数学代写代考| Symmetric Key Systems 离散数学代写 - 代考代写：100%准时可靠您的作业代写专家

$10.4$ Symmetric Key Systems
A symmetric key cryptosystem (Fig. 10.6) uses the same secret key for encryption and decryption. The sender and the receiver first need to agree a shared key prior to communication. This needs to be done over a secure channel to ensure that the
$10.4$ Symmetric Key Systems
167
Fig. $10.6$ Symmetric key cryptosystem
shared key remains secret. Once this has been done they can begin to encrypt and decrypt messages using the secret key. Anyone who is able to encrypt a message has sufficient information to decrypt the message.

The encryption of a message is in effect a transformation from the space of messages $\mathscr{l} b$ to the space of cryptosystems $\mathbb{C}$. That is, the encryption of a message with key $k$ is an invertible transformation $f$ such that:
$$
f: \mathscr{M} \rightarrow^{k} \mathbb{C}
$$
The cipher text is given by $\mathrm{C}=\mathrm{E}{k}(\mathrm{M})$ where $\mathrm{M} \in \mathscr{l} b$ and $\mathrm{C} \in \mathbb{C}$. The legitimate receiver of the message knows the secret key $k$ (as it will have transmitted previously over a secure channel), and so the cipher text $\mathrm{C}$ can be decrypted by the inverse transformation $f^{-1}$ defined by: $$ f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow^{k} \mathscr{M} $$ Therefore, we have that $\mathrm{D}{k}(\mathrm{C})=\mathrm{D}{k}\left(\mathrm{E}{k}(\mathrm{M})\right)=\mathrm{M}$ the original plaintext message.

There are advantages and disadvantages to symmetric key systems (Table 10.2), and these include:
Examples of Symmetric Key Systems
(i) Caesar Cipher
The Caesar cipher may be defined using modular arithmetic. It involves a shift of three places for each letter in the plaintext, and the alphabetic letters are represented by the numbers $0-25$. The encyption is carried out by addition (modula 26). The encryption of a plaintext letter $x$ to a cipher letter $c$ is given by $^{3}$ :
${ }^{3}$ Here $x$ and $c$ are variables rather than the alphabetic characters ‘ $x$ ‘ and ‘ $c$ ‘.Table. $10.2$ Advantages and disadvantages of symmetric key systems
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline Advantages Encryption process is simple (as the same key is used for encryption and decryption) & Disadvantages A shared key must be agreed between two parties \
\hline It is faster than public key systems & Key exchange is difficult as there needs to be a secure channel between the two parties (to ensure that the key remains secret) \
\hline It uses less computer resources than public key systems & If a user has $n$ trading partners then $n$ secret keys must be maintained (one for each partner) \
\hline It uses a different key for communication with every different party & There are problems with the management and security of all of these keys (due to volume of keys that need to be maintained) \
\hline & Authenticity of origin or receipt cannot be \
& proved (as key is shared) \
\hline
\end{tabular}
$$
c=x+3(\bmod 26)
$$
Similarly, the decryption of a cipher letter $c$ is given by:
$$
x=c-3(\bmod 26)
$$
(ii) Generalized Caesar Cipher
This is a generalisation of the Caesar cipher to a shift of $k$ (the Caesar cipher involves a shift of three). This is given by:
$$
\begin{array}{cl}
f_{k}=\mathrm{E}{k}(x)=x+k(\bmod 26) & 0 \leq k \leq 25 \ f{k}^{-1}=\mathrm{D}{k}(c)=c-k(\bmod 26) & 0 \leq k \leq 25 \end{array} $$ (iii) Affine Transformation This is a more general transformation and is defined by: $$ \begin{gathered} f{(a, b)}=\mathrm{E}{(a, b)}(x)=a x+b(\bmod 26) \quad 0 \leq a, b, x \leq 25 \operatorname{and} \operatorname{gcd}(a, 26)=1 \ f{(a, b)}^{-1}=\mathrm{D}_{(a, b)}(c)=a^{-1}(c-b)(\bmod 26) \quad a^{-1} \text { is the inverse of } a \bmod 26
\end{gathered}
$$

$10.4$ 对称密钥系统
对称密钥密码系统（图 10.6）使用相同的密钥进行加密和解密。发送方和接收方首先需要在通信之前就共享密钥达成一致。这需要通过安全通道完成，以确保
$10.4$ 对称密钥系统
167
图 $10.6$ 对称密钥密码系统
共享密钥仍然保密。完成此操作后，他们可以开始使用密钥加密和解密消息。任何能够加密消息的人都有足够的信息来解密消息。

消息的加密实际上是从消息空间 $\mathscr{l} b$ 到密码系统 $\mathbb{C}$ 空间的转换。也就是说，使用密钥 $k$ 对消息进行加密是一个可逆变换 $f$，使得：
$$
f: \mathscr{M} \rightarrow^{k} \mathbb{C}
$$
密文由 $\mathrm{C}=\mathrm{E}{k}(\mathrm{M})$ 给出，其中 $\mathrm{M} \in \mathscr{l} b$ 和 $\mathrm {C} \in \mathbb{C}$。消息的合法接收者知道密钥 $k$（因为它之前将通过安全通道传输），因此密文 $\mathrm{C}$ 可以通过逆变换 $f^{- 解密1}$ 定义为： $$ f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow^{k} \mathscr{M} $$ 因此，我们有 $\mathrm{D}{k}(\mathrm{C})=\mathrm{D}{k}\left(\mathrm{E}{k}(\mathrm{M} )\right)=\mathrm{M}$ 原始明文消息。

对称密钥系统（表 10.2）有利有弊，包括：
对称密钥系统的例子
(i) 凯撒密码
凯撒密码可以使用模运算来定义。它涉及将明文中的每个字母移动三个位置，并且字母由数字 $0-25$ 表示。加密是通过加法进行的（模 26）。明文字母 $x$ 到密文字母 $c$ 的加密由 $^{3}$ 给出：
${ }^{3}$ 这里的 $x$ 和 $c$ 是变量，而不是字母字符’$x$’和’$c$’.Table。 $10.2$ 对称密钥系统的优缺点
\begin{表格}{|l|l|}
\hline 优点加密过程简单（加密和解密使用相同的密钥） & 缺点共享密钥必须由两方商定 \
\hline 它比公钥系统更快，并且密钥交换很困难，因为双方之间需要有一个安全通道（以确保密钥保持秘密）\
\hline 它比公钥系统使用更少的计算机资源 & 如果用户有 $n$ 贸易伙伴，则必须维护 $n$ 密钥（每个伙伴一个）\
\hline 它使用不同的密钥与每个不同的方进行通信&所有这些密钥的管理和安全性都存在问题（由于需要维护的密钥量）\
\hline & 原产地或收据的真实性不能是 \
& 证明（因为密钥是共享的）\
\hline
\end{表格}
$$
c=x+3(\bmod 26)
$$
类似地，密码字母 $c$ 的解密由下式给出：
$$
x=c-3(\bmod 26)
$$
(ii) 广义凯撒密码
这是凯撒密码对 $k$ 移位的概括（凯撒密码涉及到 3 的移位）。这是由以下给出的：
$$
\开始{数组}{cl}
f_{k}=\mathrm{E}{k}(x)=x+k(\bmod 26) & 0 \leq k \leq 25 \ f{k}^{-1}=\mathrm{D}{k}(c)=c-k(\bmod 26) & 0 \leq k \leq 25 \结束{数组} $$ (iii) 仿射变换这是一个更一般的转换，定义为： $$ \开始{聚集} f{(a, b)}=\mathrm{E}{(a, b)}(x)=a x+b(\bmod 26) \quad 0 \leq a, b, x \leq 25 \operatorname {and} \operatorname{gcd}(a, 26)=1 \ f{(a, b)}^{-1}=\mathrm{D}_{(a, b)}(c)=a^{-1}(cb)(\bmod 26) \quad a^{ -1} \text { 是 } a \bmod 26 的倒数
\结束{聚集}
$$

图论代考

自然数 $\mathbb{N}$ 由数字 $\{1,2,3, \ldots\}$ 组成。整数 $\mathbb{Z}$ 由 $\{\ldots-2,-1,0,1,2, \ldots\}$ 组成。有理数 $\mathbb{Q}$ 由 $\left\{{ }^{p} /_{q}\right.$ 形式的所有数字组成，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，$ \left.q \neq 0\right\}$。实数 $\mathbb{R}$ 被定义为有理数收敛序列的集合，它们是有理数的超集。它们包含有理数和无理数。复数 $\mathbb{C}$ 由 $\{a+bi$ 形式的所有数字组成，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 和 $i=\sqrt{-} 1\}美元。毕达哥拉斯三元组（图 3.2）是满足毕达哥拉斯方程 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 的三个整数的组合。有无数个这样的三元组，这种三元组的一个例子是 $3,4,5$，因为 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$。毕达哥拉斯学派发现了音乐和数字之间的数学关系，他们的哲学是数字隐藏在从音乐到科学和自然的一切事物中。这导致了他们的哲学，即“一切都是数字”。

数学代写| DISCRETE MATHEMATICS代考请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]