统计代写|Transformations of Random Vectors抽样理论代考
统计代写
3 Transformations of Random Vectors
A consequence of multivariate calculus is the following formula for the density of a transformed random vector:
- Let $(X, Y)$ be a random vector with density $f$. Let $(U, V)$ be such that
$$
U=g_{1}(X, Y) \text { and } V=g_{2}(X, Y) .
$$
3 Transformations of Random Vectors Assume that the transformation $(x, y) \longrightarrow\left(g_{1}(x, y), g_{2}(x, y)\right)$ is one to one with inverse
$$
X=h_{1}(U, V) \text { and } Y=h_{2}(U, V)
$$
Then the density of the transformed random vector $(U, V)$ is
$$
f\left(h_{1}(u, v), h_{2}(u, v)\right)|J(u, v)|
$$
where the Jacobian $J(u, v)$ is the following determinant:
$$
\left|\begin{array}{ll}
\partial h_{1} / \partial u & \partial h_{1} / \partial v \
\partial h_{2} / \partial u & \partial h_{2} / \partial v
\end{array}\right|
$$
We now use the preceding formula on an example.
Example 6 Let $X$ and $Y$ be two independent standard normal distributions. Let $U=$ $X / Y$ and $V=X$. What is the joint density of $(U, V)$ ?
Let $u=x / y$ and $v=x$. Then, solving in $x$ and $y$ we get $x=v$ and $y=v / u$. Hence, $(x, y) \longrightarrow(u, v)$ is a one to one transformation from $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{}$ to $\mathbb{R}^{} \times \mathbb{R}$ where $\mathbb{R}^{*}$ is the set of all real numbers except 0 . Therefore, the support of $(U, V)$ is all $(u, v)$ where $u \neq 0$.
We now compute the Jacobian
$$
J(u, v)=\left|\begin{array}{cc}
0 & 1 \
-v / u^{2} & 1 / u
\end{array}\right|=v / u^{2}
$$
Since we assume that $X$ and $Y$ are independent standard normal distributions,
$$
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^{2} / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-y^{2} / 2}
$$
Therefore, the joint density of $(U, V)$ is for all $u \neq 0$ and all $v$,
$$
f(u, v)=\frac{1}{2 \pi} e^{-v^{2} / 2} e^{-v^{2} /\left(2 u^{2}\right)}|J(u, v)|=\frac{1}{2 \pi} \exp \left(\frac{-v^{2}}{2}\left(1+\frac{1}{u^{2}}\right)\right) \frac{|v|}{u^{2}}
$$
We now use this joint density to get the marginal density of $U$. We integrate the density above in $v$ to get
$$
f_{U}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} \exp \left(\frac{-v^{2}}{2}\left(1+\frac{1}{u^{2}}\right)\right) \frac{|v|}{u^{2}} d v
$$
3 随机向量的变换
多元微积分的一个结果是转换后的随机向量的密度公式如下：
- 令 $(X, Y)$ 为密度为 $f$ 的随机向量。让$(U, V)$ 是这样的
$$
U=g_{1}(X, Y) \text { 和 } V=g_{2}(X, Y) 。
$$
3 随机向量的变换假设变换$(x, y) \longrightarrow\left(g_{1}(x, y), g_{2}(x, y)\right)$ 是一对一的逆
$$
X=h_{1}(U, V) \text { 和 } Y=h_{2}(U, V)
$$
那么变换后的随机向量$(U, V)$的密度为
$$
f\left(h_{1}(u, v), h_{2}(u, v)\right)|J(u, v)|
$$
其中雅可比 $J(u, v)$ 是以下行列式：
$$
\left|\begin{数组}{ll}
\partial h_{1} / \partial u & \partial h_{1} / \partial v \
\partial h_{2} / \partial u & \partial h_{2} / \partial v
\end{数组}\right|
$$
我们现在在一个例子中使用前面的公式。
例 6 令 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的标准正态分布。令 $U=$$X/Y$ 和 $V=X$。 $(U, V)$ 的联合密度是多少？
令 $u=x / y$ 和 $v=x$。然后，求解 $x$ 和 $y$ 我们得到 $x=v$ 和 $y=v / u$。因此，$(x, y) \longrightarrow(u, v)$ 是从 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{}$ 到 $\mathbb{R}^{ 的一对一转换} \times \mathbb{R}$ 其中 $\mathbb{R}^{*}$ 是除 0 之外的所有实数的集合。因此，$(U, V)$ 的支持都是 $(u, v)$ 其中$u \neq 0$。
我们现在计算雅可比行列式
$$
J(u, v)=\left|\begin{数组}{cc}
0 & 1 \
-v / u^{2} & 1 / u
\end{数组}\right|=v / u^{2}
$$
由于我们假设 $X$ 和 $Y$ 是独立的标准正态分布，
$$
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^{2} / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ -y^{2} / 2}
$$
因此，$(U, V)$ 的联合密度对于所有的 $u \neq 0$ 和所有的 $v$，
$$
f(u, v)=\frac{1}{2 \pi} e^{-v^{2} / 2} e^{-v^{2} /\left(2 u^{2}\right )}|J(u, v)|=\frac{1}{2 \pi} \exp \left(\frac{-v^{2}}{2}\left(1+\frac{1}{ u^{2}}\right)\right) \frac{|v|}{u^{2}}
$$
我们现在使用这个联合密度来获得 $U$ 的边际密度。我们将上面的密度整合到 $v$ 中得到
$$
f_{U}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi} \exp \left(\frac{-v^{2}}{2}\left (1+\frac{1}{u^{2}}\right)\right) \frac{|v|}{u^{2}} dv
$$
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
