微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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We shall use conditions on derivatives of a function to find out certain nature of the curve determined by a function. First we spell out what is meant by a curve determined by a function.
Definition 2.3.11 Let $f$ be a continuous function defined on an interval $I$. Then the graph of $f$, i.e.,
$$
G_{f}:={(x, f(x)): x \in I}
$$
is called the curve determined by $f$.
A curve determined by a function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is often written as an equation
$$
y=f(x), \quad x \in I
$$
Definition 2.3.12 Let $f$ be a continuous function defined on an interval $I$. Then the curve determined by $f$ is said to be
(1) convex upwards or concave downwards if $f$ is differentiable at all interior points of $I$ and the tangent line at each point $x \in I$ lies above the curve,
(2) convex downwards or concave upwards if $f$ is differentiable at all interior points of $I$ and the tangent line at each point $x \in I$ lies below the curve.
Thus, if $f$ is defined on an interval $I$ and differentiable at all interior points of $I$, then the curve determined by $f$ is
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2 Limit, Continuity and Differentiability of Functions
Fig. 2.16 Concave down and concave up on subintervals
(1) convex upwards if and only if for any interior point $x_{0}$ of $I$,
$$
x \in I \backslash\left{x_{0}\right}, y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \Rightarrow f(x)y .
$$
It is also conventional to define a function to be convex or concave in the following sense.
我们将使用函数导数的条件来找出由函数确定的曲线的某种性质。首先，我们阐明由函数确定的曲线的含义。
定义 2.3.11 让F是定义在区间上的连续函数一世. 然后的图形F， IE，
GF:=(X,F(X)):X∈一世
称为由下式确定的曲线F.
由函数确定的曲线F:一世→R通常写成方程
和=F(X),X∈一世
定义 2.3.12 让F是定义在区间上的连续函数一世. 然后曲线由F被称为
(1) 向上凸或向下凹，如果F在的所有内点处可微一世和每个点的切线X∈一世位于曲线上方，
(2) 向下凸出或向上凹入，如果F在的所有内点处可微一世和每个点的切线X∈一世位于曲线下方。
因此，如果F在一个区间上定义一世并且在所有内点处可微一世，则曲线由下式确定F是
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2 函数的极限、连续性和可微性
图 2.16 在子区间上向下凹和向上凹
(1) 当且仅当对于任何内点X0的一世,
x \in I \backslash\left{x_{0}\right}, y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left( x-x_{0}\right) \Rightarrow f(x)y 。x \in I \backslash\left{x_{0}\right}, y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left( x-x_{0}\right) \Rightarrow f(x)y 。
在以下意义上将函数定义为凸函数或凹函数也是常规的。
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