统计代写|The Coupling Inequality 抽样理论代考
统计代写
A coupling between random variables $X$ and $Y$ can be used to evaluate how close the distribution of $X$ is from the distribution of $Y$. A natural way to compare the two distributions is to compute
$$
|P(X=k)-P(Y=k)|
$$
for every positive integer $k$ and see how large this difference can be. We will actually use a more stringent metric. Instead of comparing the distributions for individual $k$ ‘s, we will compare them on sets of integers. More precisely, let $D$ be a set of positive integers and then we will bound
$$
|P(X \in D)-P(Y \in D)|=\left|\sum_{k \in D}(P(X=k)-P(Y=k))\right|
$$
3 The Coupling Inequality
233
The following probability property will be useful. Recall that for any events $A$ and $B$,
$$
P(A)=P(A \cap B)+P\left(A \cap B^{c}\right)
$$
Hence,
$$
P(A) \leq P(B)+P\left(A \cap B^{c}\right)
$$
and therefore,
$$
P(A)-P(B) \leq P\left(A \cap B^{c}\right)
$$
Let $D$ be a set of positive integers, and using the inequality above for
$$
A={X \in D} \text { and } B={Y \in D}
$$
we get
$$
P(X \in D)-P(Y \in D) \leq P(X \in D, Y \notin D)
$$
Since the event ${X \in D, Y \notin D}$ is included in the event ${X \neq Y}$,
$$
P(X \in D)-P(Y \in D) \leq P(X \neq Y)
$$
Similarly,
$$
P(Y \in D)-P(X \in D) \leq P(X \neq Y)
$$
Therefore,
$$
|P(X \in D)-P(Y \in D)| \leq P(X \neq Y)
$$
This is the coupling inequality. It gives an upper bound on how far away the distribution of $X$ is from the distribution of $Y$.
Note that the inequality holds for any $D$. It does not matter if we are comparing the distributions of $X$ and $Y$ on a small set $D$ or on a large set $D$. The bound $P(X \neq$ $Y$ ) does not depend on $D$.
We now apply the coupling inequality to two Poisson distributions.
Example 1 We use the coupling from Sect. 2. Let $X$ be a mean $a$ Poisson random variable. Let $V$ be a mean $b-a$ Poisson random variable independent of $X$ and $Y=X+V$. Then, $Y$ is a Poisson random variable with mean $b$.
随机变量 $X$ 和 $Y$ 之间的耦合可用于评估 $X$ 的分布与 $Y$ 的分布的接近程度。比较两种分布的一种自然方法是计算
$$
|P(X=k)-P(Y=k)|
$$
对于每个正整数 $k$，看看这种差异有多大。我们实际上将使用更严格的指标。我们将在整数集上比较它们，而不是比较单个 $k$ 的分布。更准确地说，让 $D$ 是一组正整数，然后我们将绑定
$$
|P(X \in D)-P(Y \in D)|=\left|\sum_{k \in D}(P(X=k)-P(Y=k))\right|
$$
3 耦合不等式
233
以下概率属性将很有用。回想一下，对于任何事件 $A$ 和 $B$，
$$
P(A)=P(A \cap B)+P\left(A \cap B^{c}\right)
$$
因此，
$$
P(A) \leq P(B)+P\left(A \cap B^{c}\right)
$$
因此，
$$
P(A)-P(B) \leq P\left(A \cap B^{c}\right)
$$
令 $D$ 是一组正整数，并使用上面的不等式
$$
A={X \in D} \text { 和 } B={Y \in D}
$$
我们得到
$$
P(X \in D)-P(Y \in D) \leq P(X \in D, Y \notin D)
$$
由于事件${X\in D, Y\notin D}$包含在事件${X\neq Y}$中，
$$
P(X \in D)-P(Y \in D) \leq P(X \neq Y)
$$
相似地，
$$
P(Y \in D)-P(X \in D) \leq P(X \neq Y)
$$
所以，
$$
|P(X \in D)-P(Y \in D)| \leq P(X \neq Y)
$$
这就是耦合不等式。它给出了 $X$ 的分布与 $Y$ 的分布相距多远的上限。
请注意，不等式适用于任何 $D$。我们是在小集合 $D$ 上还是在大集合 $D$ 上比较 $X$ 和 $Y$ 的分布并不重要。有界 $P(X \neq$ $Y$ ) 不依赖于 $D$。
我们现在将耦合不等式应用于两个泊松分布。
示例 1 我们使用 Sect 的耦合。 2. 令 $X$ 为均值 $a$ 泊松随机变量。令 $V$ 为独立于 $X$ 和 $Y=X+V$ 的平均 $b-a$ 泊松随机变量。那么，$Y$ 是一个均值为 $b$ 的泊松随机变量。
统计代考
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相对论代考
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编码理论代写
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
