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数学代考|The Analytic Center 运筹学代写

运筹学(Operation)是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象,然后用像是统计、数学模型和算法等方法加以解决,以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。

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运筹学代写

The new interior-point algorithms introduced by Karmarkar move by successive steps inside the feasible region. It is the interior of the feasible set rather than the vertices and edges that plays a dominant role in this type of algorithm. In fact, these algorithms purposely avoid the edges of the set, only eventually converging to one as a solution.

Our study of these algorithms begins in the next section, but it is useful at this point to introduce a concept that definitely focuses on the interior of a set, termed the set’s analytic center. As the name implies, the center is away from the edge. In addition, the study of the analytic center introduces a special structure, termed a barrier or potential that is fundamental to interior-point methods.
Consider a set $\mathcal{S}$ in a subset of $\mathcal{X}$ of $E^{n}$ defined by a group of inequalities as
$$
\mathcal{S}=\left{\mathbf{x} \in \mathcal{X}: g_{j}(\mathbf{x}) \geqslant 0, j=1,2, \ldots, m\right}
$$
5 Interior-Point Methods
138 and assume that the functions $g_{j}$ are continuous. $\mathcal{S}$ has a nonempty interior $\mathcal{S}=$ $\left{\mathbf{x} \in \mathcal{X}: g_{j}(\mathbf{x})>0\right.$, all $\left.j\right}$. Associated with this definition of the set is the potential function
$$
\psi(\mathbf{x})=-\sum_{j=1}^{m} \log g_{j}(\mathbf{x})
$$
defined on $\mathcal{S}$.
The analytic center of $\mathcal{S}$ is the vector (or set of vectors) that minimizes the potential; that is, the vector (or vectors) that solve
$$
\min \psi(\mathbf{x})=\min \left{-\sum_{j=1}^{m} \log g_{j}(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathcal{X}, g_{j}(\mathbf{x})>0 \text { for each } j\right}
$$
Example 1 (A Cube) Consider the set $\mathcal{S}$ defined by $x_{i} \geqslant 0$, $\left(1-x_{i}\right) \geqslant 0$, for $i=1,2, \ldots, n$. This is $\mathcal{S}=[0,1]^{n}$, the unit cube in $E^{n}$. The analytic center can be found by differentiation to be $x_{i}=1 / 2$, for all $i$. Hence, the analytic center is identical to what one would normally call the center of the unit cube.

In general, the analytic center depends on how the set is defined-on the particular inequalities used in the definition. For instance, the unit cube is also defined by the inequalities $x_{i} \geqslant 0$, $\left(1-x_{i}\right)^{d} \geqslant 0$ with odd $d>1$. In this case the solution is $x_{i}=1 /(d+1)$ for all $i$. For large $d$ this point is near the inner corner of the unit cube.

Also, the addition of redundant inequalities can change the location of the analytic center. For example, repeating a given inequality will change the center’s location.

There are several sets associated with linear programs for which the analytic center is of particular interest. One such set is the feasible region itself. Another is the set of optimal solutions. There are also sets associated with dual and primal-dual formulations. All of these are related in important ways.

Let us illustrate by considering the analytic center associated with a bounded polytope $\Omega$ in $E^{m}$ represented by $n(>m)$ linear inequalities; that is,
$$
\Omega=\left{\mathbf{y} \in E^{m}: \mathbf{c}^{T}-\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \geqslant \mathbf{0}\right}
$$
where $\mathbf{A} \in E^{m \times n}$ and $\mathbf{c} \in E^{n}$ are given and $\mathbf{A}$ has rank $m$. Denote the interior of $\Omega$ by
$$
\stackrel{\Omega}{\Omega}=\left{\mathbf{y} \in E^{m}: \mathbf{c}^{T}-\mathbf{y}^{T} \mathbf{A}>\mathbf{0}\right}
$$

数学代考|Operations Research运筹学代写

Karmarkar 引入的新内点算法在可行区域内连续移动。在这类算法中起主导作用的是可行集的内部而不是顶点和边。事实上,这些算法故意避开集合的边缘,最终收敛到一个作为解决方案。

我们对这些算法的研究从下一节开始,但在这一点上引入一个明确关注集合内部的概念是有用的,称为集合的分析中心。顾名思义,中心远离边缘。此外,分析中心的研究引入了一种特殊的结构,称为障碍或势能,它是内点方法的基础。
考虑由一组不等式定义的 $E^{n}$ 的 $\mathcal{X}$ 子集中的集合 $\mathcal{S}$
$$
\mathcal{S}=\left{\mathbf{x} \in \mathcal{X}: g_{j}(\mathbf{x}) \geqslant 0, j=1,2, \ldots, m\right }
$$
5 内点法
138 并假设函数 $g_{j}$ 是连续的。 $\mathcal{S}$ 有一个非空内部 $\mathcal{S}=$ $\left{\mathbf{x} \in \mathcal{X}: g_{j}(\mathbf{x})>0 \right.$,所有 $\left.j\right}$。与集合的这个定义相关的是势函数
$$
\psi(\mathbf{x})=-\sum_{j=1}^{m} \log g_{j}(\mathbf{x})
$$
在 $\mathcal{S}$ 上定义。
$\mathcal{S}$ 的解析中心是使势最小化的向量(或向量集);即求解的向量(或多个向量)
$$
\min \psi(\mathbf{x})=\min \left{-\sum_{j=1}^{m} \log g_{j}(\mathbf{x}): \mathbf{x} \在 \mathcal{X} 中,g_{j}(\mathbf{x})>0 \text { 对于每个 } j\right}
$$
示例 1(一个立方体)考虑由 $x_{i} \geqslant 0$、$\left(1-x_{i}\right) \geqslant 0$ 定义的集合 $\mathcal{S}$,对于 $i= 1,2,\ldots,n$。这是 $\mathcal{S}=[0,1]^{n}$,$E^{n}$ 中的单位立方体。对于所有的$i$,分析中心可以通过微分得到$x_{i}=1 / 2$。因此,分析中心与人们通常所说的单位立方体的中心相同。

一般来说,分析中心取决于集合是如何定义的——基于定义中使用的特定不等式。例如,单位立方体也由不等式 $x_{i} \geqslant 0$、$\left(1-x_{i}\right)^{d} \geqslant 0$ 和奇数 $d>1$ 定义.在这种情况下,对于所有 $i$,解决方案是 $x_{i}=1 /(d+1)$。对于大的$d$,这个点靠近单位立方体的内角。

此外,添加冗余不等式可以改变分析中心的位置。例如,重复给定的不等式将改变中心的位置。

有几个与分析中心特别感兴趣的线性程序相关的集合。一个这样的集合是可行区域本身。另一个是一组最优解。还有与对偶和原始对偶公式相关的集合。所有这些都以重要的方式相关。

让我们通过考虑与 $E^{m}$ 中由 $n(>m)$ 线性不等式表示的有界多面体 $\Omega$ 相关的解析中心来说明;那是,
$$
\Omega=\left{\mathbf{y} \in E^{m}: \mathbf{c}^{T}-\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \geqslant \mathbf{0 }\正确的}
$$
其中 $\mathbf{A} \in E^{m \times n}$ 和 $\mathbf{c} \in E^{n}$ 给出并且 $\mathbf{A}$ 的排名为 $m$。将 $\Omega$ 的内部表示为
$$
\stackrel{\Omega}{\Omega}=\left{\mathbf{y} \in E^{m}: \mathbf{c}^{T}-\mathbf{y}^{T} \mathbf{ A}>\mathbf{0}\right}
$$

运筹学代考

数学代考|Operations Research运筹学代写

运筹学代写

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实分析代考

什么是运筹学代写

运筹学(OR)是一种解决问题和决策的分析方法,在组织管理中很有用。在运筹学中,问题被分解为基本组成部分,然后通过数学分析按定义的步骤解决。

运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤:

  • 确定需要解决的问题。
  • 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
  • 使用模型得出问题的解决方案。
  • 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
  • 实施解决实际问题的方法。

与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后,他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。

运筹学代写的三个特点

所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征:

  • 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
  • 模拟—— 这涉及构建模型,以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
  • 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险,做出有效的预测并测试可能的解决方法。

运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外,运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制,以确定哪些技术最适合解决问题。

运筹学可以应用于各种活动,比如:计划和时间管理(Planning and Time Management),城乡规划(Urban and Rural Planning),企业资源计划(ERP)与供应链管理(Supply Chain Management)等等。 如有代写代考需求,欢迎同学们联系Assignmentexpert™,我们期待为你服务!

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