统计代写|The Ratio of Two Gamma Random Variable抽样理论代考
统计代写
The covariance is a measure of dependence between two random variables. Next we give the definition.
- Let $X$ and $Y$ be two random variables such that $E\left(X^{2}\right)$ and $E\left(Y^{2}\right)$ are finite. The covariance of $X$ and $Y$ is defined by
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
$$
The definition above is valid for discrete and continuous random variables. In this chapter we will only deal with continuous random variables. The covariance computations will be based on the linearity of the expectation that we now recall. - Let $X$ and $Y$ be random variables and $a$ be a real number. Assume that $E|X|$ and $E|Y|$ are finite, then
$$
E(a X)=a E(X),
$$
$$
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
$$
These formulas will be proved in a later section of this
These formulas will be proved in a later section of this chapter.
We now state a computational formula for the covariance. - A computational formula for the covariance is
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)
$$
187
Covariance and Independence
By taking the expectation on both sides and using that the expectation is linear we get
Using that $E(X)$ and $E(Y)$ are constants and linearity of the expectation,
Hence,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(X, Y) &=E(X Y)-E(X) E(Y)-E(X) E(Y)+E(X) E(Y) \
&=E(X Y)-E(X) E(Y) .
\end{aligned}
$$
The formula is proved.
Example 1 Let $(X, Y)$ be uniformly distributed on the triangle
$$
\mathcal{T}={(x, y): 0<y<x<2}
$$
What is the covariance of $(X, Y)$ ?
It is easy to see that the density of $(X, Y)$ is $f(x, y)=1 / 2$ for $(x, y)$ in $\mathcal{T}$ and 0 elsewhere. To get the covariance we need to compute $E(X), E(Y)$, and $E(X Y)$. There are two methods to compute $E(X)$ and $E(Y)$. Either we compute the marginal densitiess of $X$ and $Y$ and then $E(X)$ and $E Y$ ) or we cañ jus̄t uŝe the joint density to here. We will use the following formula:
$$
E^{\prime}(g(X, Y))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y
$$
If $F|g(X, Y)|$ is finite the formula is valid and the order of integration can be changed. Using $g(x, y)=x$, we get
- 令 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量，使得 $E\left(X^{2}\right)$ 和 $E\left(Y^{2}\right)$ 是有限。 $X$ 和 $Y$ 的协方差定义为
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]
$$
上面的定义对离散和连续随机变量都有效。在本章中，我们将只处理连续随机变量。协方差计算将基于我们现在回忆的期望的线性度。 - 令 $X$ 和 $Y$ 为随机变量，$a$ 为实数。假设$E|X|$和$E|Y|$是有限的，则
$$
E(a X)=a E(X),
$$
$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)
$$
这些公式将在后面部分证明
这些公式将在后面部分证明
我们现在陈述协方差的计算公式。 - 协方差的计算公式是
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E (XY)-E(X) E(Y)
$$
187
协方差和独立性
通过取两边的期望并使用期望是线性的，我们得到
使用$E(X)$ 和 $E(Y)$ 是期望的常数和线性，
因此，
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(X , Y) &=E(XY)-E(X) E(Y)-E(X) E(Y)+E(X) E(Y) \
&=E(XY)-E (X) E(Y) .
\end{aligned}
$$
公式证明。
例1 令$(X, Y)$均匀分布在三角形上
$$
\mathcal{T}={(x, y): 0$$
$(X, Y)$ 的协方差是多少？
很容易看出密度对于 $\mathcal{T}$ 中的 $(x, y)$ 和其他地方的 0，$(X, Y)$ 的 y 是 $f(x, y)=1 / 2$。为了得到协方差，我们需要计算 $E(X)、E(Y)$ 和 $E(X Y)$。有两种方法可以计算 $E(X)$ 和 $E(Y)$。要么我们计算$X$ 和$Y$ 的边际密度，然后计算$E(X)$ 和$E Y$)，或者我们可以在这里计算联合密度。我们将使用以下公式：
$$
E^{\prime}(g(X, Y))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty} ^{+\infty} g(x, y) f(x, y) dxdy
$$
如果 $F|g(X, Y)|$ 是有限的，则公式有效且积分阶可以更改。使用 $g(x, y)=x$，我们得到
统计代考
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
