}0 & \text { if } x \in C \ \infty & \text { if } x \notin C .\end{cases}
$$
对应的共轭是
$$
f_1^{\star}(\lambda)=\sup {x \in \Re^n}\left{\lambda^{\prime} x-f(x)\right}, \quad f_2^(\lambda)=\sup {x \in C} \lambda^{\prime} x= \begin{cases}0 & \text { if } \lambda \in C^, \ \infty & \text { if } \lambda \notin C^,\end{cases} $$ where $$ C^=\left{\lambda \mid \lambda^{\prime} x \leq 0, \forall x \in C\right}
$$
为$C$的极锥(注意$f_2^{\star}$是$C$的支撑函数;参见附录B第1.6节)。双重问题是
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } f^{\star}(\lambda) \
& \text { subject to } \lambda \in \hat{C} \text {, }
\end{aligned}
$$
其中$f^{\star}$为$f$的共轭，$\hat{C}$为负极锥(也称为$C$的对偶锥):
$$
\hat{C}=-C^=\left{\lambda \mid \lambda^{\prime} x \geq 0, \forall x \in C\right} $$注意原始问题和对偶问题之间的对称性。强对偶关系$f^=q^$可以写成 $$ \inf {x \in C} f(x)=-\inf {\lambda \in C} f^(\lambda)
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
