数学代写|Equidistribution modulos 数论代考
数论代考
We have begun this book with the motivating “founding” example of the Erdős-Kac Theorem, which is usually interpreted as the first result in probabilistic number theory. However, one could arguably say that at the time when this was first proved, there already existed a substantial theory that is really part of probabilistic number theory in our sense, namely the theory of equidistribution modulo 1, due especially to Weyl [120]. Indeed, this concerns originally the study of the fractional parts of various sequences $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$ of real numbers, and the fact that in many cases, including many when $x{n}$ has some arithmetic meaning,
We now make this more precise in probabilistic terms. For a real number $x$, we will denote (as in Chapter 3 ) by $\langle x\rangle$ the fractional part of $x$, namely the unique real number in $\left[0,1\left[\right.\right.$ such that $x-\langle x\rangle \in \mathrm{Z}$. We can identify this value with the point $e(x)=e^{2 i \pi x}$ on the unit circle, or with its image in $\mathbf{R} / \mathbf{Z}$, either of which might be more convenient. Given a sequence $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$ of real numbers, we define random variables $S{N}$ on $\Omega_{\mathrm{N}}={1, \ldots, \mathrm{N}}$ (with uniform probability measure) by
$$
\mathrm{S}{\mathrm{N}}(n)=\left\langle x{n}\right\rangle
$$
Then the sequence $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$ is said to be equidistributed modulo 1 if the random variables $\mathrm{S}{\mathrm{N}}$ converge in law to the uniform probability measure $d x$ on $[0,1]$, as $\mathrm{N} \rightarrow+\infty$.
Among other things, Weyl proved the following results:
THEOREM 7.1.1. (1) Let $\mathrm{P} \in \mathbf{R}[\mathrm{X}]$ be a polynomial of degree $d \geqslant 1$ with leading term $\xi \mathrm{X}^{d}$ where $\xi \notin \mathrm{Q}$. Then the sequence $(\mathrm{P}(n)){n \geqslant 1}$ is equidistributed modulo 1 . (2) Let $k \geqslant 1$ be an integer, and let $\xi=\left(\xi{1}, \ldots, \xi_{d}\right) \in(\mathbf{R} / \mathbf{Z})^{d}$. The closure $\mathrm{T}$ of the set ${n \xi \mid n \in \mathbf{Z}} \subset(\mathbf{R} / \mathbf{Z})^{d}$ is a compact subgroup of $(\mathbf{R} / \mathbf{Z})^{d}$ and the $\mathrm{T}$-valued random variables on $\Omega_{\mathrm{N}}$ defined by
converge in law as $\mathrm{N} \rightarrow+\infty$ to the probability Haar measure on $\mathrm{T}$.
The second part of this theorem is the same as Theorem B.6.5, (1). We sketch partial (Theorem B.6.3).
We proceed by induction on the degree $d \geqslant 1$ of the polynomial $\mathrm{P} \in \mathbf{R}[\mathrm{X}]$, using a rather clever trick for this purpose. We may assume that $\mathrm{P}(0)=0$ (as the reader should
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check). If $d=1$, then $\mathrm{P}=\xi \mathrm{X}$ for some real number $\xi$, and $\mathrm{P}(n)=n \xi$; the assumption is that $\xi$ is irrational, and the result then follows from the 1-dimensional case of the second part, as explained in Example B.6.6.
Suppose that $d=\operatorname{deg}(\mathrm{P}) \geqslant 2$ and that the statement is known for polynomials of smaller degree. We use the following:
LEMMA 7.1.2. Let $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$ be a sequence of real numbers. Suppose that for any integer $h \neq 0$, the sequence $\left(x{n+h}-x_{n}\right){n}$ is equidistributed modulo 1. Then $\left(x{n}\right)$ is equidistributed modulo $1 .$
SKETCH OF THE PROOF. We leave this as an exercise to the reader; the key step is to use the following very useful inequality of van der Corput: for any integer $N \geqslant 1$, for any family $\left(a_{n}\right){1 \leqslant n \leqslant \mathrm{~N}}$ of complex numbers, and for any integer $\mathrm{H} \geqslant 1$, we have $$ \left|\sum{n=1}^{\mathrm{N}} a_{n}\right|^{2} \leqslant\left(1+\frac{\mathrm{N}+1}{\mathrm{H}}\right) \sum_{|h|<\mathrm{H}}\left(1-\frac{|h|}{\mathrm{H}}\right) \sum_{\substack{1 \leqslant n \leqslant \mathrm{~N} \ 1 \leqslant n+h \leqslant \mathrm{~N}}} a_{n+h} \bar{a}{n} $$ We also leave the proof of this inequality as an exercise… In the special case of $\mathrm{K}{\mathrm{N}}(n)=\langle\mathrm{P}(n)\rangle$, this means that we have to consider auxiliary sequences $\mathrm{K}{\mathrm{N}}^{\prime}(n)=\langle\mathrm{P}(n+h)-\mathrm{P}(n)\rangle$, which corresponds to the same problem for the polynomials $$ \mathrm{P}(\mathrm{X}+h)-\mathrm{P}(\mathrm{X})=\xi(\mathrm{X}+h)^{d}-\xi \mathrm{X}^{d}+\cdots=d \xi \mathrm{X}^{d-1}+\cdots $$ Since these polynomials have degree $d-1$, and leading coefficient $d \xi \notin \mathbf{Q}$, the induction hypothesis applies to prove that the random variables $\mathrm{K}{\mathrm{N}}^{\prime}$ converge to the Lebesgue measure. By the lemma, so does $\mathrm{K}_{\mathrm{N}}$.
REMARK 7.1.3. The reader might ask what happens in Theorem B.6.3 if we replace the integers $n \leqslant \mathrm{~N}$ by primes taken uniformly from those that are $\leqslant \mathrm{N}$. The answer is that the same properties hold – for both assertions, we have the same limit in law, under the same conditions on the polynomial for the first one. The proofs are quite a bit more involved however, and depend on Vinogradov’s fundamental insight on the “bilinear” nature of the prime numbers. We refer to $[59,13.5,21.2]$ for an introduction.
ExERCISE 7.1.4. Suppose that $0<\alpha<1$. Prove that the sequence $\left(\left\langle n^{\alpha}\right\rangle\right)_{n \geqslant 1}$ is
我们以 Erdős-Kac 定理的激励性“创始”示例开始本书，这通常被解释为概率数论的第一个结果。然而，可以说，在第一次证明这一点时，已经存在一个实质性的理论，它在我们的意义上确实是概率数论的一部分，即模 1 等分布理论，特别是由于 Weyl [120]。实际上，这最初涉及对实数的各种序列 $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$ 的小数部分的研究，以及在许多情况下，包括许多当 $x {n}$ 有一些算术意义，
我们现在在概率方面使其更加精确。对于实数 $x$，我们将（如第 3 章）用 $\langle x\rangle$ 表示 $x$ 的小数部分，即 $\left[0,1\left[\对。\right.$ 使得 $x-\langle x\rangle \in \mathrm{Z}$.我们可以用单位圆上的点 $e(x)=e^{2 i \pi x}$ 来识别这个值，或者用它在 $\mathbf{R} / \mathbf{Z}$ 中的图像来识别这个值，这可能更方便。给定一个实数序列 $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$，我们在 $\Omega{\mathrm{N}}={ 上定义随机变量 $S_{N}$ 1, \ldots, \mathrm{N}}$（采用统一概率测度）由
$$
\mathrm{S}{\mathrm{N}}(n)=\left\langle x{n}\right\rangle
$$
如果随机变量 $\mathrm{S}{\mathrm{N}}$ 收敛于$[0,1]$ 上的均匀概率测度 $dx$ 的定律，如 $\mathrm{N}\rightarrow+\infty$。 除其他外，Weyl 证明了以下结果： 定理 7.1.1。 (1) 令$\mathrm{P} \in \mathbf{R}[\mathrm{X}]$ 是一个次多项式$d \geqslant 1$ 与前导项$\xi \mathrm{X}^{d }$ 其中 $\xi \notin \mathrm{Q}$.那么序列 $(\mathrm{P}(n)){n \geqslant 1}$ 是模 1 等分布的。
(2) 令$k \geqslant 1$ 为整数，令$\xi=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{d}\right) \in(\mathbf{R} / \数学bf{Z})^{d}$。集合 ${n \xi \mid n \in \mathbf{Z}} \subset(\mathbf{R} / \mathbf{Z})^{d}$ 的闭包 $\mathrm{T}$是 $(\mathbf{R} / \mathbf{Z})^{d}$ 和 $\Omega_{\mathrm{N}}$ 上定义的 $\mathrm{T}$ 值随机变量的紧子群经过
规律收敛为 $\mathrm{N}\rightarrow+\infty$ 到 $\mathrm{T}$ 上的概率 Haar 测度。
该定理的第二部分与定理 B.6.5, (1) 相同。我们勾勒出部分（定理 B.6.3）。
我们通过对多项式 $\mathrm{P} \in \mathbf{R}[\mathrm{X}]$ 的次数 $d \geqslant 1$ 进行归纳，为此使用了一个相当聪明的技巧。我们可以假设 $\mathrm{P}(0)=0$（读者应该
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查看）。如果$d=1$，那么对于某个实数$\xi$，$\mathrm{P}=\xi \mathrm{X}$，并且$\mathrm{P}(n)=n \xi$；假设 $\xi$ 是非理性的，那么结果来自第二部分的一维情况，如示例 B.6.6 中所述。
假设 $d=\operatorname{deg}(\mathrm{P}) \geqslant 2$ 并且该语句对于较小次数的多项式是已知的。我们使用以下内容：
引理 7.1.2。令 $\left(x_{n}\right){n \geqslant 1}$ 为实数序列。假设对于任何整数 $h \neq 0$，序列 $\left(x{n+h}-x_{n}\right){n}$ 是模 1 等分布的。那么 $\left(x{n }\right)$ 是模 $1 .$ 等分布
证明草图。我们将此作为练习留给读者；关键步骤是使用以下非常有用的 van der Corput 不等式：对于任何整数 $N \geqslant 1$，对于任何家庭 $\left(a_{n}\right){1 \leqslant n \leqslant \mathrm {~N}}$ 个复数，对于任何整数 $\mathrm{H} \geqslant 1$，我们有 $$ \left|\sum{n=1}^{\mathrm{N}} a_{n}\right|^{2} \leqslant\left(1+\frac{\mathrm{N}+1}{\mathrm {H}}\right) \sum_{|h|<\mathrm{H}}\left(1-\frac{|h|}{\mathrm{H}}\right) \sum_{\substack{1 \ leqslant n \leqslant \mathrm{~N} \ 1 \leqslant n+h \leqslant \mathrm{~N}}} a_{n+h} \bar{a}{n} $$ 我们还将这种不等式的证明留作练习…… 在 $\mathrm{K}{\mathrm{N}}(n)=\langle\mathrm{P}(n)\rangle$ 的特殊情况下，这意味着我们必须考虑辅助序列 $\mathrm{ K}{\mathrm{N}}^{\prime}(n)=\langle\mathrm{P}(n+h)-\mathrm{P}(n)\rangle$，对应同一个问题对于多项式 $$ \mathrm{P}(\mathrm{X}+h)-\mathrm{P}(\mathrm{X})=\xi(\mathrm{X}+h)^{d}-\xi \mathrm{X }^{d}+\cdots=d \xi \mathrm{X}^{d-1}+\cdots $$ 由于这些多项式的次数为 $d-1$，且前导系数为 $d \xi \notin \mathbf{Q}$，因此归纳假设适用于证明随机变量 $\mathrm{K}{\mathrm{N} }^{\prime}$ 收敛到 Lebesgue 测度。根据引理，$\mathrm{K}_{\mathrm{N}}$ 也是如此。
备注 7.1.3。读者可能会问，如果我们将整数 $n \leqslant \mathrm{~N}$ 替换为从 $\leqslant \mathrm{N}$ 中统一取的素数，那么在定理 B.6.3 中会发生什么。答案是相同的性质——对于两个
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
其他相关科目课程代写：组合学Combinatorics集合论Set Theory概率论Probability组合生物学Combinatorial Biology组合化学Combinatorial Chemistry组合数据分析Combinatorial Data Analysis
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
