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# Econ经济作业代写Economics代考| Exchange and production economy: positive theory

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GET can deal with production and exchange at the same time. The necessary production and profit theory has been covered in chapters VIII and IX. We do not delve seriously into this more complicated theory but just show that the necessary conditions can be supplied. We remind the reader that he has seen an ownership structure before in the simple case of just one firm, on p. 246 .

DEFINITION XIX.8 (PRODUCTION AND EXCHANGE ECONOMY). A tuple $\mathcal{E}=\left(N, M, G,\left(\omega^{i}\right){i \in N},\left(\precsim^{i}\right){i \in N},\left(Z^{j}\right){j \in M},\left(\theta{j}^{i}\right)_{\substack{i \in N, M \ j \in M}}\right)$ is a production and exchange economy which consists of

• the set of households $N={1,2, \ldots, n}$,
• the set of firms $M={1,2, \ldots, m}$,
• the set of goods $G={1, \ldots, \ell}$,
• for every household $i \in N$
• an endowment $\omega^{i} \in \mathbb{R}_{+}^{\ell}$ and
• a preference relation $\precsim i$,
• for every firm $j \in M$ a production set $Z^{j} \subseteq \mathbb{R}^{\ell}$, and
• the economy’s ownership structure $\left(\theta_{j}^{i}\right){\substack{i \in N \ j \in M}}$ where $\theta{j}^{i} \geq 0$ for all $i \in N, j \in M$ and $\sum_{i=1}^{n} \theta_{j}^{i}=1$ for all $j \in M$ hold.

We now turn to the feasibility of such an economy. Do the production and consumption plans match?

DEFINITION XIX.9 (FEASIBILITY). Let $\mathcal{E}$ be a production and exchange economy. The production plans $z^{j}, j \in M$, and the consumption plans $x^{i}, i \in N$, are called feasible if they fulfill

• $z^{j} \in Z^{j}$ for all $j \in M$ and
Finally, we are set to define the Walras equilibrium:
Definition XIX.10 (WALRAS EQUILIBRIUM). A price vector $\widehat{p} \in \mathbb{R}^{\ell}$, together with the corresponding production plans $\left(\widehat{z}^{j}\right){j \in M}$ and consumption plans $\left(\widehat{x}^{i}\right){i \in N}$, is called a Walras equilibrium of a production and exchange economy $\mathcal{E}$ if
• the production and consumption plans are feasible,
• for every household $i \in N, \widehat{x}^{i}$ is a best bundle for consumer $i$ from the budget set
$$B\left(\widehat{p}, \omega^{i},\left(\theta_{j}^{i}\right){j \in M}\right):=\left{x^{i} \in \mathbb{R}{+}^{\ell}: \widehat{p} \cdot x^{i} \leq \widehat{p} \cdot \omega^{i}+\sum_{j \in M} \theta_{j}^{i} \widehat{p} \cdot \widehat{z}^{j}\right},$$
• for every firm $j \in M, \widehat{z}^{j}$ is from
$$\arg \max _{z^{j} \in Z^{j}} \widehat{p} \cdot z^{j} \text {. }$$

GET可以同时处理生产和交换。必要的生产和利润理论已在第八章和第九章中讨论过。我们没有认真研究这个更复杂的理论，只是表明可以提供必要的条件。我们提醒读者，他以前曾在仅一家公司的简单案例中看到过所有权结构，见第 10 页。246 .

• 家庭集合ñ=1,2,…,n,
• 公司集米=1,2,…,米,
• 商品集G=1,…,ℓ,
• 为每个家庭一世∈ñ
• 禀赋ω一世∈R+ℓ和
• 偏好关系≾一世,
• 对于每家公司j∈米生产集和j⊆Rℓ， 和
• 经济的所有权结构 $\left(\theta_{j}^{i}\right) {\substack{i \in N \ j \in M}}在H和r和\ theta {j} ^ {i} \ geq 0F○r一种一世一世我 \in N, j \in M一种nd\sum_{i=1}^{n} \theta_{j}^{i}=1F○r一种一世一世j \in M$ 持有。

• 和j∈和j对所有人j∈米最后
，我们将定义 Walras 均衡：
定义 XIX.10 (WALRAS EQUILIBRIUM)。价格向量p^∈Rℓ，连同相应的生产计划 $\left(\widehat{z}^{j}\right) {j \in M}一种ndC○ns你米p吨一世○np一世一种ns\left(\widehat{x}^{i}\right) {i \in N},一世sC一种一世一世和d一种在一种一世r一种s和q你一世一世一世br一世你米○F一种pr○d你C吨一世○n一种nd和XCH一种nG和和C○n○米和\mathcal{E}$ 如果
• 生产和消费计划是可行的，
• 为每个家庭一世∈ñ,X^一世是消费者的最佳捆绑一世从预算集
$$B\left(\widehat{p}, \omega^{i},\left(\theta_{j}^{i}\right) {j \in M}\right):=\左{x^{i} \in \mathbb{R} {+}^{\ell}: \widehat{p} \cdot x^{i} \leq \widehat{p} \cdot \omega^{i} +\sum_{j \in M} \theta_{j}^{i} \widehat{p} \cdot \widehat{z}^{j}\right},$$

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