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统计代写
数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|variety of distributions
Samples from a wide variety of distributions can be generated by considering deterministic transformations of random variables. The inverse transform method, introduced in Section 1.3, is a special case of this technique where we transform a uniformly distributed random variable using the inverse of a CDF. In this section, we consider more general transformations.
The fundamental question we have to answer in order to generate samples by transforming a random variable is the following: if $X$ is a random variable with values in $\mathbb{R}^{d}$ and a given distribution, and if $\varphi: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ is a function, what is the distribution of $\varphi(X)$ ? This question is answered in the following theorem.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Envelope rejection sampling
Theorem $1.34$ (transformation of random variables) Let $A, B \subseteq \mathbb{R}^{d}$ be open sets, $\varphi: A \rightarrow B$ be bijective and differentiable with continuous partial derivatives, and
let $X$ be a random variable with values in $A$. Furthermore let $g: B \rightarrow[0, \infty)$ be a probability density and define $f: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}$ by
$$
f(x)= \begin{cases}g(\varphi(x)) \cdot|\operatorname{det} D \varphi(x)| & \text { if } x \in A \text { and } \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}
$$
Then $f$ is a probability density and the random variable $X$ has density $f$ if and only if $\varphi(X)$ has density $g$.
The matrix $D \varphi$ used in the theorem is the Jacobian of $\varphi$, as given in the following definition.
Definition 1.35 Let $\varphi: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ be differentiable. Then the Jacobian matrix $D \varphi$ is the $d \times d$ matrix consisting of the partial derivatives of $\varphi:$ for $i, j=1,2, \ldots, d$ we have $D \varphi(x){i j}=\frac{\partial \varphi{i}}{\partial x_{j}}(x)$.
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|VARIETY OF DISTRIBUTIONS
通过考虑随机变量的确定性变换，可以生成来自各种分布的样本。1.3 节介绍的逆变换方法是这种技术的一个特例，我们使用 CDF 的逆来变换均匀分布的随机变量。在本节中，我们考虑更一般的变换。
为了通过变换随机变量来生成样本，我们必须回答的基本问题如下：如果X是一个随机变量，其值为Rd和给定的分布，如果披:Rd→Rd是一个函数，什么是分布披(X)? 下面的定理回答了这个问题。
数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|ENVELOPE REJECTION SAMPLING
定理1.34 吨r一种nsF○r米一种吨一世○n○Fr一种nd○米v一种r一世一种b一世和s让一种,乙⊆Rd是开集，披:一种→乙对连续偏导数是双射和可微的，并且
让X是一个随机变量，其值为一种. 此外让G:乙→[0,∞)是一个概率密度并定义F:Rd→R经过
F(X)={G(披(X))⋅|这D披(X)| 如果 X∈一种 和 0 否则
然后F是概率密度和随机变量X有密度F当且仅当披(X)有密度G.
矩阵D披定理中使用的是雅可比行列式披，如以下定义中给出的。
定义 1.35 让披:Rd→Rd可微分。那么雅可比矩阵D披是个d×d由偏导数组成的矩阵披:为了一世,j=1,2,…,d我们有 $D \varphiX{ij}=\frac{\partial \varphi {i}}{\partial x_{j}}X$.
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