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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|INVERSE FUNCTION
Let $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ be a bijective function. Then the inverse of $f$, i.e. $f^{-1}$ be a function from $\mathrm{B}$ to $\mathrm{A}$. Since $f$ is a function from A to B, for every $x \in \mathrm{A}$, there exists unique $y \in \mathrm{B}$ such that $f(x)=y$.
Since $f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow$ A for every $y \in \mathrm{B}$ there exists unique $x \in$ A such that $f^{-1}(y)=x$, i.e. $f^{-1}(f(x))$ $=x$.
If $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ is bijective, then the function $f$ posses inverse mapping.
Proof: Suppose that $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ is not bijective and posses an inverse mapping, i.e. (i) $f$ is onto but not one-one. (ii) $f$ is one-one but not onto or (iii) $f$ is neither one-one nor onto.
Case ( $i$ ) Suppose that $f$ is onto but not one-one.
As $f$ is onto, so for every $y_1 \in \mathrm{B}$ there exists at least one $x_1 \in \mathrm{A}$ such that $f\left(x_1\right)=y_1$ and $\mathrm{R}(f)=\mathrm{B}$. Again as $f$ is not one-one we have $x_1 \neq x_2, x_1, x_2 \in$ A implies $y_1=f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=y_2$.
Since $f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$, so $\mathrm{D}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{R}(f)=\mathrm{B}$, i.e. $\mathrm{D}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{B}$. Also $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) \in f$ implies $\left(y_1, x_1\right),\left(y_2, x_2\right) \in f^{-1}$ with $x_1 \neq x_2$ as $y_1=y_2$. Hence $f^{-1}$ can not be a function.
Case (ii) Suppose that $f$ is one-one but not onto.
As $f$ is not onto, so for at least one $y_1 \in \mathrm{B}$ there exists no $x_1 \in \mathrm{A}$ such that $f\left(x_1\right)=y_1$ and $R(f)$ $\neq \mathrm{B}$. Since, $f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$, so
$\mathrm{D}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{R}(f) \neq \mathrm{B}$, i.e. $\mathrm{D}\left(f^{-1}\right) \neq \mathrm{B}$. Hence $f^{-1}$ can not be a function.
Case (iii) Similarly it can be proved that $f^{-1}$ can not be a function if $f$ is neither onto nor one-one.
Therefore, it is a contradiction. So our supposition is wrong. Hence $f: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$ must be bijective to posses a inverse mapping.
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Theorem
Let $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ and $g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ be two functions. If both $f$ and $g$ are invertible, then $\left(g_0 f\right)^{-1}=f^{-1}$ ${ }_0 g^{-1}$.
Proof: Suppose that both $f$ and $g$ are invertible. This indicates that both $f$ and $g$ are bijective functions. So by theorem 4.5.1, $\left(g_0 f\right)$ is also bijective and hence invertible.
As $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ and $g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ we have $\left(g_0 f\right): \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}$ i.e. $\left(g_0 f\right)^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{A}$. Also $f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$ and $g^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{B}$ we have $f^{-1}{ }_{\mathrm{o}} g^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{A}$.
Hence first of all it is evident that both $\left(g_o f\right)^{-1}$ are $f^{-1}{ }0 g^{-1}$ are functions from the set $\mathrm{C}$ to the set $\mathrm{A}$ and $\left(g{\mathrm{o}} f\right)^{-1}(z)=x$ for $z \in \mathrm{C}$ and $x \in \mathrm{A}$.
Again $g^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{B}$, so for every $z \in \mathrm{C}$ there exists unique $y \in \mathrm{B}$ such that $g^{-1}(z)=y$. Similarly $f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$, so for every $y \in \mathrm{B}$ there exists $x \in \mathrm{A}$ such that $f^{-1}(y)=x$. Further i.e.
$$
\begin{aligned}
& f^{-1}{ }_0 g^{-1}(z)=f^{-1}\left(g^{-1}(z)\right)=f^{-1}(y)=x . \
& f^{-1}{ }_0 g^{-1}(z)=x=\left(g_0 f\right)^{-1}(z) . \text { Therefore }\left(g_0 f\right)^{-1}=f^{-1}{ }_0 g^{-1} .
\end{aligned}
$$
离散数学代写
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|INVERSE FUNCTION
设$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$为一个目标函数。然后$f$的逆，即$f^{-1}$是一个从$\mathrm{B}$到$\mathrm{A}$的函数。由于$f$是从a到B的函数，对于每个$x \in \mathrm{A}$，存在唯一的$y \in \mathrm{B}$，使得$f(x)=y$。
因为$f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow$ A对于每个$y \in \mathrm{B}$存在唯一的$x \in$ A，使得$f^{-1}(y)=x$，即$f^{-1}(f(x))$$=x$。
如果$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$是双射，则函数$f$具有逆映射。
证明:假设$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$不是双射并且具有逆映射，即(i) $f$是映上的但不是一一。(ii) $f$是一对一的，但不是对上的;(iii) $f$既不是对上也不是对上的。
案例($i$)假设$f$是对的，但不是1 – 1。
因为$f$是on，所以对于每个$y_1 \in \mathrm{B}$，至少存在一个$x_1 \in \mathrm{A}$，使得$f\left(x_1\right)=y_1$和$\mathrm{R}(f)=\mathrm{B}$。因为$f$不是1 – 1我们有$x_1 \neq x_2, x_1, x_2 \in$ A意味着$y_1=f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=y_2$。
既然$f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$，那么$\mathrm{D}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{R}(f)=\mathrm{B}$，即$\mathrm{D}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{B}$。同样，$\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) \in f$表示$\left(y_1, x_1\right),\left(y_2, x_2\right) \in f^{-1}$, $x_1 \neq x_2$表示$y_1=y_2$。因此$f^{-1}$不能是函数。
情形(ii)假设$f$是1 – 1但不是映上的。
由于$f$不存在，因此至少有一个$y_1 \in \mathrm{B}$不存在$x_1 \in \mathrm{A}$，因此$f\left(x_1\right)=y_1$和$R(f)$$\neq \mathrm{B}$不存在。既然，$f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$，所以
$\mathrm{D}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{R}(f) \neq \mathrm{B}$，即$\mathrm{D}\left(f^{-1}\right) \neq \mathrm{B}$。因此$f^{-1}$不能是函数。
情形(iii)同样地，可以证明$f^{-1}$不是函数，如果$f$既不是映上的，也不是一对一的。
因此，这是一个矛盾。所以我们的假设是错误的。因此$f: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$必须是客观的，才能拥有逆映射。
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Theorem
设$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$和$g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$为两个函数。如果$f$和$g$都可逆，则$\left(g_0 f\right)^{-1}=f^{-1}$${ }_0 g^{-1}$。
证明:假设$f$和$g$都是可逆的。这表明$f$和$g$都是双射函数。所以根据4.5.1定理，$\left(g_0 f\right)$也是双射的，因此是可逆的。
如$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$和$g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$，我们有$\left(g_0 f\right): \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}$，即$\left(g_0 f\right)^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{A}$。还有$f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$和$g^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{B}$我们有$f^{-1}{ }_{\mathrm{o}} g^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{A}$。
因此，首先很明显，$\left(g_o f\right)^{-1}$和$f^{-1}{ }0 g^{-1}$都是从集合$\mathrm{C}$到集合$\mathrm{A}$和$\left(g{\mathrm{o}} f\right)^{-1}(z)=x$的函数，对于$z \in \mathrm{C}$和$x \in \mathrm{A}$。
还是$g^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{B}$，对于每个$z \in \mathrm{C}$都存在唯一的$y \in \mathrm{B}$，使得$g^{-1}(z)=y$。类似的$f^{-1}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}$，对于每个$y \in \mathrm{B}$，都存在$x \in \mathrm{A}$使得$f^{-1}(y)=x$。进一步的。
$$
\begin{aligned}
& f^{-1}{ }_0 g^{-1}(z)=f^{-1}\left(g^{-1}(z)\right)=f^{-1}(y)=x . \
& f^{-1}{ }_0 g^{-1}(z)=x=\left(g_0 f\right)^{-1}(z) . \text { Therefore }\left(g_0 f\right)^{-1}=f^{-1}{ }_0 g^{-1} .
\end{aligned}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
