统计代写|Variance of a Sum 抽样理论代考
统计代写
- Let $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ be a sequence of $n$ random variables. Then,
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) .
$$
Note that for $n=2$ we get
$$
\operatorname{Var}\left(X_{1}+X_{2}\right)=\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)+2 \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) .
$$
For $n=3$,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Var}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)=& \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)+\operatorname{Var}\left(X_{3}\right)+\
& 2\left(\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)+\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{3}\right)+\operatorname{Cov}\left(X_{2}, X_{3}\right)\right) .
\end{aligned}
$$
The proof of the formula is based on the following algebra identity that can be proved by induction on $n$. Let $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ be $n$ real numbers. Then,
$$
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} a_{j}
$$
( )
223
2 The Matching Problem Using this formula for $a_{i}=X_{i}-E\left(X_{i}\right)$,
$$
\begin{aligned}
\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-E\left(X_{i}\right)\right)\right)^{2}=& \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-E\left(X_{i}\right)\right)^{2} \
&+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i \mid 1}^{n}\left(X_{i}-E\left(X_{i}\right)\right)\left(X_{j}-E\left(X_{j}\right)\right)
\end{aligned}
$$
Taking expectations on both sides of the equality yields,
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) .
$$
This proves the formula.
A special case of this formula will be particularly useful. - Let $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ be a sequence of $n$ random variables. Assume that $\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\cdots=\operatorname{Var}\left(X_{n}\right)$ and that $\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)$ for all $i \neq j$. Then,
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=n \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+n(n-1) \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) .
$$
This formula is easy to see. Since all the variances are equal the sum of the $n$ variances is just $n \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)$. There are $\left(\begin{array}{c}n \ 2\end{array}\right)$ ways of picking $i \neq j$ and each $\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)$ appears twice in the expansion. Hence, the sum of covariances is
$$
2\left(\begin{array}{l}
n \
2
\end{array}\right) \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=n(n-1) \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)
$$
- 令 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是 $n$ 个随机变量的序列。然后，
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{i} \right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right ) .
$$
请注意，对于 $n=2$，我们得到
$$
\operatorname{Var}\left(X_{1}+X_{2}\right)=\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+\operatorname{Var}\left(X_{2}\ right)+2 \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) 。
$$
对于 $n=3$，
$$
\开始{对齐}
\operatorname{Var}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)=& \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+\operatorname{Var}\left (X_{2}\right)+\operatorname{Var}\left(X_{3}\right)+\
& 2\left(\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)+\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{3}\right)+\operatorname{ Cov}\left(X_{2}, X_{3}\right)\right) 。
\end{对齐}
$$
该公式的证明基于以下代数恒等式，可以通过对 $n$ 的归纳来证明。令 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 为 $n$ 个实数。然后，
$$
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}+2 \sum_{ i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i} a_{j}
$$
( )
223
2 匹配问题 对$a_{i}=X_{i}-E\left(X_{i}\right)$使用这个公式，
$$
\开始{对齐}
\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-E\left(X_{i}\right)\right)\right)^{2}=& \sum_{i= 1}^{n}\left(X_{i}-E\left(X_{i}\right)\right)^{2} \
&+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i \mid 1}^{n}\left(X_{i}-E\left(X_{i}\right)\右）\左（X_{j}-E\左（X_{j}\右）\右）
\end{对齐}
$$
考虑等式两边的期望，
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{i} \right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right ) .
$$
这证明了公式。
这个公式的一个特例将特别有用。 - 令 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是 $n$ 个随机变量的序列。假设 $\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\cdots=\operatorname{Var}\left(X_{n} \right)$ 和 $\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 为所有$i \neq j$。然后，
$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=n \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+n(n-1) \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) 。
$$
这个公式很容易看出。由于所有方差都相等，$n$ 方差之和只是 $n \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)$。有 $\left(\begin{array}{c}n \ 2\end{array}\right)$ 方法来选择 $i \neq j$ 和每个 $\operatorname{Cov}\left(X_{i }, X_{j}\right)$ 在展开式中出现两次。因此，协方差之和为
$$
2\left(\begin{数组}{l}
n \
2
\end{数组}\right) \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=n(n-1) \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{ 2}\右）
$$
统计代考
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编码理论代写
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
