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抽样调查Survey sampling是主流统计的边缘。这里的特殊之处在于，我们有一个具有某些特征的有形物体集合，我们打算通过抓住其中一些物体并试图对那些未被触及的物体进行推断来窥探它们。这种推论传统上是基于一种概率论，这种概率论被用来探索观察到的事物与未观察到的事物之间的可能联系。这种概率不被认为是在统计学中，涵盖其他领域，以表征我们感兴趣的变量的单个值之间的相互关系。但这是由调查抽样调查人员通过任意指定的一种技术从具有预先分配概率的对象群体中选择样本而创建的。
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统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Ratio- and Regression-Adjusted Estimators
Although an exact formula for $V_p\left(\bar{t}_R\right)$ based on SRSWOR, along with one for its unbiased estimator, is given in section 2.4 .1 , it is traditional to turn to their respective approximations
$$
\begin{aligned}
\bar{M}^{\prime} & =\frac{1-f}{n} \frac{1}{N-1} \sum_1^N\left(Y_i-R X_i\right)^2 \
v_0 & =\frac{1-f}{n} \frac{1}{n-1} \sum_s\left(Y_i-r X_i\right)^2 .
\end{aligned}
$$
J. N. K. RAO (1968, 1969) found empirically for $n \leq 12$ that $\Delta=\bar{M}^{\prime}-V_p\left(\bar{t}_R\right)<0$ for many actual populations, but later, WU and DENG (1983) found both positive and negative values of $\Delta$ for $n=32$, but none appreciably high in magnitude with more extensive empirical investigations. So it is considered adequate in practice to estimate $\bar{M}^\rho$ rather than $V_p\left(t_R\right)$ if $n$ is not too small.
Since $\bar{M}^{\prime} / \bar{X}^2$ is an approximation for $V_p(r)$ an estimator for it, in case $\bar{X}$ is unknown, is usually taken as
$$
v_0 / \bar{x}^2 \text {. }
$$
In case $X$ is known, an alternative customary estimator for $\bar{M}^{\prime}$ is therefore
$$
v_2=\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right)^2 v_0 .
$$
Wu (1982) suggests instead a ratio adjustment to $v_0$ to propose another alternative estimator for $\bar{M}^{\prime}$ as
$$
v_1=\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right) v_0
$$
and goes a step further to propose a class of estimators
$$
v_g=\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right)^g v_o
$$
统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Model-Derived and Jackknife Estimators
For a decisive choice among the estimators of $\bar{M}^{\prime}$ keeping in mind their $p$ biases, design MSEs (often called measures of stability of variance estimators), and efficacy in yielding design-based confidence intervals one recognized approach is to examine empirical evidences of their relative performances. Before briefly narrating some such exercises reported in the literature, let us mention some more competitive variance estimators that have emerged through the model-based predictive approach in the context of applicability of ratio predictor.
If the model $\mathcal{M}_{11}$ (cf. section 4.1.2) is true, $\bar{t}_R$ is the BLUP for $\bar{Y}$ with
$$
\begin{aligned}
& B_m\left(\bar{t}_R\right)=E_m\left(\bar{t}_R-\bar{Y}\right)=0 \
& V_m=V_m\left(\bar{t}_R-\bar{Y}\right)=\frac{1-f}{n} \frac{\bar{X} \bar{x}_r}{\bar{x}} \sigma^2=g(s) \sigma^2 \text {, say. } \
&
\end{aligned}
$$
Since
$$
\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1} \sum_s\left[\frac{e_i^2}{X_i}\right]
$$
has
$$
E_m\left(\hat{\sigma}^2\right)=\sigma^2
$$
under $\mathcal{M}_{11}$,
$$
v_L=g(s) \hat{\sigma}^2
$$
is an $m$-unbiased estimator for $V_m$, no matter how a sample $s$ of size $n$ is drawn.
A sample of size $n$ containing the largest $X_i$ ‘s, a so-called extreme sample, yields the minimal value of $V_m$ and hence is the optimal.
Suppose $\mathcal{M}{11}$ is incorrect but $\mathcal{M}{11}^{\prime}$ holds, that is,
$$
\begin{aligned}
& E_m\left(Y_i\right)=\alpha+\beta X_i, \alpha \neq 0 \
& V_m\left(Y_i\right)=\sigma^2 X_i .
\end{aligned}
$$
Then $t_R$ is still $m$ unbiased if based on a balanced sample for which $\bar{x}=\bar{X}=\bar{x}r$ and $v_L$ is $m$ unbiased for $V_m$. Since from a study of the sample $\alpha$ may not be conclusively ignored, a balanced rather than an extreme sample is preferred in practice in using $\bar{t}_R$ and $v_L$. But if $\mathcal{M}{12}$ is true, that is, $E_m\left(Y_i\right)=\beta X_i$ and
(a) $V_m\left(Y_i\right)=\sigma^2 X_i^2$,
then
$$
V_m\left(\bar{t}_R-\bar{Y}\right)=\sigma^2\left[\left(\frac{1-f}{n}\right)^2\left(\frac{\bar{x}_r}{\bar{x}}\right)^2 \sum_s X_i^2+\frac{1}{N^2} \sum_r X_i^2\right]
$$
while
$$
E_m\left(v_L\right)=\frac{1-f}{n} \frac{\bar{X} \bar{x}_r}{\bar{x}^2} \frac{\sigma^2}{n-1}\left(n \bar{x}^2-\frac{1}{n} \sum_s X_i^2\right)
$$
and the relative bias
$$
\frac{E_m\left(v_L-V_m\right)}{V_m} \text { is approximately }-\frac{\sum_s\left(X_i-\bar{x}\right)^2}{\sum_s X_i^2}
$$
抽样调查代写
统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Ratio- and Regression-Adjusted Estimators
尽管在2.4 .1节中给出了基于SRSWOR的$V_p\left(\bar{t}_R\right)$的精确公式及其无偏估计量的公式，但传统上还是使用它们各自的近似值
$$
\begin{aligned}
\bar{M}^{\prime} & =\frac{1-f}{n} \frac{1}{N-1} \sum_1^N\left(Y_i-R X_i\right)^2 \
v_0 & =\frac{1-f}{n} \frac{1}{n-1} \sum_s\left(Y_i-r X_i\right)^2 .
\end{aligned}
$$
j.n . K. RAO(1968, 1969)对$n \leq 12$的实证发现$\Delta=\bar{M}^{\prime}-V_p\left(\bar{t}_R\right)<0$适用于许多实际人群，但后来，WU和DENG(1983)发现$n=32$的$\Delta$值既为正值，也为负值，但经过更广泛的实证调查，其幅度都不明显。因此，在实践中，如果$n$不是太小，估计$\bar{M}^\rho$而不是$V_p\left(t_R\right)$被认为是足够的。
由于$\bar{M}^{\prime} / \bar{X}^2$是$V_p(r)$的近似值，因此在$\bar{X}$未知的情况下，通常将其视为
$$
v_0 / \bar{x}^2 \text {. }
$$
如果已知$X$，则使用$\bar{M}^{\prime}$的另一种习惯估计量
$$
v_2=\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right)^2 v_0 .
$$
Wu(1982)建议对$v_0$进行比率调整，以提出$\bar{M}^{\prime}$ as的另一种替代估计值
$$
v_1=\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right) v_0
$$
并进一步提出了一类估计量
$$
v_g=\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}\right)^g v_o
$$
统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Model-Derived and Jackknife Estimators
要在$\bar{M}^{\prime}$估计器中做出决定性的选择，请记住它们的$p$偏差、设计mse(通常称为方差估计器的稳定性度量)和产生基于设计的置信区间的有效性，一种公认的方法是检查它们相对表现的经验证据。在简要叙述文献中报道的一些此类练习之前，让我们提一下在比率预测器适用性的背景下，通过基于模型的预测方法出现的一些更具竞争力的方差估计器。
如果模型$\mathcal{M}{11}$(参见第4.1.2节)为真，则$\bar{t}_R$是带的$\bar{Y}$的BLUP $$ \begin{aligned} & B_m\left(\bar{t}_R\right)=E_m\left(\bar{t}_R-\bar{Y}\right)=0 \ & V_m=V_m\left(\bar{t}_R-\bar{Y}\right)=\frac{1-f}{n} \frac{\bar{X} \bar{x}_r}{\bar{x}} \sigma^2=g(s) \sigma^2 \text {, say. } \ & \end{aligned} $$ 自从 $$ \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1} \sum_s\left[\frac{e_i^2}{X_i}\right] $$ 有 $$ E_m\left(\hat{\sigma}^2\right)=\sigma^2 $$ 在$\mathcal{M}{11}$下，
$$
v_L=g(s) \hat{\sigma}^2
$$
是$V_m$的$m$ -无偏估计量，无论大小为$n$的样本$s$如何绘制。
包含最大的$X_i$的大小为$n$的样本，即所谓的极端样本，产生最小的$V_m$值，因此是最优的。
假设$\mathcal{M}{11}$不正确，但$\mathcal{M}{11}^{\prime}$成立，也就是说，
$$
\begin{aligned}
& E_m\left(Y_i\right)=\alpha+\beta X_i, \alpha \neq 0 \
& V_m\left(Y_i\right)=\sigma^2 X_i .
\end{aligned}
$$
那么$t_R$仍然是$m$无偏的，如果基于一个平衡样本，$\bar{x}=\bar{X}=\bar{x}r$和$v_L$对$V_m$是$m$无偏的。由于对样本$\alpha$的研究不能最终忽略，因此在使用$\bar{t}_R$和$v_L$时，在实践中首选平衡样本而不是极端样本。但如果$\mathcal{M}{12}$为真，即$E_m\left(Y_i\right)=\beta X_i$和
(a) $V_m\left(Y_i\right)=\sigma^2 X_i^2$;
然后
$$
V_m\left(\bar{t}_R-\bar{Y}\right)=\sigma^2\left[\left(\frac{1-f}{n}\right)^2\left(\frac{\bar{x}_r}{\bar{x}}\right)^2 \sum_s X_i^2+\frac{1}{N^2} \sum_r X_i^2\right]
$$
同时
$$
E_m\left(v_L\right)=\frac{1-f}{n} \frac{\bar{X} \bar{x}_r}{\bar{x}^2} \frac{\sigma^2}{n-1}\left(n \bar{x}^2-\frac{1}{n} \sum_s X_i^2\right)
$$
相对偏差
$$
\frac{E_m\left(v_L-V_m\right)}{V_m} \text { is approximately }-\frac{\sum_s\left(X_i-\bar{x}\right)^2}{\sum_s X_i^2}
$$
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