数学代写| Permutations and Combinations 离散代考
离散数学在计算领域有广泛的应用，例如密码学、编码理论、 形式方法, 语言理论, 可计算性, 人工智能, 理论 数据库和软件的可靠性。 离散数学的重点是理论和应用，而不是为了数学本身而研究数学。 一切算法的基础都是离散数学一切加密的理论基础都是离散数学
编程时候很多奇怪的小技巧（特别是所有和位计算相关的东西）核心也是离散数学
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离散数学代写
A permutation is an arrangement of a given number of objects, by taking some or all of them at a time. A combination is a selection of a number of objects where the order of the selection is unimportant. Permutations and combinations are defined in terms of the factorial function, which was defined in Chap. 4 .
Principles of Counting
(a) Suppose one operation has $m$ possible outcomes and a second operation has $n$ possible outcomes, then the total number of possible outcomes when performing the first operation followed by the second operation is $m \times n$ (Product Rule).
(b) Suppose one operation has $m$ possible outcomes and a second operation has $n$ possible outcomes, then the total number of possible outcomes of the first operation or the second operation is given by $m+n$ (Sum Rule).
Example (Counting Principle $(a)$ )
Suppose a dice is thrown and a coin is then tossed. How many different outcomes are there and what are they?
Solution
There are six possible outcomes from a throw of the dice, $1,2,3,4,5$ or 6 , and there are two possible outcomes from the toss of a coin, $\mathrm{H}$ or $\mathrm{T}$. Therefore, the total number of outcomes is determined from the product rule as $6 \times 2=12$. The outcomes are given by
$(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}),(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T})$
Example (Counting Principle $(b))$
Suppose a dice is thrown and if the number is even a coin is tossed and if it is odd then there is a second throw of the dice. How many different outcomes are there?
Solution
There are two experimehts involved with the first experiment involving an even number and a toss of a coin. There are 3 possible outcomes that result in an even number and 2 outcomes from the toss of a coin. Therefore, there are $3 \times 2=6$ outcomes from the first experiment.
The second experiment involves an odd number from the throw of a dice and the further throw of the dice. There are 3 possible outcomes that result in an odd number and 6 outcomes from the throw of a dice. Therefore, there are $3 \times 6=18$ outcomes from the second experiment.
5.7 Permutations and Combinations
97
Finally, there are 6 outcomes from the first experiment and 18 outcomes from the second experiment, and so from the sum rule there are a total of $6+18=24$ outcomes.
Pigeonhole Principle
The pigeonhole principle states that if $n$ items are placed into $m$ containers (with $n>m$ ), then at least one container must contain more than one item (Fig. 5.1).
Examples (Pigeonhole Principle)
(a) Suppose there is a group of 367 people, then there must be at least two people with the same birthday.
This is clear as there are 365 days in a year (with 366 days in a leap year), and so as there are at most 366 possible birthdays in a year. The group size is 367 people, and so there must be at least two people with the same birthday.
(b) Suppose that a class of 102 students is assessed in an examination (the outcome from the exam is a mark between 0 and 100 ). Then, there are at least two students who receive the same mark.
This is clear as there are 101 possible outcomes from the test (as the mark that a student may achieve is between is between 0 and 100 ), and as there are 102 students in the class and 101 possible outcomes from the test, then there must be at least two students who receive the same mark.
货币时间价值讨论了越早收到现金对收款人的价值越大的概念。同样，现金支付的时间越晚，对收款人的价值就越低，对付款人的成本也就越低。
如果我们考虑一个人现在收到 $\$ 1000$ 和一个人从现在收到 $\$ 10005$ 的例子，这一点就很清楚了。现在收到 $\$1000$ 的人能够投资它并获得本金的年度利息，而另一个在 5 年内收到 $\$1000$ 的人在此期间没有任何利息。此外，这一时期的通货膨胀意味着 1000 美元的购买力在 5 年内低于今天。
我们提出了一个通用公式，即本金 $P$ 在 $n$ 年内以复合利率 $r$ 的利息投资的未来价值为 $A=P(1+r)^{n}$。我们可以通过以下方式确定在 $n$ 年内以折现率 $r$ 收到的金额 $A$ 的现值
$$
P=\frac{A}{(1+r)^{n}}
$$
5.6 货币和年金的时间价值
95
年金是在一段时间内定期支付的一系列等额现金支付，因此需要计算该期间支付的一系列支付的现值。从表 $5.2$ 中可以清楚地看出实际的计算方法。
示例（年金）
计算一系列付款 $\$1000$（在每年年底进行）的现值，付款期限为 5 年，贴现率为 $10\%$。
解决方案
定期付款 $A$ 是 1000 ，费率 $r$ 是 $0.1$ 和 $n=5$。第 1 年年底收到的付款的现值为 $1000 / 1.1=909.91$；在第 2 年年底是 $1000 /(1.1)^{2}=826.45$;等等。 5 年内付款的总现值由各个现值的总和给出，为 $\$ 3791$（表 $5.2$）。
我们可以很容易地推导出以 $r$ 贴现率在 $n$ 年期间一系列支付 $A$ 的现值的公式，如下所示： 显然，现值由下式给出
$$
\frac{A}{(1+r)}+\frac{A}{(1+r)^{2}}+\cdots+\frac{A}{(1+r)^{n}}
$$
这是一个几何级数，其中常数比率为 $\frac{1}{1+r}$，年金的现值由其总和给出：
$$
\mathrm{PV}=\frac{A}{r}\left[1-\frac{1}{(1+r)^{n}}\right]
$$
对于上面的例子，我们应用公式并得到
$$
\开始{对齐}
\mathrm{PV} &=\frac{1000}{0.1}\left[1-\frac{1}{(1.1)^{5}}\right] \
&=10000(0.3791) \
&=\$ 3791
\end{对齐}
$$
金融数学在第 1 章中有更详细的讨论。 25 美元。
\begin{表格}{|l|l|l|l|}
\hline Table $5.2$ 年金现值&年份&金额&现值计算$(r=0.1)$\
\hline
\end{表格}
图论代考
排列是给定数量的对象的排列，一次取其中的一些或全部。组合是对多个对象的选择，其中选择的顺序并不重要。排列和组合是根据第 1 章中定义的阶乘函数定义的。 4.
计数原理
(a) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么执行第一个操作后执行第二个操作时可能结果的总数是 $m \times n$ (Product Rule )。
(b) 假设一个操作有 $m$ 个可能的结果，而第二个操作有 $n$ 个可能的结果，那么第一个操作或第二个操作的可能结果总数由 $m+n$ 给出（求和规则） .
示例（计数原理 $(a)$ ）
假设掷骰子，然后掷硬币。有多少种不同的结果，它们是什么？
解决方案
掷骰子有六种可能的结果，$1,2,3,4,5$ 或 6，掷硬币有两种可能的结果，$\mathrm{H}$ 或 $\mathrm{ T}$。因此，结果的总数由乘积规则确定为 $6 \times 2=12$。结果由下式给出
$(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}) ,(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{ ~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T})$
示例（计数原理$(b)）$
假设掷骰子，如果数字是偶数，则掷硬币，如果是奇数，则第二次掷骰子。有多少种不同的结果？
解决方案
第一个实验涉及两个实验，涉及偶数和抛硬币。有 3 种可能的结果导致偶数和 2 种来自抛硬币的结果。因此，第一个实验有 $3 \times 2=6$ 的结果。
第二个实验涉及掷骰子和进一步掷骰子的奇数。掷骰子有 3 种可能的结果，导致奇数和 6 种结果。因此，第二个实验有 $3\times 6=18$ 的结果。
5.7 排列组合
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最后，第一个实验有 6 个结果，第二个实验有 18 个结果，因此根据求和规则，总共有 $6+18=24$ 个结果。
鸽巢原理
鸽巢原则规定，如果将 $n$ 个项目放入 $m$ 个容器（其中 $n>m$），那么至少一个容器必须包含多个项目（图 5.1）。
示例（鸽洞原理）
(a) 假设有一组 367 人，那么必须至少有两个人的生日相同。
这很清楚，因为一年有 365 天（闰年有 366 天），所以一年最多有 366 个可能的生日。团体人数为 367 人，因此必须至少有两个人的生日相同。
(b) 假设有 102 名学生参加了一次考试（考试的结果是 0 到 100 之间的分数）。然后，至少有两名学生获得相同的分数。
这很清楚，因为测试有 101 种可能的结果（因为学生可能达到的分数介于 0 和 100 之间），并且班上有 102 名学生和 101 种可能的测试结果，那么必须至少有两名学生获得相同的分数。
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抽象代数代考
抽象代数就是一门概念繁杂的学科，我们最重要的一点我想并不是掌握多少例子。即便是数学工作者也不会刻意记住Jacobson环、正则环这类东西，重要的是你要知道这门学科的基本工具和基本手法，对概念理解了没有，而这一点不需要用例子来验证，只需要看看你的理解和后续概念是否相容即可。
矩阵论代考matrix theory
数学，矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目。矩阵理论本来是线性代数的一个小分支，但其后由于陆续在图论、代数、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科。
密码学代考
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。 研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学。 电报最早是由美国的摩尔斯在1844年发明的，故也被叫做摩尔斯电码。
- Cryptosystem
- A system that describes how to encrypt or decrypt messages
- Plaintext
- Message in its original form
- Ciphertext
- Message in its encrypted form
- Cryptographer
- Invents encryption algorithms
- Cryptanalyst
- Breaks encryption algorithms or implementations
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。