数学代写| Euler product approximation 数论代考
数论代考
This section is devoted to the proof of Proposition 4.2.4. We need to prove that $D_{T} \exp \left(P_{T}\right)$ converges to 1 in probability. This involves some extra decomposition of $P_{T}$ : we write
$$
\mathrm{P}{\mathrm{T}}=\mathrm{Q}{\mathrm{T}}+\mathrm{R}{\mathrm{T}} $$ where $\mathrm{Q}{\mathrm{T}}$ is the contribution to (4.1) of the prime powers $p^{k} \leqslant \mathrm{Y}$.
In addition, for any integer $m \geqslant 0$, we denote by $\exp {m}$ the Taylor polynomial of degree $m$ of the exponential function at 0, i.e. $$ \exp {m}(z)=\sum_{j=0}^{m} \frac{z^{j}}{j !}
$$
We have an elementary lemma:
LEMMA 4.4.1. Let $z \in \mathbf{C}$ and $m \geqslant 0$. If $m \geqslant 100|z|$, then
$$
\exp {m}(z)=e^{z}+\mathrm{O}(\exp (-m))=e^{z}(1+\mathrm{O}(\exp (-99|z|))) \text {. } $$ Proof. Indeed, since $j ! \geqslant(j / e)^{k}$ for all $j \geqslant 0$ and $|z| \leqslant m / 100$, the difference $e^{z}-\exp {m}(z)$ is at most
$$
\sum_{j>m} \frac{(m / 100)^{j}}{j !} \leqslant \sum_{j>m}\left(\frac{e m}{100 j}\right)^{j} \ll \exp (-m)
$$
69
We define
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}=\exp {m_{1}}\left(-\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right), \quad \mathrm{F}{\mathrm{T}}=\exp {m{2}}\left(-\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right) $$ where we recall that $m{1}$ and $m_{2}$ are the parameters defined in (4.5). We have by definition $D_{T}=B_{T} C_{T}$, with
$$
\mathrm{B}{\mathrm{T}}(t)=\sum{n \geqslant 1} b_{\mathrm{T}}(n) \mu(n) n^{-\sigma_{0}-i t}, \quad \mathrm{C}{\mathrm{T}}(t)=\sum{n \geqslant 1} c_{\mathrm{T}}(n) \mu(n) n^{-\sigma_{0}-i t}
$$
where $b_{\mathrm{T}}$ and $c_{\mathrm{T}}$ are defined after the statement of Proposition 4.2.1, e.g., $b_{\mathrm{T}}(n)$ is the characteristic function of squarefree integers $n$ such that $n$ has $\leqslant m_{1}$ prime factors, all of which are $\leqslant Y$.
The idea of the proof is that, usually, $Q_{T}$ (resp. $R_{T}$ ) is not too large, and then the random variable $E_{T}$ is a good approximation to $\exp \left(-Q_{T}\right)$. On the other hand, because of the shape of $E_{T}$ (and the choice of the parameters), it will be possible to prove that $\mathrm{E}{\mathrm{T}}$ is close to $\mathrm{B}{\mathrm{T}}$ in $\mathrm{L}^{2}$-norm, and similarly for $\mathrm{F}{\mathrm{T}}$ and $\mathrm{C}{\mathrm{T}}$. Combining these facts will lead to the conclusion.
We first observe that, as in the beginning of the proof of Proposition 4.2.5, by the usual appeal to Lemma 3.2.6, we have
$$
\mathbf{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathbf{Q}{\mathrm{T}}\right|^{2}\right) \ll \varrho_{\mathrm{T}}, \quad \mathbf{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathbf{R}{\mathrm{T}}\right|^{2}\right) \ll \log \varrho_{\mathrm{T}} .
$$
Markov’s inequality implies that $\mathbf{P}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right|>\varrho_{\mathrm{T}}\right)$ tends to 0 as $\mathrm{T} \rightarrow+\infty$. Now by Lemma 4.4.1, whenever $\left|Q_{T}\right| \leqslant \varrho_{T}$, we have
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}=\exp \left(-\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{O}\left((\log \mathrm{T})^{-99}\right)\right)
$$
Similarly, the probability $\mathbf{P}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right|>\log \varrho_{\mathrm{T}}\right)$ tends to 0 , and whenever $\left|\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right| \leqslant \log \varrho{\mathrm{T}}$, we have
$$
\mathrm{F}{\mathrm{T}}=\exp \left(-\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{O}\left((\log \log \mathrm{T})^{-99}\right)\right)
$$
For the next step, we claim that
$$
\begin{gathered}
\mathrm{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{E}{\mathrm{T}}-\mathrm{B}{\mathrm{T}}\right|^{2}\right) \ll(\log \mathrm{T})^{-60} \ \mathrm{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{F}{\mathrm{T}}-\mathrm{C}{\mathrm{T}}\right|^{2}\right) \ll(\log \log \mathrm{T})^{-60}
\end{gathered}
$$
We begin the proof of the first estimate with a lemma.
LEMMA 4.4.2. For $t \in \Omega_{\mathrm{T}}$, we have
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}(t)=\sum{n \geqslant 1} \alpha(n) n^{-\sigma_{0}+i t}
$$
where the coefficients $\alpha(n)$ are zero unless $n \leqslant \mathrm{Y}^{m_{1}}$ and $n$ has only prime factors $\leqslant \mathrm{Y}$. Moreover $|\alpha(n)| \leqslant 1$ for all $n$, and $\alpha(n)=\mu(n) b_{\mathrm{T}}(n)$ if $n$ has $\leqslant m_{1}$ prime factors, counted with multiplicity, and if there is no prime power $p^{k}$ dividing $n$ such that $p^{k}>\mathrm{Y}$.
PROOF. Since
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}=\exp {m_{1}}\left(-\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right)=\sum{j=0}^{m_{1}} \frac{(-1)^{j}}{j !}\left(\sum_{p^{k} \leqslant \mathrm{Y}} \frac{1}{k p^{k\left(\sigma_{0}+i t\right)}}\right)^{j}
$$
本节专门用于证明命题 4.2.4。我们需要证明 $D_{T} \exp \left(P_{T}\right)$ 收敛到 1 的概率。这涉及到 $P_{T}$ 的一些额外分解：我们写
$$
\mathrm{P}{\mathrm{T}}=\mathrm{Q}{\mathrm{T}}+\mathrm{R}{\mathrm{T}} $$ 其中 $\mathrm{Q}{\mathrm{T}}$ 是素数幂 $p^{k} \leqslant \mathrm{Y}$ 对 (4.1) 的贡献。
此外，对于任何整数 $m \geqslant 0$，我们用 $\exp_{m}$ 表示指数函数在 0 处的次数 $m$ 的泰勒多项式，即
$$
\exp {m}(z)=\sum{j=0}^{m} \frac{z^{j}}{j !}
$$
我们有一个基本的引理：
引理 4.4.1。设 $z \in \mathbf{C}$ 和 $m \geqslant 0$。如果 $m \geqslant 100|z|$，那么
$$
\exp {m}(z)=e^{z}+\mathrm{O}(\exp (-m))=e^{z}(1+\mathrm{O}(\exp (-99| z|))) \文本{。 } $$ 证明。确实，因为 $j ！ \geqslant(j / e)^{k}$ 对于所有 $j \geqslant 0$ 和 $|z| \leqslant m / 100$，差值 $e^{z}-\exp {m}(z)$ 最多为
$$
\sum_{j>m} \frac{(m / 100)^{j}}{j !} \leqslant \sum_{j>m}\left(\frac{em}{100 j}\right)^{ j} \ll \exp (-m)
$$
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我们定义
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}=\exp {m_{1}}\left(-\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right), \quad \mathrm{F }{\mathrm{T}}=\exp {m{2}}\left(-\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right) $$ 我们记得 $m{1}$ 和 $m_{2}$ 是 (4.5) 中定义的参数。根据定义，我们有 $D_{T}=B_{T} C_{T}$，其中
$$
\mathrm{B}{\mathrm{T}}(t)=\sum{n \geqslant 1} b_{\mathrm{T}}(n) \mu(n) n^{-\sigma_{0} -it}, \quad \mathrm{C}{\mathrm{T}}(t)=\sum{n \geqslant 1} c_{\mathrm{T}}(n) \mu(n) n^{ -\sigma_{0}-它}
$$
其中 $b_{\mathrm{T}}$ 和 $c_{\mathrm{T}}$ 在命题 4.2.1 的陈述之后定义，例如，$b_{\mathrm{T}}(n)$ 是无平方整数 $n$ 的特征函数，使得 $n$ 具有 $\leqslant m_{1}$ 素因数，所有这些都是 $\leqslant Y$。
证明的想法是，通常，$Q_{T}$ (resp. $R_{T}$ ) 不会太大，然后随机变量 $E_{T}$ 是 $\exp 的一个很好的近似值\left(-Q_{T}\right)$。另一方面，由于 $E_{T}$ 的形状（以及参数的选择），将有可能证明 $\mathrm{E}{\mathrm{T}}$ 接近$\mathrm{B}{\mathrm{T}}$ 在 $\mathrm{L}^{2}$-norm 中，同样对于 $\mathrm{F}{\mathrm{T}}$ 和 $ \mathrm{C}{\mathrm{T}}$。结合这些事实将得出结论。
我们首先观察到，正如在命题 4.2.5 证明的开始，通过通常诉诸引理 3.2.6，我们有
$$
\mathbf{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathbf{Q}{\mathrm{T}}\right|^{2}\right) \ll \varrho_{\mathrm{ T}}, \quad \mathbf{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathbf{R}{\mathrm{T}}\right|^{2}\right) \ll \log \varrho_{\mathrm{T}} 。
$$
马尔可夫不等式意味着 $\mathbf{P}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right|>\varrho_{\mathrm{T}} \right)$ 趋向于 0 作为 $\mathrm{T} \rightarrow+\infty$。现在由引理 4.4.1，每当 $\left|Q_{T}\right| \leqslant \varrho_{T}$，我们有
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}=\exp \left(-\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{O}\left(( \log \mathrm{T})^{-99}\right)\right)
$$
类似地，概率 $\mathbf{P}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right|>\log \varrho_{\mathrm{T }}\right)$ 趋于 0 ，并且每当 $\left|\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right| \leqslant \log \varrho{\mathrm{T}}$，我们有
$$
\mathrm{F}{\mathrm{T}}=\exp \left(-\mathrm{R}{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{O}\left(( \log \log \mathrm{T})^{-99}\right)\right)
$$
对于下一步，我们声称
$$
\开始{聚集}
\mathrm{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{E}{\mathrm{T}}-\mathrm{B}{\mathrm{T}}\right|^ {2}\right) \ll(\log \mathrm{T})^{-60} \ \mathrm{E}{\mathrm{T}}\left(\left|\mathrm{F}{\mathrm{T}}-\mathrm{C}{\mathrm{T}}\right|^ {2}\right) \ll(\log \log \mathrm{T})^{-60}
\结束{聚集}
$$
我们以引理开始第一次估计的证明。
引理 4.4.2。对于 $t \in \Omega_{\mathrm{T}}$，我们有
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}(t)=\sum{n \geqslant 1} \alpha(n) n^{-\sigma_{0}+i t}
$$
其中系数 $\alpha(n)$ 为零，除非 $n \leqslant \mathrm{Y}^{m_{1}}$ 和 $n$ 只有质因数 $\leqslant \mathrm{Y}$。此外 $|\alpha(n)| \leqslant 1$ 对所有 $n$ 和 $\alpha(n)=\mu(n) b_{\mathrm{T}}(n)$ 如果 $n$ 有 $\leqslant m_{1}$ 素因数, 用多重性计算，如果没有素幂 $p^{k}$ 除 $n$ 使得 $p^{k}>\mathrm{Y}$.
证明。自从
$$
\mathrm{E}{\mathrm{T}}=\exp {m_{1}}\left(-\mathrm{Q}{\mathrm{T}}\right)=\sum{j=0 }^{m_{1}} \frac{(-1)^{j}}{j !}\left(\sum_{p^{k} \leqslant \mathrm{Y}} \frac{1}{kp ^{k\left(\sigma_{0}+it\right)}}\right)^{j}
$$
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
其他相关科目课程代写：组合学Combinatorics集合论Set Theory概率论Probability组合生物学Combinatorial Biology组合化学Combinatorial Chemistry组合数据分析Combinatorial Data Analysis
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
