数学代写|Proof of the distribution theorem 数论代考
数论代考
We will explain the proof of the theorem. We use a slightly different approach than the original article, bypassing the method of moments, and exploiting some simplifications that arise from the consideration of this single example.
The proof will be complete from a probabilistic point of view, but it relies on an extremely deep arithmetic result that we will only be able to view as a black box in this book. The crucial underlying result is the very general form of the Riemann Hypothesis over finite fields, and the formalism that is attached to it. This is due to Deligne, and the
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particular application we use relies extensively on the additional work of Katz. All of this builds on the algebraic-geometric foundations of Grothendieck and his school (see [59, Ch. 11] for an introduction).
In outline, the proof has three steps:
- Step 1: Show that the random Fourier series $\mathrm{K}$ exists, as a $\mathrm{C}([0,1])$-valued random variable;
- Step 2: Prove that (a small variant of the sequence of Fourier coefficients of $\mathrm{K}_{p}$ converges in law to the sequence of Fourier coefficients of $\mathrm{K}$;
- Step 3: Prove that the sequence $\left(\mathrm{K}{p}\right){p}$ is tight (Definition B.3.6), using Kolmogorov’s Tightness Criterion (Proposition B.11.10).
Once this is done, a simple probabilistic statement (Proposition B.11.8, which is a variant of Prokhorov’s Theorem B.11.4) shows that the combination of (2) and (3) implies that $\mathrm{K}_{p}$ converges to $\mathrm{K}$. Both steps (2) and (3) involve non-trivial arithmetic information; indeed, the main input in (2) is exceptionally deep, as we will explain soon.
We denote by $\mathbf{P}{p}$ and $\mathbf{E}{p}$ the probability and expectation with respect to the uniform measure on $\Omega_{p}=\mathbf{F}{p}^{\times} \times \mathbf{F}{p}^{\times}$. Before we begin the proof in earnest, it is useful to see why the limit arises, and why it is precisely this random Fourier series. The idea is to use discrete Fourier analysis to represent the partial sums of Kloosterman sums.
LEMMA 6.2.1. Let $p \geqslant 3$ be a prime and $a, b \in \mathbf{F}{p}^{\times}$. Let $t \in[0,1]$. Then we have (6.2) $\frac{1}{\sqrt{p}} \sum{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right)=\sum_{|h|<p / 2} \alpha_{p}(h, t) \mathrm{Kl}(a-h, b ; p)$,
where
$$
\alpha_{p}(h, t)=\frac{1}{p} \sum_{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} e\left(\frac{n h}{p}\right) .
$$
PROOF. This is a case of the discrete Plancherel formula, applied to the characteristic (indicator) function of the discrete interval of summation; to check it quickly, insert the definitions of $\alpha_{p}(h, t)$ and of $\mathrm{Kl}(a-h, b ; p)$ in the right hand-side of (6.2). This shows that it is equal to
$$
\begin{aligned}
\sum_{|h|<p / 2} \alpha_{p}(h, t) \mathrm{Kl}(a-h, b ; p) &=\frac{1}{p^{3 / 2}} \sum_{|h|<p / 2} \sum_{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} \sum_{m \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{n h}{p}\right) e\left(\frac{(a-h) m+b \bar{m}}{p}\right) \ &=\frac{1}{\sqrt{p}} \sum{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} \sum_{m \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{a m+b \bar{m}}{p}\right) \frac{1}{p} \sum{h \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{h(n-m)}{p}\right) \ &=\frac{1}{\sqrt{p}} \sum{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right),
\end{aligned}
$$
as claimed, since by the orthogonality of characters we have
$$
\frac{1}{p} \sum_{h \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{h(n-m)}{p}\right)=\delta(n, m) $$ for any $n, m \in \mathbf{F}{p}$, where $\delta(n, m)=1$ if $n=m$ modulo $p$, and otherwise $\delta(n, m)=0$.
If we observe that $\alpha_{p}(h, t)$ is essentially a Riemann sum for the integral
$$
\int_{0}^{t} e(h t) d t=\frac{e(h t)-1}{2 i \pi h}
$$
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我们将解释定理的证明。我们使用与原始文章略有不同的方法，绕过矩量法，并利用考虑这个单个示例而产生的一些简化。
从概率的角度来看，证明将是完整的，但它依赖于极其深奥的算术结果，我们在本书中只能将其视为黑匣子。关键的基本结果是有限域上黎曼假设的非常一般形式，以及与之相关的形式主义。这是由于 Deligne 和
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我们使用的特定应用程序广泛依赖于 Katz 的额外工作。所有这些都建立在格洛腾迪克和他的学派的代数几何基础之上（参见 [59, Ch. 11] 的介绍）。
总的来说，证明分为三个步骤：
- 步骤 1：证明随机傅立叶级数 $\mathrm{K}$ 存在，作为 $\mathrm{C}([0,1])$ 值的随机变量；
- 步骤 2：证明 ($\mathrm{K}_{p}$ 的傅里叶系数序列的一个小变体在法律上收敛到 $\mathrm{K}$ 的傅里叶系数序列；
- 步骤 3：证明序列 $\left(\mathrm{K}{p}\right){p}$ 是紧的（定义 B.3.6），使用 Kolmogorov 的紧度准则（命题 B.11.10）。
一旦完成，一个简单的概率陈述（命题 B.11.8，它是 Prokhorov 定理 B.11.4 的一个变体）表明（2）和（3）的组合意味着 $\mathrm{K}_{p} $ 收敛到 $\mathrm{K}$。步骤（2）和（3）都涉及非平凡的算术信息；事实上，（2）中的主要输入非常深，我们很快就会解释。
我们用 $\mathbf{P}{p}$ 和 $\mathbf{E}{p}$ 表示关于 $\Omega_{p}=\mathbf{F}_ 上的统一测度的概率和期望{p}^{\times} \times \mathbf{F}{p}^{\times}$。在我们认真开始证明之前，看看为什么会出现极限以及为什么恰好是这个随机傅立叶级数是很有用的。这个想法是使用离散傅立叶分析来表示 Kloosterman 和的部分和。 引理 6.2.1。设$p \geqslant 3$ 为素数，$a, b \in \mathbf{F}{p}^{\times}$。设 $t \in[0,1]$。然后我们有
(6.2) $\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{ p}\right)=\sum_{|h|<p / 2} \alpha_{p}(h, t) \mathrm{Kl}(ah, b ; p)$,
在哪里
$$
\alpha_{p}(h, t)=\frac{1}{p} \sum_{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} e\left(\frac{nh}{p}\right) .
$$
证明。这是离散Plancherel公式的一个例子，应用于离散求和区间的特征（指标）函数；为了快速检查它，在 (6.2) 的右侧插入 $\alpha_{p}(h, t)$ 和 $\mathrm{Kl}(a-h, b ; p)$ 的定义。这表明它等于
$$
\开始{对齐}
\sum_{|h|<p / 2} \alpha_{p}(h, t) \mathrm{Kl}(ah, b ; p) &=\frac{1}{p^{3 / 2}} \ sum_{|h|<p / 2} \sum_{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} \sum_{m \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{nh }{p}\right) e\left(\frac{(ah) m+b \bar{m}}{p}\right) \ &=\frac{1}{\sqrt{p}} \sum{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} \sum_{m \in \mathbf{F}{p}} e\left( \frac{a m+b \bar{m}}{p}\right) \frac{1}{p} \sum{h \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{ h(nm)}{p}\right) \ &=\frac{1}{\sqrt{p}} \sum{1 \leqslant n \leqslant(p-1) t} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p} \正确的），
\end{对齐}
$$
正如所声称的，因为通过字符的正交性，我们有
$$
\frac{1}{p} \sum_{h \in \mathbf{F}{p}} e\left(\frac{h(n-m)}{p}\right)=\delta(n, m) $$ 对于任何 $n，m \in \mathbf{F}{p}$，其中 $\delta(n, m)=1$ 如果 $n=m$ 模 $p$，否则 $\delta(n, m)=0$。
如果我们观察到 $\alpha_{p}(h, t)$ 本质上是积分的黎曼和
$$
\int_{0}^{t} e(h t) d t=\frac{e(h t)-1}{2 i \pi h}
$$
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数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
其他相关科目课程代写：组合学Combinatorics集合论Set Theory概率论Probability组合生物学Combinatorial Biology组合化学Combinatorial Chemistry组合数据分析Combinatorial Data Analysis
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
