数学代写|Applications 数论代考
数论代考
We can use Theorem 6.1.1 to gain information on partial sums of Kloosterman sums. We will give two examples, one concerning large values of the partial sums, and the other dealing with the support of the Kloosterman paths, following [12].
THEOREM 6.3.1. For p prime and $\mathrm{A}>0$, let $\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})$ and $\mathrm{N}{p}(\mathrm{~A})$ be the events
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})=\left{(a, b) \in \mathbf{F}{p}^{\times} \times \mathbf{F}{p}^{\times}\left|\max {1 \leqslant j \leqslant p-1} \frac{1}{\sqrt{p}}\right| \sum_{1 \leqslant n \leqslant j} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right) \mid>\mathrm{A}\right} \
&\mathrm{N}{p}(\mathrm{~A})=\left{(a, b) \in \mathbf{F}{p}^{\times} \times \mathbf{F}{p}^{\times}\left|\max {1 \leqslant j \leqslant p-1} \frac{1}{\sqrt{p}}\right| \sum_{1 \leqslant n \leqslant j} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right) \mid \geqslant \mathrm{A}\right}
\end{aligned}
$$
There exists a positive constant $c>0$ such that, for any $\mathrm{A}>0$, we have
$$
c^{-1} \exp (-\exp (c \mathrm{~A})) \leqslant \liminf {p \rightarrow+\infty} \mathbf{P}{p}\left(\mathrm{~N}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant \limsup {p \rightarrow+\infty} \mathbf{P}{p}\left(\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant c \exp \left(-\exp \left(c^{-1} \mathrm{~A}\right)\right)
$$
In particular, partial sums of normalized Kloosterman sums are unbounded (whereas the full normalized Kloosterman sums are always of modulus at most 2), but large values of partial sums are extremely rare.
Proof. The functions $t \mapsto \mathrm{K}{p}(a, b)(t)$ describe polygonal paths in the complex plane. Since the maximum modulus of a point on such a path is achieved at one of the vertices, it follows that $$ \max {1 \leqslant j \leqslant p-1} \frac{1}{\sqrt{p}}\left|\sum_{1 \leqslant n \leqslant j} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right)\right|=\left|\mathrm{K}{p}(a, b)\right|{\infty},
$$
so that the event $\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})$ is the same as $\left{\left|\mathrm{K}{p}\right|_{\infty}>\mathrm{A}\right}$, and $\mathrm{N}{p}(\mathrm{~A})$ is the same as $\left{\left|\mathrm{K}{p}\right|_{\infty} \geqslant\right.$ A}.
By Theorem 6.1.1 and composition with the norm map (Proposition B.3.2), the realvalued random variables $\left|\mathrm{K}{p}\right|{\infty}$ converge in law to the random variable $|\mathrm{K}|_{\infty}$, the norm of the random Fourier series K. By elementary properties of convergence in law, we have therefore
$$
\mathbf{P}\left(|\mathrm{K}|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \leqslant \liminf {p \rightarrow+\infty} \mathbf{P}{p}\left(\mathrm{~N}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant \lim {p \rightarrow+\infty} \sup {p} \mathbf{P}{p}\left(\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant \mathbf{P}\left(|\mathrm{K}|{\infty} \geqslant \mathrm{A}\right)
$$
So the problem is reduced to questions about the limiting random Fourier series.
We first consider the upper-bound. Here it suffices to prove the existence of a constant $c>0$ such that
$$
\mathbf{P}\left(|\operatorname{Im}(\mathrm{K})|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \leqslant c \exp \left(-\exp \left(c^{-1} \mathrm{~A}\right)\right),
$$
$$
\mathbf{P}\left(|\operatorname{Re}(\mathrm{K})|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \leqslant c \exp \left(-\exp \left(c^{-1} \mathrm{~A}\right)\right)
$$
We will do this for the real part, since the imaginary part is very similar and can be left as an exercise. The random variable $\mathrm{R}=\operatorname{Re}(\mathrm{K})$ takes values in the separable real Banach space $\mathrm{C}{\mathbf{R}}([0,1])$ of real-valued continuous functions on $[0,1]$. It is almost surely the sum of the random Fourier series where $\varphi{h} \in \mathrm{C}{\mathbf{R}}([0,1])$ and the random variables $\mathrm{Y}{h}$ are defined by $$ \varphi_{h}(t)=\frac{\sin (2 \pi h t)}{8 \pi h}, \quad \mathrm{Y}{h}=\frac{1}{4}\left(\mathrm{ST}{h}+\mathrm{ST}{-h}\right) \text { for } h \geqslant \frac{1}{2} \mathrm{ST}{0}, $$
We note that the random variables $\left(\mathrm{Y}{h}\right)$ are independent and that $\left.\mid \mathrm{Y}{h}\right)$ We note that the random variables $\left(Y_{h}\right)$ are independent and that $\left|Y_{h}\right| \leqslant 1$ (almost surely) for all $h$. We can then apply the bound of Proposition B.11.13 (1) to conclude.
We now prove the lower bound. It suffices to prove that there exists $c>0$ such that
$$
\mathbf{P}(|\operatorname{Im}(\mathrm{K}(1 / 2))|>\mathrm{A}) \geqslant c^{-1} \exp (-\exp (c \mathrm{~A}))
$$
since this implies that
$$
\mathbf{P}\left(|\mathrm{K}|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \geqslant c^{-1} \exp (-\exp (c \mathrm{~A}))
$$
We have
$$
\operatorname{Im}(\mathrm{K}(1 / 2))=-\frac{1}{2 \pi} \sum_{h \neq 0} \frac{\cos (\pi h)-1}{h} \mathrm{ST}{h}=\frac{1}{\pi} \sum{h \geqslant 1} \frac{1}{h} \mathrm{ST}{h}, $$ which is a series which converges almost surely in $\mathrm{R}$ with independent terms, and where $\frac{1}{\pi} \mathrm{ST}{h}$ is symmetric and $\leqslant 1$ in absolute value for all $h$. Thus the bound
我们可以使用定理 6.1.1 来获得关于 Kloosterman 和的部分和的信息。我们将给出两个示例，一个涉及部分和的大值，另一个涉及 Kloosterman 路径的支持，遵循 [12]。
定理 6.3.1。对于 p 素数和 $\mathrm{A}>0$，令 $\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})$ 和 $\mathrm{N}{p}(\mathrm{~ A})$ 是事件
$$
\开始{对齐}
&\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})=\left{(a, b) \in \mathbf{F}{p}^{\times} \times \mathbf{F }{p}^{\times}\left|\max {1 \leqslant j \leqslant p-1} \frac{1}{\sqrt{p}}\right| \sum_{1 \leqslant n \leqslant j} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right) \mid>\mathrm{A}\right} \
&\mathrm{N}{p}(\mathrm{~A})=\left{(a, b) \in \mathbf{F}{p}^{\times} \times \mathbf{F }{p}^{\times}\left|\max {1 \leqslant j \leqslant p-1} \frac{1}{\sqrt{p}}\right| \sum_{1 \leqslant n \leqslant j} e\left(\frac{a n+b \bar{n}}{p}\right) \mid \geqslant \mathrm{A}\right}
\end{对齐}
$$
存在一个正常数 $c>0$ 使得对于任何 $\mathrm{A}>0$，我们有
$$
c^{-1} \exp (-\exp (c \mathrm{~A})) \leqslant \liminf {p \rightarrow+\infty} \mathbf{P}{p}\left(\mathrm{~ N}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant \limsup {p \rightarrow+\infty} \mathbf{P}{p}\left(\mathrm{M}{p} (\mathrm{~A})\right) \leqslant c \exp \left(-\exp \left(c^{-1} \mathrm{~A}\right)\right)
$$
特别是，归一化 Kloosterman 和的部分和是无界的（而完全归一化 Kloosterman 和的模数最多为 2），但部分和的大值极为罕见。
证明。函数 $t \mapsto \mathrm{K}{p}(a, b)(t)$ 描述了复平面中的多边形路径。由于此类路径上的点的最大模数是在其中一个顶点处实现的，因此可以得出 $$ \max {1 \leqslant j \leqslant p-1} \frac{1}{\sqrt{p}}\left|\sum_{1 \leqslant n \leqslant j} e\left(\frac{a n+ b \bar{n}}{p}\right)\right|=\left|\mathrm{K}{p}(a, b)\right|{\infty},
$$
因此事件 $\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})$ 与 $\left{\left|\mathrm{K}{p}\right|_ 相同{\infty}>\mathrm{A}\right}$，$\mathrm{N}{p}(\mathrm{~A})$ 与 $\left{\left|\数学{K}{p}\right|_{\infty} \geqslant\right.$ A}。
由定理 6.1.1 和范数映射组合（命题 B.3.2），实值随机变量 $\left|\mathrm{K}{p}\right|{\infty}$ 收敛到随机变量$|\mathrm{K}|_{\infty}$，随机傅里叶级数K的范数。根据收敛律的基本性质，我们有
$$
\mathbf{P}\left(|\mathrm{K}|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \leqslant \liminf {p \rightarrow+\infty} \mathbf{P}{ p}\left(\mathrm{~N}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant \lim {p \rightarrow+\infty} \sup {p} \mathbf{P} {p}\left(\mathrm{M}{p}(\mathrm{~A})\right) \leqslant \mathbf{P}\left(|\mathrm{K}|{\infty} \geqslant \mathrm{A}\right)
$$
所以问题被简化为关于有限随机傅里叶级数的问题。
我们首先考虑上限。这里只要证明存在一个常数 $c>0$ 就足够了，使得
$$
\mathbf{P}\left(|\operatorname{Im}(\mathrm{K})|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \leqslant c \exp \left(-\exp \左(c^{-1} \mathrm{~A}\right)\right),
$$
$$
\mathbf{P}\left(|\operatorname{Re}(\mathrm{K})|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \leqslant c \exp \left(-\exp \左(c^{-1} \mathrm{~A}\right)\right)
$$
我们将对实部执行此操作，因为虚部非常相似，可以留作练习。随机变量 $\mathrm{R}=\operatorname{Re}(\mathrm{K})$ 取可分离实巴拿赫空间 $\mathrm{C}{\mathbf{R}}([0,1 ])$ 上 $[0,1]$ 上的实值连续函数。它几乎肯定是随机傅里叶级数的总和 其中 $\varphi{h} \in \mathrm{C}{\mathbf{R}}([0,1])$ 和随机变量 $\mathrm{Y}{h}$ 由 $$ 定义\varphi_{h}(t)=\frac{\sin (2 \pi ht)}{8 \pi h}, \quad \mathrm{Y}{h}=\frac{1}{4}\left (\mathrm{ST}{h}+\mathrm{ST}{-h}\right) \text { for } h \geqslant \frac{1}{2} \mathrm{ST}{0}, $$
我们注意到随机变量 $\left(\mathrm{Y}{h}\right)$ 是独立的并且 $\left.\mid \mathrm{Y}{h}\right)$ 我们注意到随机变量 $\left(Y_{h}\right)$ 是独立的并且 $\left|Y_{h}\right| \leqslant 1$（几乎肯定）对于所有 $h$。然后我们可以应用命题 B.11.13 (1) 的界限来得出结论。
我们现在证明下界。足以证明存在 $c>0$ 使得
$$
\mathbf{P}(|\operatorname{Im}(\mathrm{K}(1 / 2))|>\mathrm{A}) \geqslant c^{-1} \exp (-\exp (c \mathrm {~A}))
$$
因为这意味着
$$
\mathbf{P}\left(|\mathrm{K}|_{\infty}>\mathrm{A}\right) \geqslant c^{-1} \exp (-\exp (c \mathrm{ 〜A}））
$$
我们有
$$
\operatorname{Im}(\mathrm{K}(1 / 2))=-\frac{1}{2 \pi} \sum_{h \neq 0} \frac{\cos (\pi h)-1} {h} \mathrm{ST}{h}=\frac{1}{\pi} \sum{h \geqslant 1} \frac{1}{h} \mathrm{ST}{h}， $$ 这是一个几乎肯定会在具有独立项的 $\mathrm{R}$ 中收敛的级数，其中 $\frac{1}{\pi} \mathrm{ST}{h}$ 是对称的并且 $
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
其他相关科目课程代写：组合学Combinatorics集合论Set Theory概率论Probability组合生物学Combinatorial Biology组合化学Combinatorial Chemistry组合数据分析Combinatorial Data Analysis
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
