Abstract Algebra作为 离散数学 的基础
离散数学在计算领域有广泛的应用，例如密码学、编码理论、 形式方法, 语言理论, 可计算性, 人工智能, 理论 数据库和软件的可靠性。 离散数学的重点是理论和应用，而不是为了数学本身而研究数学。 一切算法的基础都是离散数学一切加密的理论基础都是离散数学
编程时候很多奇怪的小技巧（特别是所有和位计算相关的东西）核心也是离散数学
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离散数学代写
$6.6$ Abstract Algebra|
One of the important features of modern mathematics is the power of the abstract approach. This has opened up whole new areas of mathematics, and it has led to a large body of new results and problems. The term ‘ $a b s t r a c t$ ‘ is subjective, as what is abstract to one person may be quite concrete to another. We shall introduce some important algebraic structures in this section including monoids, groups, rings, fields and vector spaces.
$6.6$ Abstract Algebra
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6.6.1 Monoids and Groups
A non-empty set $M$ together with a binary operation ‘ ${ }^{\prime}$ ‘ is called a monoid if for all elements $a, b, c \in M$ the following properties hold:
\begin{tabular}{l|l}
(1) $a * b \in M$ & (Closure property) \
\hline (2) $a *(b * c)=(a * b) * c$ & (Associative property) \
\hline (3) $\exists u \in M$ such that $a * u=u * a=a(\forall a \in M) .$ & (Identity Element)
\end{tabular}
A monoid is commutative if $a * b=b * a$ for all $a, b \in M .$ A $\operatorname{semin}$ group $(M, )$ is a set with a binary operation ” such that the closure and associativity properties hold (but it may not have an identity element).
Example 6.1 (Monoids)
(i) The set of sequences $\Sigma *$ under concatenation with the empty sequence $\Lambda$ is the identity element.
(ii) The set of integers under addition forms an infinite monoid in which 0 is the identity element.
A non-empty set $G$ together with a binary operation ‘*’ is called a group if for all elements $a, b, c \in G$, the following properties hold:
\begin{tabular}{l|l}
\hline (i) $a * b \in G$ & (Closure property) \
\hline (ii) $a *(b * c)=(a * b) * c$ & (Associative property) \
\hline (iii) $\exists e \in G$ such that $a * e=e * a=a(\forall a \in G)$ & (Identity Element) \
\hline (iv) For every $a \in G, \exists a^{-1} \in G$, such that $a * a^{-1}=a^{-1} * a=e .$ & (Inverse Element)
\end{tabular}
The identity element is unique, and the inverse $a^{-1}$ of an element $a$ is unique (see exercise 5). A commutative group has the additional property that $a * b=b * a$ for all $a, b \in G$. The order of a finite group $G$ is the number of elements in $G$, and is denoted by $o(G)$.
Example 6.2 (Groups)
(i) The set of integers under addition $(\mathbb{Z},+)$ forms an infinite group in which 0 is the identity element.
(ii) The set of $2 \times 2$ integer matrices under addition, where the identity element is $\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \ 0 & 0\end{array}\right)$.
抽象代数作为离散数学的基础
现代数学的重要特征之一是抽象方法的力量。这开辟了数学的全新领域，并导致了大量的新结果和新问题。 “$a b s t r a c t$”这个词是主观的，因为对一个人来说抽象的东西对另一个人来说可能是相当具体的。本节我们将介绍一些重要的代数结构，包括幺半群、群、环、域和向量空间。
离散数学的研究也离不开抽象代数的基础作为支撑。
幺半群和群
一个非空集合 $M$ 和一个二元运算’${ }^{\prime}$’ 被称为一个幺半群，如果对于所有元素 $a, b, c \in M$ 具有以下属性：
\开始{表格}{l|l}
(1) $a * b \in M$ & (闭包属性) \
\hline (2) $a *(b * c)=(a * b) * c$ & (关联属性) \
\hline (3) $\exists u \in M$ 使得 $a * u=u * a=a(\forall a \in M) .$ & (Identity Element)
\end{表格}
如果 $a * b=b * a$ 对于所有 $a, b \in M .$ A $\operatorname{semin}$ group $(M, )$ 是具有二元运算 ‘ 的集合，则幺半群是可交换的’ 使得闭包和关联属性成立（但它可能没有标识元素）。
例 6.1（Monoids）
(i) 与空序列$\Lambda$ 串联的序列集$\Sigma *$ 是恒等元素。
(ii) 加法下的整数集合形成一个无限幺半群，其中 0 是单位元素。
如果对于所有元素 $a, b, c \in G$，以下属性成立，则非空集合 $G$ 与二元运算 ‘*’ 一起称为群：标识元素是唯一的，并且元素 $a$ 的逆 $a^{-1}$ 是唯一的（参见练习 5）。一个交换群对于所有的 $a, b \in G$ 具有 $a * b=b * a$ 的附加性质。有限群$G$的阶是$G$中元素的个数，记为$o(G)$。
示例 6.2（组）
(i) 加法 $(\mathbb{Z},+)$ 下的整数集合形成一个无限群，其中 0 是单位元。
(ii) 加法下的 $2 \times 2$ 整数矩阵的集合，其中单位元为 $\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \ 0 & 0\end{array}\right)$ .
图论代考
排列是给定数量的对象的排列，一次取其中的一些或全部。组合是对多个对象的选择，其中选择的顺序并不重要。排列和组合是根据第 1 章中定义的阶乘函数定义的。 4.
计数原理
(a) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么执行第一个操作后执行第二个操作时可能结果的总数是 $m \times n$ (Product Rule )。
(b) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么第一个操作或第二个操作的可能结果总数由 $m+n$ 给出（求和规则） .
示例（计数原理 $(a)$ ）
假设掷骰子，然后掷硬币。有多少种不同的结果，它们是什么？
解决方案
掷骰子有六种可能的结果，$1,2,3,4,5$ 或 6，掷硬币有两种可能的结果，$\mathrm{H}$ 或 $\mathrm{ T}$。因此，结果的总数由乘积规则确定为 $6 \times 2=12$。结果由下式给出
$(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}) ,(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{ ~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T})$
示例（计数原理$(b)）$
假设掷骰子，如果数字是偶数，则掷硬币，如果是奇数，则第二次掷骰子。有多少种不同的结果？
解决方案
第一个实验涉及两个实验，涉及偶数和抛硬币。有 3 种可能的结果导致偶数和 2 种来自抛硬币的结果。因此，第一个实验有 $3 \times 2=6$ 的结果。
第二个实验涉及掷骰子和进一步掷骰子的奇数。掷骰子有 3 种可能的结果，导致奇数和 6 种结果。因此，第二个实验有 $3\times 6=18$ 的结果。
5.7 排列组合
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最后，第一个实验有 6 个结果，第二个实验有 18 个结果，因此根据求和规则，总共有 $6+18=24$ 个结果。
鸽巢原理
鸽巢原则规定，如果将 $n$ 个项目放入 $m$ 个容器（其中 $n>m$），那么至少一个容器必须包含多个项目（图 5.1）。
示例（鸽洞原理）
(a) 假设有一组 367 人，那么必须至少有两个人的生日相同。
这很清楚，因为一年有 365 天（闰年有 366 天），所以一年最多有 366 个可能的生日。团体人数为 367 人，因此必须至少有两个人的生日相同。
(b) 假设有 102 名学生参加了一次考试（考试的结果是 0 到 100 之间的分数）。然后，至少有两名学生获得相同的分数。
这很清楚，因为测试有 101 种可能的结果（因为学生可能达到的分数介于 0 和 100 之间），并且班上有 102 名学生和 101 种可能的测试结果，那么必须至少有两名学生获得相同的分数。
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抽象代数代考
抽象代数就是一门概念繁杂的学科，我们最重要的一点我想并不是掌握多少例子。即便是数学工作者也不会刻意记住Jacobson环、正则环这类东西，重要的是你要知道这门学科的基本工具和基本手法，对概念理解了没有，而这一点不需要用例子来验证，只需要看看你的理解和后续概念是否相容即可。
矩阵论代考matrix theory
数学，矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。矩阵理论本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。
密码学代考
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。 研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。 电报最早是由美国的摩尔斯在1844年发明的，故也被叫做摩尔斯电码。
- Cryptosystem
- A system that describes how to encrypt or decrypt messages
- Plaintext
- Message in its original form
- Ciphertext
- Message in its encrypted form
- Cryptographer
- Invents encryption algorithms
- Cryptanalyst
- Breaks encryption algorithms or implementations
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
