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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MAT4450

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Mixed formulations

We discuss now the two remaining variational formulations where only one of the equations is relaxed.
Classical Variational Formulation Revisited. What will happen if we relax only the second equation in (6.65)? After integration by parts the second equation turns into:
$$
(\sigma, \boldsymbol{\nabla} v)-\int_{\Gamma} \sigma_n v+(c u, v)=(f, v)
$$
If we take into account the BC for $\sigma_n$ and assume $v=0$ on $\Gamma_1$, the boundary term disappears. As the first equation is equivalent to the strong form, we can use it to eliminate $\sigma$, and we arrive precisely at the classical variational formulation. In this sense, the classical variational formulation presents itself as one of the four natural choices that we have.
Equivalently, if we stick with the first order formalism, we have
$$
\begin{aligned}
U=V & =\left{(\sigma, u) \in\left(L^2(\Omega)^N\right) \times H^1(\Omega): u=0 \text { on } \Gamma_1\right} \
& =\left(L^2(\Omega)\right)^N \times H_{\Gamma_1}^1(\Omega) \
b((\sigma, u),(\tau, v)) & =(\alpha \sigma, \tau)=(\nabla u, \tau)+(\beta u, \tau)+(\sigma, \nabla v)+(c u, v) \
l((\tau, v)) & =(g, \tau)+(f, v)
\end{aligned}
$$
So, how do we show the inf-sup condition now?

Strategy I. We follow the same steps as in the proof of the boundedness below for the strong form of the operator. For any $(\sigma, u) \in U$, we define
$$
\begin{aligned}
\alpha \sigma-\nabla u+\beta u & =: g \
(\sigma, \nabla v)+(c u, v) & =:\langle f, v\rangle
\end{aligned}
$$
and we need to find a constant $c$ such that
$$
|\sigma|^2+|u|_{H^1}^2 \leq c\left(|g|^2+|f|_*^2\right)
$$

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Mixed formulation

Mixed formulation. The final, so-called mixed formulation is obtained by relaxing the first equation and keeping the second one in the strong form. We obtain
$$
\begin{aligned}
U=V & =\left{(\sigma, u) \in H(\operatorname{div}, \Omega) \times L^2(\Omega): \sigma_n=0 \text { on } \Gamma_2\right} \
& =H_{\Gamma_2}(\operatorname{div}, \Omega) \times L^2(\Omega) \
b((\sigma, u),(\tau, v)) & =(\alpha \sigma, \tau)+(u, \operatorname{div} \tau)+(\beta u, \tau)-(\operatorname{div} \sigma, v)+(c u, v) \
l((\tau, v) & =(g, \tau)+(f, v)
\end{aligned}
$$
The inf-sup condition is shown in a similar way as in the last case. We take $(\sigma, u) \in U$ and define:
$$
\begin{aligned}
(\alpha \sigma, \tau)+(u, \operatorname{div} \tau)+(\beta u, \tau) & =:\langle g, \tau\rangle \
-\operatorname{div} \sigma+c u & =: f .
\end{aligned}
$$
We need to show now the estimate
$$
|\sigma|_{H(\operatorname{div}, \Omega)}^2+|u|^2 \leq c\left(|g|_^2+|f|^2\right) $$ where the functional $g$ is measured in the dual norm: $$ |g|_=\sup {\tau \in H{\Gamma_2}(\operatorname{div}, \Omega)} \frac{|\langle g, \tau\rangle|}{|\tau|_{H(\mathrm{div})}}
$$

泛函分析代写

数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Mixed formulations

我们现在讨论剩下的两个变分公式，其中只有一个方程是松弛的。
经典变分公式重访。如果我们只松弛式(6.65)中的第二个方程会发生什么?分部积分后，第二个方程为:
$$
(\sigma, \boldsymbol{\nabla} v)-\int_{\Gamma} \sigma_n v+(c u, v)=(f, v)
$$
如果我们考虑$\sigma_n$的BC，并假设$\Gamma_1$上的$v=0$，边界项就消失了。由于第一个方程等价于强形式，我们可以用它来消去$\sigma$，我们就精确地得到了经典的变分公式。从这个意义上说，经典变分公式是我们所拥有的四种自然选择之一。
同样地，如果我们坚持一阶形式，我们有
$$
\begin{aligned}
U=V & =\left{(\sigma, u) \in\left(L^2(\Omega)^N\right) \times H^1(\Omega): u=0 \text { on } \Gamma_1\right} \
& =\left(L^2(\Omega)\right)^N \times H_{\Gamma_1}^1(\Omega) \
b((\sigma, u),(\tau, v)) & =(\alpha \sigma, \tau)=(\nabla u, \tau)+(\beta u, \tau)+(\sigma, \nabla v)+(c u, v) \
l((\tau, v)) & =(g, \tau)+(f, v)
\end{aligned}
$$
那么，我们现在如何显示inf-sup条件呢?

策略一:我们遵循与下面证明算子强形式有界性相同的步骤。对于任何$(\sigma, u) \in U$，我们定义
$$
\begin{aligned}
\alpha \sigma-\nabla u+\beta u & =: g \
(\sigma, \nabla v)+(c u, v) & =:\langle f, v\rangle
\end{aligned}
$$
我们需要找到一个常数$c$
$$
|\sigma|^2+|u|{H^1}^2 \leq c\left(|g|^2+|f|*^2\right)
$$

数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|Mixed formulation

混合配方。最后，所谓的混合公式是通过放宽第一个方程而保持第二个方程的强形式得到的。我们得到
$$
\begin{aligned}
U=V & =\left{(\sigma, u) \in H(\operatorname{div}, \Omega) \times L^2(\Omega): \sigma_n=0 \text { on } \Gamma_2\right} \
& =H_{\Gamma_2}(\operatorname{div}, \Omega) \times L^2(\Omega) \
b((\sigma, u),(\tau, v)) & =(\alpha \sigma, \tau)+(u, \operatorname{div} \tau)+(\beta u, \tau)-(\operatorname{div} \sigma, v)+(c u, v) \
l((\tau, v) & =(g, \tau)+(f, v)
\end{aligned}
$$
infup条件的显示方式与上一种情况类似。我们取$(\sigma, u) \in U$并定义:
$$
\begin{aligned}
(\alpha \sigma, \tau)+(u, \operatorname{div} \tau)+(\beta u, \tau) & =:\langle g, \tau\rangle \
-\operatorname{div} \sigma+c u & =: f .
\end{aligned}
$$
我们现在需要显示估算值
$$
|\sigma|{H(\operatorname{div}, \Omega)}^2+|u|^2 \leq c\left(|g|^2+|f|^2\right) $$，其中函数$g$以双范数测量: $$ |g|=\sup {\tau \in H{\Gamma_2}(\operatorname{div}, \Omega)} \frac{|\langle g, \tau\rangle|}{|\tau|{H(\mathrm{div})}}
$$

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。