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组合学Combinatorics在应用方面，从物理学家到生物学家的科学家都发现组合学在他们的研究中至关重要。在所有这一切中，计算机科学和数学之间的相互作用作为理论发展和组合学应用的主要推动力而脱颖而出。本文介绍了这种相互作用的数学基础及其一些结果。
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Algorithm for a directed cycle
Let $u$ be any vertex.
(1) Put $i=1$ and $x_1=u$.
(2) If $x_i$ is the same as one of the previously chosen vertices $x_j,(j<$ i), then go to (4). Else, go to (3).
(3) Do the following:
(i) Choose an $\operatorname{arc}\left(x_i, x_{i+1}\right)$ leaving vertex $x_i$.
(ii) Increase $i$ by 1 .
(iii) Go to (2).
(4) Output the directed cycle
$$
x_j \rightarrow x_{j+1} \rightarrow \cdots \rightarrow x_{i-1} \rightarrow x_i=x_j
$$
Since each vertex is the initial vertex of at least one arc and since we stop as soon as we obtain a repeated vertex, the algorithm does output a directed cycle as shown.
Corollary 12.1.8 Let $X$ be a set of $n$ elements and let $f: X \rightarrow X$ be a one-to-one function. Let $D_f=\left(X, A_f\right)$ be the digraph whose set of arcs is
$$
A_f={(x, f(x)): x \text { in } X} .
$$
Then the arcs of $D_f$ can be partitioned into directed cycles with each vertex belonging to exactly one directed cycle.
Proof. Since the function $f$ is one-to-one, it is a consequence of the pigeonhole principle that $f$ is also onto. It now follows from the definition of the set $A_f$ of arcs that each vertex of $D_f$ has its indegree and outdegree equal to 1 . By Lemma 12.1.7, $D_f$ has a directed cycle $\gamma$. Either each vertex is a vertex of $\gamma$, in which case our partition contains only $\gamma$, or removing $\gamma$ (its vertices and arcs), we are left with a digraph, each of whose vertices also have indegree and outdegree equal to 1 . We continue to remove directed cycles until we exhaust all of the vertices, and this gives us the desired partition.
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Networks
A network is a digraph $(V, A)$ in which two vertices – the source $s$ and the target $t$-are distinguished, where $s \neq t$, and in which each $\operatorname{arc} \alpha$ has a nonnegative weight $c(\alpha)$, called its capacity. We denote a network by $N=(V, A, s, t, c)$.
The basic problem to be treated for networks is that of moving a substance from the source to the target, within the constraints provided by the arcs of the digraph and their capacities. Formally, a flow in the network $N$ is defined to be a function $f$ that assigns a real number $f(\alpha)$ to each arc $\alpha$, subject to the following constraints:
(i) $0 \leq f(\alpha) \leq c(\alpha)$. (The flow through an arc is nonnegative and does not exceed its capacity.)
(ii) $\sum_{l(\alpha)=x} f(\alpha)=\sum_{\tau(\alpha)=x} f(\alpha)$ for each vertex $x \neq s, t$. (For each vertex $x$ other than the source and the target, the flow into $x$ equals the flow out of $x$.)
In order to demonstrate that the net flow out of the source,
$$
\sum_{\iota(\alpha)=s} f(\alpha)-\sum_{\tau(\alpha)=s} f(\alpha)
$$
equals the net flow into the target,
$$
\sum_{\tau(\alpha)=t} f(\alpha)-\sum_{\iota(\alpha)=t} f(\alpha)
$$
(where the common value is the amount moved from the source to the target), we prove the next result. For each set of vertices $U$, we let
$$
\vec{U}={\alpha: \iota(\alpha) \text { is in } U, \tau(\alpha) \text { is not in } U}
$$
and
$$
\overleftarrow{U}={\alpha: \iota(\alpha) \text { is not in } U, \tau(\alpha) \text { is in } U}
$$
组合学代写
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Algorithm for a directed cycle
设$u$为任意顶点。
(1)填入$i=1$和$x_1=u$。
(2)如果$x_i$与之前选择的一个顶点$x_j,(j<$ i)相同，则转到(4)，否则转到(3)。
(3)做到以下几点:
(i)选择一个$\operatorname{arc}\left(x_i, x_{i+1}\right)$离开顶点$x_i$。
(ii)将$i$增加1。
(iii)转至(2)。
(4)输出有向循环
$$
x_j \rightarrow x_{j+1} \rightarrow \cdots \rightarrow x_{i-1} \rightarrow x_i=x_j
$$
由于每个顶点都是至少一个弧的初始顶点，并且由于我们在获得重复顶点时立即停止，因此算法确实输出如图所示的有向循环。
推论12.1.8设$X$为$n$元素的集合，设$f: X \rightarrow X$为一对一函数。设$D_f=\left(X, A_f\right)$为有向图，其弧的集合为
$$
A_f={(x, f(x)): x \text { in } X} .
$$
然后将$D_f$的弧划分为有向环，每个顶点只属于一个有向环。
证明。由于函数$f$是一对一的，因此它也是$f$所遵循的鸽子洞原理的结果。现在由弧的集合$A_f$的定义可知$D_f$的每个顶点的度数和外度数都等于1。根据引理12.1.7,$D_f$有一个有向环$\gamma$。要么每个顶点都是$\gamma$的顶点，在这种情况下，我们的分割只包含$\gamma$，要么删除$\gamma$(它的顶点和弧)，我们剩下一个有向图，每个顶点的度数和外度数都等于1。我们继续移除有向循环，直到用尽所有的顶点，这就得到了我们想要的分区。
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Networks
网络是一个有向图$(V, A)$，其中两个顶点(源$s$和目标$t$)是有区别的，其中$s \neq t$，并且每个$\operatorname{arc} \alpha$都有一个非负权$c(\alpha)$，称为其容量。我们用$N=(V, A, s, t, c)$表示一个网络。
要处理的网络的基本问题是，在有向图的弧线及其能力所提供的限制范围内，将物质从源移动到目标。形式上，将网络$N$中的一个流定义为一个函数$f$，它为每个弧$\alpha$分配一个实数$f(\alpha)$，但有以下约束:
(i) $0 \leq f(\alpha) \leq c(\alpha)$。(通过电弧的流量是非负的，不超过它的容量。)
(ii) $\sum_{l(\alpha)=x} f(\alpha)=\sum_{\tau(\alpha)=x} f(\alpha)$对于每个顶点$x \neq s, t$。(对于除源和目标之外的每个顶点$x$，流入$x$的流量等于流出$x$的流量。)
为了证明净流量流出的源头，
$$
\sum_{\iota(\alpha)=s} f(\alpha)-\sum_{\tau(\alpha)=s} f(\alpha)
$$
等于流入目标的净流量，
$$
\sum_{\tau(\alpha)=t} f(\alpha)-\sum_{\iota(\alpha)=t} f(\alpha)
$$
(其中公共值是从源移动到目标的量)，我们证明下一个结果。对于每一组顶点$U$，我们让
$$
\vec{U}={\alpha: \iota(\alpha) \text { is in } U, \tau(\alpha) \text { is not in } U}
$$
和
$$
\overleftarrow{U}={\alpha: \iota(\alpha) \text { is not in } U, \tau(\alpha) \text { is in } U}
$$
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
