物理代考| Higher Dimensions 量子力学代写
物理代写
3.
$3.6$ Higher Dimensions
So far, for simplicity, we have worked in just one dimension where the Schrödinger equation reads
$$
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right] \Psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}
$$
Here the partial derivatives imply that the other variable in the set $(x, t)$ is to be kept constant. To increase the number of dimensions, we can simply follow our work on the wave equation and replace
$$
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \rightarrow \nabla^{2}
$$
where $\nabla^{2}$ is the laplacian
$$
\begin{aligned}
\nabla^{2} &=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} & & ; \text { one dimension } \
&=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & & ; \text { two dimensions } \
&=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} & & ; \text { three dimensions }
\end{aligned}
$$
This is equivalent to writing the Schrödinger equation as
$$
H \Psi(\vec{x}, t)=\left[\frac{\vec{p}^{2}}{2 m}+V(\vec{x})\right] \Psi(\vec{x}, t)=i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x}, t)}{\partial t}
$$
22
Introduction to Quantum Mechanics
and expanding the momentum to read
$$
p_{j}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \quad ; j=1,2, \cdots
$$
where the index $j$ now labels the cartesian axes.
As one example, consider a particle of mass $m$ in a square twodimensional box with sides $L$. Here the boundary conditions are those of walls, and the eigenfunctions and eigenvalues are evidently
$$
\begin{aligned}
\psi_{n_{x}, n_{y}}(x, y) &=\left(\frac{2}{L}\right) \sin \left(\frac{n_{x} \pi x}{L}\right) \sin \left(\frac{n_{y} \pi y}{L}\right) \quad ;\left(n_{x}, n_{y}\right)=1,2,3, \cdots \
E_{n_{x}, n_{y}} &=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}\right)
\end{aligned}
$$
The general solution to the Schrödinger equation is correspondingly
$$
\Psi(x, y, t)=\sum_{n_{x}} \sum_{n_{y}} c_{n_{z}, n_{y}} \psi_{n_{x}, n_{y}}(x, y) e^{-i E_{n_{x}, n_{y}} t / \hbar}
$$
物理代考
$3.6$ 更高的尺寸
到目前为止，为简单起见，我们只研究了薛定谔方程的一维
$$
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right] \Psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}
$$
这里的偏导数意味着集合 $(x, t)$ 中的另一个变量要保持不变。为了增加维数，我们可以简单地按照我们在波动方程上的工作并替换
$$
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \rightarrow \nabla^{2}
$$
其中 $\nabla^{2}$ 是拉普拉斯算子
$$
\开始{对齐}
\nabla^{2} &=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} & & ; \text { 一维 } \
&=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & & ; \text { 二维 } \
&=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2 }}{\partial z^{2}} & & ; \text { 三个维度 }
\end{对齐}
$$
这相当于将薛定谔方程写为
$$
H \Psi(\vec{x}, t)=\left[\frac{\vec{p}^{2}}{2 m}+V(\vec{x})\right] \Psi(\vec {x}, t)=i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x}, t)}{\partial t}
$$
22
量子力学导论
并扩大阅读的势头
$$
p_{j}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \quad ; j=1,2, \cdots
$$
索引 $j$ 现在标记笛卡尔坐标轴。
作为一个例子，考虑在一个边为 $L$ 的方形二维盒子中质量为 $m$ 的粒子。这里边界条件是墙的边界条件，特征函数和特征值显然是
$$
\开始{对齐}
\psi_{n_{x}, n_{y}}(x, y) &=\left(\frac{2}{L}\right) \sin \left(\frac{n_{x} \pi x} {L}\right) \sin \left(\frac{n_{y} \pi y}{L}\right) \quad ;\left(n_{x}, n_{y}\right)=1,2 ,3, \cdots \
E_{n_{x}, n_{y}} &=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}\left(n_{x}^{2} +n_{y}^{2}\右）
\end{对齐}
$$
薛定谔方程的通解相应地为
$$
\Psi(x, y, t)=\sum_{n_{x}} \sum_{n_{y}} c_{n_{z}, n_{y}} \psi_{n_{x}, n_{y} }(x, y) e^{-i E_{n_{x}, n_{y}} t / \hbar}
$$
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电磁学代考
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光学代考
光学（Optics），是物理学的分支，主要是研究光的现象、性质与应用，包括光与物质之间的相互作用、光学仪器的制作。光学通常研究红外线、紫外线及可见光的物理行为。因为光是电磁波，其它形式的电磁辐射，例如X射线、微波、电磁辐射及无线电波等等也具有类似光的特性。
大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是，通常这全套理论很难实际应用，必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。
相对论代考
上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
流体力学代考
流体力学是力学的一个分支。 主要研究在各种力的作用下流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体之间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。
随机过程代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
