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统计代写|The Number of Records抽样理论代考

统计代写|The Number of Records 抽样理论代考

统计代写

Consider a sequence $W_{1}, W_{2}, \ldots$ of independent identically distributed random variables. Moreover, assume that the common distribution of these random variables is continuous. In particular, if $i \neq j$ then $P\left(W_{i}=W_{j}\right)=0$.
A record is said to occur at time $n \geq 1$ if
$$
W_{n}=\max \left{W_{1} \ldots, W_{n}\right}
$$
Note that according to the definition there is always a record at $n=1$. Let $R_{n}$ be the number of records up to time $n$. Let $X_{i}=1$ if there is a record at time $i$ and $X_{i}=0$ otherwise. It is easy to see that
$$
R_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}
$$
We will use this representation of $R_{n}$ as a sum of Bernoulli random variables to compute its mean.
4 The Number of Records
227

  • For $n \geq 1$, the probability that there is a record at time $n$ is
    $$
    P\left(X_{n}=1\right)=\frac{1}{n}
    $$
    We now prove this claim. Let
    $$
    M_{n}=\max \left{W_{1} \ldots, W_{n}\right}
    $$
    The maximum $M_{n}$ is equal to some $W_{i}$ for exactly one $i$ in ${1, \ldots, n}$ (this is where the assumption that the distribution is continuous is critical). Thus,
    $$
    \sum_{i=1}^{n} P\left(M_{n}=W_{i}\right)=1
    $$
    Because the $W_{i}$ are identically distributed the maximum $M_{n}$ is equally likely to occur at any time $i \leq n$. That is,
    $$
    P\left(M_{n}=W_{1}\right)=P\left(M_{n}=W_{2}\right)=\cdots=P\left(M_{n}=W_{n}\right)
    $$
    Therefore,
    $$
    \sum_{i=1}^{n} P\left(M_{n}=W_{i}\right)=n P\left(M_{n}=W_{n}\right)=1
    $$
    Hence,
    $$
    P\left(M_{n}=W_{n}\right)=\frac{1}{n}
    $$
    Note now that the event $\left{M_{n}=W_{n}\right}$ is exactly the event $\left{X_{n}=1\right}$ (i.e., there is a record at time $n$ ). This proves the claim.
  • The expected number of records up to time $n$ is,
    $$
    E\left(R_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
    $$
    To prove the formula for $E\left(R_{n}\right)$ we just use that $R_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ and that $E\left(X_{i}\right)=1 / i$ for $i=1,2 \ldots, n$.

As $n$ gocs to infinity $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$ can be approximated by $\ln (n)$. Hence, the number of records grows very slowly with $n$. For instance, up to time $n=10^{5}$ we expect only about 11 records.

考虑一个由独立同分布随机变量组成的序列 $W_{1}, W_{2}, \ldots$。此外,假设这些随机变量的共同分布是连续的。特别是,如果 $i \neq j$ 那么 $P\left(W_{i}=W_{j}\right)=0$。
如果一个记录发生在时间 $n \geq 1$
$$
W_{n}=\max \left{W_{1} \ldots, W_{n}\right}
$$
请注意,根据定义,在 $n=1$ 处始终存在一条记录。令 $R_{n}$ 为截至时间 $n$ 的记录数。如果在时间 $i$ 有记录,则设 $X_{i}=1$,否则设 $X_{i}=0$。很容易看出
$$
R_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}
$$
我们将使用 $R_{n}$ 的这种表示作为伯努利随机变量的总和来计算其均值。
4 记录数
227

  • 对于$n \geq 1$,在时间$n$ 有记录的概率是
    $$
    P\left(X_{n}=1\right)=\frac{1}{n}
    $$
    我们现在证明这个说法。让
    $$
    M_{n}=\max \left{W_{1} \ldots, W_{n}\right}
    $$
    对于 ${1, \ldots, n}$ 中的恰好一个 $i$,最大值 $M_{n}$ 等于某个 $W_{i}$(这是假设分布是连续的关键所在) )。因此,
    $$
    \sum_{i=1}^{n} P\left(M_{n}=W_{i}\right)=1
    $$
    因为$W_{i}$ 是同分布的,所以最大值$M_{n}$ 在任何时候$i \leq n$ 出现的可能性相同。那是,
    $$
    P\left(M_{n}=W_{1}\right)=P\left(M_{n}=W_{2}\right)=\cdots=P\left(M_{n}=W_{n} \正确的)
    $$
    所以,
    $$
    \sum_{i=1}^{n} P\left(M_{n}=W_{i}\right)=n P\left(M_{n}=W_{n}\right)=1
    $$
    因此,
    $$
    P\left(M_{n}=W_{n}\right)=\frac{1}{n}
    $$
    现在请注意,事件 $\left{M_{n}=W_{n}\right}$ 正是事件 $\left{X_{n}=1\right}$(即,有在时间 $n$ 记录)。这证明了这一说法。
  • 到时间 $n$ 的预期记录数是,
    $$
    E\left(R_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
    $$
    为了证明 $E\left(R_{n}\right)$ 的公式,我们只需使用 $R_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ 和 $E\left(X_{ i}\right)=1 / i$ for $i=1,2 \ldots, n$。

由于 $n$ gocs 到无穷大 $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$ 可以近似为 $\ln (n)$。因此,记录的数量随着 $n$ 的增长非常缓慢。例如,到时间 $n=10^{5}$ 我们预计只有大约 11 条记录。

统计代考

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抽样理论(sampling theory)是关于从总体中抽取具有代表性的和适当的样本以得出有效推论的原则和分析技术的一种统计学理论。包括两个主题:(1)样本如何抽取,即抽样方法的问题。如随机抽样、分层抽样、分层等比抽样、系统抽样、群类抽样、有限总体抽样等;(2)样本大小的问题。

计量经济学代考

计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础,运用数学、统计方法与电脑技术,以建立经济计量模型为主要手段,定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法,使之成为经济关系测定的特殊方法。

相对论代考

相对论(英語:Theory of relativity)是关于时空和引力的理论,主要由愛因斯坦创立,依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化,它们共同奠定了现代物理学的基础。

编码理论代写

编码理论(英语:Coding theory)是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩加密纠错,最近也用于网络编码中。不同学科(如信息论电机工程学数学语言学以及计算机科学)都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正(或检测)数据传输中的错误。

编码共分四类:[1]

  1. 数据压缩(或信源编码
  2. 前向错误更正(或信道编码
  3. 加密编码
  4. 线路码

数据压缩和前向错误更正可以一起考虑

复分析代考

学习易分析也已经很冬年了,七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作,方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科,主要是研究解析函数,亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ,首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根, 极坐标与 $x y$ 坐标的转换,复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题,此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面,从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式,这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后,就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中, 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后,就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。

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